Metastability and chaoslike phenomena in nonlinear dynamic buckling of a simple two-mass system under step load

Summary The nonlinear dynamic buckling based on the global response of a nonlinear autonomous dissipative or non-dissipative system with two degrees of freedom is studied in detail. Attention is focused on the unstable branch of the complementary path whose significant role on the mechanism of dynamic buckling is revealed for the first time in the literature. Theoretical results associated with distinct properties of the Jacobian matrix, verified and supplemented numerically, brought into light various new phenomena for certain values of the control parameter such as dynamic buckling of statically stable systems, metastability phenomena for loads much higher than the dynamic buckling loads, and sensitivity to initial conditions and to damping.

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Metastabilität und chaosähnliche Phänomene des nichtlinearen dynamischen Knickens eines einfachen Zwei-Masse-Systems unter Treppenlast

Übersicht Anhand der globalen Antwort eines autonomen, dissipativen oder nicht-dissipativen Systems mit zwei Freiheitsgraden auf eine stufenförmige Last werden detaillierte Studien zum nichtlinearen dynamischen Knicken angestellt. Die Betrachtung richtet sich besonders auf den instabilen Zweig des komplementären Lastpfades, dessen Bedeutung für das dynamische Knicken hier zum ersten Mal aufgezeigt wird. Die theoretischen und numerischen Ergebnisse, die mit bestimmten Eigenschaften der Jacobi-Matrix verknüpft sind, enthüllen für bestimmte Werte des Kontrollparameters verschiedene neue Phänomene wie das dynamische Knicken von statisch stabilen Systemen, Metastabilität für Lasten weit über der dynamischen Knicklast und Empfindlichkeit auf Anfangsbedingungen und Dämpfung.

     

Stabilität elastischer Tragwerke mit nichtlinearem Verformungsverhalten bei instationären Einwirkungen

Summary A method is suggested which simplifies the investigations to the safety of buckling structures under time depending actions. The static analysis of the structure is used in order to fix the critical deformation state and hence the critical strain energy. Representing the deformation behaviour and the loading by some energetic measures an approximation for the development of the motion during the loading may be computed with less effort by using Galerkin's procedure. Representing the effect of the external actions by the energy which is induced to the structure during the loading the proof of the stability may be given by comparing this external energy to the critical strain energy.

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Stabilität elastischer Tragwerke mit nichtlinearem Verformungsverhalten bei instationären Einwirkungen

Übersicht Die zum Stabilitätsverlust von dünnen Flächentragwerken führenden Beulphänomene werden für zeitabhängige Einwirkungen an einfachen Tragwerken erläutert. Für die Untersuchung der Stabilität bei zeitabhängigen Einwirkungen wird ein Verfahren vorgestellt, das auf der Basis einer statischen Analyse skalare Energiemaße definiert, die eine zuverlässige Beurteilung der Stabilität zulassen. Die Berücksichtigung des zeitlichen Ablaufs der Verformungen infolge der vorhandenen instationären Einwirkungen erfolgt nur für wenige für den Stabilitätsverlust maßgebende Bewegungsformen. Die Trennung von räumlicher und zeitlicher Diskretisierung ermöglicht eine effektive Untersuchung beulgefährdeter Tragwerke ohne die numerisch aufwendige Integration der nichtlinearen Bewegungsgleichungen.

     

The effects of material nonlinearity and compressibility in the buckling of nonlinear elastic systems

Summary The stability and post-buckling response of simple perfect and imperfect systems made of nonlinear elastic material are thoroughly discussed. The perfect systems correspond to the three types of bifurcation points, i.e. stable symmetric, unstable symmetric and asymmetric. Material-dependent stability conditions are properly established. It is found that the mechanism of buckling of perfect systems associated with a stable symmetric bifurcation point may become unstable depending on the value of the material nonlinearity parameter. Moreover, it is established that the effect of compressibility on the buckling load may be considerable in case of imperfect systems which in their ideal state are associated with an asymmetric bifurcation point.

