关于方程x~2+x-2y~2=0的解法

在1963年第7期的数学通报上刊登了吳方同志的“化三角为方形”一文,提出了关于不定方程n(n+1)/2=m~2的解法問題,本文介紹一个新的方法。求不定方程 x_(?)(x+1)/2=y~2的一切自然数解的問題相当于求不定方程 x~2+x-2y~2=0 (1)的一切自然数解(为叙述方便起見,下面举凡“自然数解”一律写为“解”)。首先,我們注意到x_1=1,y_1=1是方程(1)的解,下面我們証明不定方程(1)的所有自然数解皆可由     

不定方程 x~3+y~3=z~2与 x~3+y~3=z~4

在 x,y 互素的条件下,本文给出不定方程 x~3+y~3=z~2所有的整数解,并证明不定方程 x~3+y~3=z~4无 xyz≠0之整数解.     

商高定理与方程x~2+y~2+z~2=w~2

华罗庚著《数論导引》中“商高定理”一节,見有方程 x~2+y~2+z~2=w~2 (1)习題一则,遂默思其解,得到了解法数种。現在写出来向同志們請教。 (一) 我們称方程 x~2+y~2=z~2 (2)的解[x,y,z]为“商高数”。如有两組商高教,其一組之第三項(或其倍数)适与另一組之第一或第二項(或其倍数)相等,以第一組之前两項,代另一組之前两項中之一項,那么,就得到方程(1)的一組解。设两組商高数:     

关于不定方程x~2+4~n=y~(13)(n=4,5,6)的整数解

在高斯整环中,利用代数数论与同余理论的方法,讨论了不定方程x~2+4~n=y~(13)(n=4,5,6)的整数解问题,得出了当n=4,5时无整数解;n=6是仅有整数解(x,y)=(64,2)和(x,y)=(-64,2)的结论,推进了不定方程整数解的研究.     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,同学们就已经知道了两数和的平方公式: (x+y)~2=x~2+2xy+y~2。(1)这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们准备介绍它的部分应用。 (一)推証公式問題 乘法公式 (x+y)~2=x~2+2xy+y~2, (x-y)~2=x~2-2xy+y~2, (x+y)(x-y)=x~2-y~2, (x+y)~3=x~3+3x~2y+3xy~2+y~3, (x-y)~3=x~3-3x~2y+3xy~2-y~3, (x-y)(x~2+xy+y~2)=x~3-y~3, (x+y)(x~2-xy+y~2)=x~3+y~3等都可运用公式(1)来推导。例1.1.求証:(x+y)(x-y)=x~2-y~2。 証.令     

求变量间的某种组合问题

1 一个方程两个未知数在练习题和竞赛题中,我们常常会遇到下列类型的方程: 例1 解方程 4x~2-12xy+10y~2-4y+4=0 例2 求方程 2x+3y=13的正整数解。这类方程的特征是在一个方程中有两个未知数。这种方程,我们称之为不定方程。在一般情况下,不定方程的解是不定的。不过,有时根据方程的某些特殊性,我们可以求出它的确定的解。     

三次方程求根公式的历史

在三次方程解法的发展过程中,求根公式占有中心地位,所以我們在这篇文章里主要介紹一下关于三次方程求根公式的历史。三次方程最早都是以实际問題出现的。在古巴比伦人遺留下来的楔形文字小片中有相当于下列的三次方程問題: 12x~3+x~2=1+45/60(当时巴比伦使用六十进位制)。但是在三四千年以前,巴比伦人怎样解这类三次方程問題,現在还不知道,不过不会有普遍解法是可以肯定的。刁藩都(Diophantos,第三世紀人)是古代希腊著名的代数学家,在他的数学名著《算术》中研究了許多方程問題,其中有一个問題相当于下面的三次方程: x~3+8x-(5x~2+1)=x。我国也是最早研究三次方程的国家之一。唐朝初     

整环Z[(-13)~(1/2)]中不可约元的结构定理

设n为正整数,利用不定方程x~2+13y~2=n存在整数解的充要条件,证明了整环Z[(-13)~(1/2)]中不可约元的结构定理.     

从一个方程談起

本文是围绕一个方程,做为一个高三学生汇报自己如何读数学书籍的初步体会,敬请老师们指正。试证含有x,y的不定方程: x~2-2y~2=1有无穷多组(正)整数解。现把“格点和面积”书中证明过程摘录如下: “显然x~2-2y~2=1有解x=3,y=2, 即 (3+2 2~(1/2)(3-2 2~(1/2))=1。平方并化简,得(17+12 2~(1/2))(17-12 2~(1/2)=1, 即 17~2-2×12~2=1。即 x=17,y=12,是另一组解。取立方,四次方……,即得无穷多组解。”这个证明,实际上提供了不定方程x~2-2y~2=1的解法。一开始,感到这种解法非常巧妙。仿照这种方法,试解了方程x~2-2y~2=-1。显然,x=1,y=1,是这个方程的一组自然数解(以下“自然数解”均写“解”)。随后发现,必须将原方程两边立方,才能得到第二组解x=7,y=5。以后便是五次方,七次方…。这样,便初步掌握了这种类型的方程的解法。在翻阅一本名叫《趣味的数和图》时,其中第一章“趣味的数字”里有一题:     

关于丢番图方程x~2+y~2=p与x~2+2y~2=p的整数解

利用p次单位根e~((2πi)/p)作为原始材料,通过不同层次的组合,当p≡1(mod 4)时,给出了方程x~2+y~2=p的整数解.在此基础上,当p≡1(mod 8)时,进一步给出了x~2+2y~2=p的整数解.     