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Die effekte von nichtlinearem stoffverhalten und kompressibilität beim knicken elastischer systeme

Übersicht Diskutiert wird die Stabilität und das Nachknickverhalten einfacher nichtlinear-elastischer Systeme mit und ohne Imperfektionen. Die perfekten Systeme gehören zu den drei Arten von Verzweigungspunkten, nämlich stabile und instabile symmetrische sowie unsymmetrische Verzweigung. Theoretisch strenge, materialabhängige Stabilitätsbedingungen werden eingeführt. Es zeigt sich, daß der Knickmechanismus eines perfekten Systems, der mit einer stabilen symmetrischen Verzweigung verknüpft ist, möglicherweise in Abhängigkeit von der Nichtlinearität des Stoffverhaltens instabil wird. Darüber hinaus stellt man fest, daß der Einfluß der Kompressibilität auf die Knicklast erheblich sein kann bei Systemen mit Imperfektion, die im perfekten Zustand eine einsymmetrische Verzweigung zeigen.

     

The effects of non-linearities and compressibility on the static and dynamic critical load of non-conservative discrete systems

Summary The non-linear static and dynamic stability of a non-linearly elastic, two degree of freedom system under a partial follower load is thoroughly discussed. Conditions for divergence and flutter instability in the large, in the sense of Lagrange, are established. These conditions may be completely different from those corresponding to linearized analyses. It is found that the static method of analysis is applicable for the entire range of the non- conservativeness loading parameter provided that the material non-linearity is accounted for. The stability or instability of critical states depends on the amount of material non-linearity. The unexpected result that the non-linear static critical load may differ substantially from the corresponding non-linear dynamic critical load is deduced with the aid of a numerical integration of the original non-linear equations of motion. The effects of compressibility as well as of other parameters on such a difference are properly examined. New phenomena which contradict well-known results based on linearized analyses reveal the true instability mechanism of non-conservative systems

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Auswirkungen von nichtlinearitäten und kompressibilität auf die statische und dynamische kritische last nichtkonservativer diskreter systeme

Übersicht Diskutiert wird die nichtlineare statische und dynamische Stabilität eines nichtlinear elastischen Systems mit zwei Freiheitsgraden bei teilweise mitgehender Last. Bedingungen für die Stabilität im Großen, im Sinne von Lagrange, bei Knicken und Flattern werden aufgestellt. Sie können völlig verschieden von denjenigen einer lirearisierten Analyse sein. Es stellt sich heraus, daß die statische Betrachtung für den gesamten Parameterbereich der nichtkonservativen Last zulässig ist, vorausgesetzt die Material-Nichtlinearität wird berücksichtigt. Die Stabilität oder Instabilität kritischer Zustände hängt vom Grad der Material-Nichtlinearität ab. Das unerwartete Ergebnis, daß nichtlineare statische und dynamische kritische Last wesentlich voneinander abweichen können, folgt aus einer numerischen Integration der Bewegungsgleichungen. Der Einfluß der Kompressibilität und anderer Parameter auf diese Abweichung wird untersucht. Neue Phänomene, die bekannten Ergebnissen der linearen Analyse widersprechen, enthüllen den tatsächlichen Instabilitätsmechanismus nichtkonservativer Systeme.

     

Zur parametererregung des rad-schiene-systems: Berechnung der fahrzeug-fahrweg-untergrund-dynamik und experimentelle verifikation am hochgeschwindigkeitszug intercity experimental