关于马尔柯夫方程

十九世纪的俄国杰出数学家马尔柯夫(1856—1922)曾提出一个著名的不定方程: x~2+y~2+z~2=3xyz (1) 并且仅仅使用了初等数学方法(包括韦达定理)就求得了方程的全部解,所以本文所介绍的内容是一般中学生也能接受的。 在把x=a,y=b,z=c代入原方程后而恒等时,我们就把数组(a,b,c)称为是这个不定方程的解,而把a,b,c这三个数称为解的坐标。我     

多複變數非歐空間中黎曼曲率的估值問題

<正> §1.引言 用(z)=(z~1,…,z~n)代表n個複變数,並命z~k=x~k+iy~k,此處x~k,y~k(1≤k≤n)是實數。代表x~1,…,x~n,y~1,…,y~n所定義的2n維空間中的一個域。我們現在並不假定它是受囿,抑單連通等性質。命     

一类三参数四次Thue方程的一个注记

给出一类三参数的四次Thue方程x~4-4sx~3y-(2ab+4(a+b)s)x~2y~2-4absxy~3+a~2b~2y~4=1,s≥1,当a=2,b=1时的所有整数解(x,y).     

关于不定方程x~2-kxy+y~2+px=0

设p为奇素数.讨论了不定方程x~2-kxy+y~2+px=0,给出了这类方程求解的一些必要条件.     

化三角为方形

大家知道,n(n+1)/2(=1+2_…+n)个队员可以排成一个每边有n个人的三角队形(我们称这种数为三角数),但在某些时候,他們也能排成一正方的队形。例如当n=8时,8·9/2=36个队員既能排成一海边有8人的三角队形,又能排成一每边有6人的正方队形。又如当n=49时,49·50/2=1225个队員既能排成一海边有49人的三角队形,也能排成一每边有35人的正方队形。容易驗証:当n=288,1681,9800,…时,都有此性质。現在我們要求出具有这种性质的一切n来。显然,上面的問题就是要去求出不定方程 n(n+1)/2=m~2 (1)的一切整数解的問題。在这篇短文中,我們将要証明:不定方程(1)具有无穷多个整数解,并且它們都能通过一定的程序求出。     

二次方程求根公式的历史

解二次方程是初等数学中的一个很普通的問題,而且人們会很熟练地运用求根公式 x=(-b±(b~2-4ac)~(1/2)/2a来求一般二次方程ax~2 bx c=0的根。在現行的初中代数教本中,也有这个公式。但是,这个公式是怎样得到的呢?考查一下它的历史发展,这在教学或学习上或許多少是有所裨益的。二次方程的出現,有很久的历史。最早的記录,大約在公元前两千年左右的巴比伦文献中。例如我們在古巴比伦罕莫拉比王朝时代的文献上看到一个相当于解两个不定方程才能解决的問題。这两个不定方程用現在的符号表示,就是     

勾股数,有理代换及其它

方程x~2+y~2=z~2 (1)的每一正整数解(a,b,c)(即x=a,y=6,z=c)称为勾股数 勾股数有无穷多组。不难证明，如果（a,b,     

判别式和曲线族的包络

“已知圆方程x~2+y~2-2(2m+1)x-2my+4m~2+4m+1=0(m∈R,),求所有圆的公切线方程。” 这是一道并不太难的解析几何题,有一位同学提出如下独特的解法: 解:把方程按m整理,得4m~2-(4x+2y-4)m+(x~2+y~2-2x+1)=0,由△m=(4x+2y-4)~2-4×4×(x~2+y~2-2x+1)=0化简得y(4x-3y-4)=0,     

北京数字奥林匹克学校课堂实录

课题一次不定方程适用年级初中一年级学期2005-2006学年度第一学期训练目的1.使学生掌握判断整系数不定方程有整数解的方法;2.使学生理解并掌握整数离析法术整系数不定方程的整数解和正整数解;3.使学生应用消元思想将三元一次不定方程转化为二元不定方程求解.典型范例求不定方程5x+7y=978的整数解,并求正整数解的个数.     

一类取值范围问题的解法探讨

例1设x,y为实数,且x~2+xy+y~2= 3,求x~2-xy+y~2的最大值和最小值。分析已知条件和待求式都是二次齐次式,可采用判别式法求x~2-xy+y~2的最值。