Übersicht Die diskrete Stützung der Schiene auf Schwellen in regelmäßigem Abstand ergibt für den fahrenden Zug eine Parametererregung. Die Berechnung der parametererregten Schwingungen und der zugehörigen dynamischen Radlasten erfordert die Analyse des Gesamtsystems Fahrzeug-Fahrweg-Untergrund. Es wird eine Substrukturmethode vorgestellt, bei der Fahrzeug, Fahrweg und Untergrund jeweils mit geeigneten Methoden (Mehrkörperdynamik, Finite Elemente, Randelemente) berechnet werden. Das Verfahren wird auf eine Situation angewandt, die auch mehrfach experimentell untersucht wurde, die Hochgeschwindigkeitsversuchsfahrten des Intercity Experimental (ICE) auf der Neubaustrecke bei Würzburg. Es werden die Ergebnisse der Teilsysteme und des Gesamtsystems und schließlich die dynamische Radlast für verschiedene Fahrgeschwindigkeiten dargestellt. Die dynamische Radlast nimmt bei Steigerung der Fahrgeschwindigkeit bis 200 km/h zu, bleibt bei höheren Fahrgeschwindigkeiten jedoch ungefähr konstant. Eine ähnliche Tendenz wird bei den Erschütterungen in der Umgebung bemerkt. Mit den berechneten Radlasten werden die ICE-Vorbeifahrten sehr detailliert simuliert und die berechneten Erschütterungen mit den gemessenen verglichen. Es zeigt sich eine gute Übereinstimmung, so daß der wichtige Fahrgeschwindigkeitseffekt als theoretisch und experimentell abgesichert angesehen werden kann.

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Parametric excitation of rail-wheel-system: calculation of vehicle-track-subsoil-dynamics and experimental results of the high speed train intercity experimental

Summary The discrete support of the rail on regularly spaced sleepers leads to a parametric excitation of the running train. To calculate the resulting vibrations and the additional dynamic loads the complete vehicle-track-subsoil system must be considered. A substructure method using appropriate methods for each subsystem (rigid bodies, finite elements, boundary elements) is presented and applied to a situation which was measured three times during highspeed test runs of the Intercity Experimental (ICE) near Würzburg. The results of the subsystems are shown and the coupling leads finally to the dynamic loads moving on the track. These loads increase with speed up to 200 km/h but remain nearly constant at higher speeds. A similar tendency was found in the measured vibrations near the track. To compare theory and experiment the calculated moving loads were used to simulate the environmental vibrations of the ICE test runs showing a good agreement.

     

Zur Beulung des flachen kreiszylindrischen Schalenstreifens bei beliebiger orthogonaler Anisotropie

Zusammenfassung Es wird die Stabilitätsgrenze eines flachen kreiszylindrischen Schalenstreifens unter Druck- und Schubkräften bei beliebiger orthogonaler Anisotropie untersucht. An den Längsrändern ist er angenähert momentenfrei auf biegeweichen Längsträgern gelagert. Die Ermittlung der kritischen Last geschieht mit Hilfe der Energiemethode unter Benutzung desGalerkinschen Verfahrens, wobei für die VerschiebungenFourier-Reihen angesetzt werden. Man erhält als Ergebnis der Rechnung eine unendliche Beuldeterminante. Diese wird für den ebenen Fall (Plattenstreifen) für Neigung der elastischen Hauptachsen ausgewertet und mit Ergebnissen aus bereits bekannten Untersuchungen verglichen.     

Response of rectangular thick plates to moving single loads

Summary The response of a rectangular plate to a moving load is investigated. An improved plate theory which includes the effects of shear deformation and rotatory inertia as well as normal stress to the plate surface is introduced and the equation of motion in terms of single displacement is derived. Solutions are obtained by applying Fourier transforms. The effects of the approximation methods of the plate theory on the response of the displacement and the stress couples are examined with regard to the load velocity, plate dimensions, etc., in addition to the comparison with the results due to the classical plate theory.

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Übersicht Eine dynamische Analyse wird für eine Rechteckplatte unter beweglicher Belastung entwickelt. Für eine Plattenthcorie, die nicht nur Querschubverzerrung und Drehträgheit sondern auch Normalspannung zur Plattenfläche berücksichtigt, werden die von einer einzelnen Deformationskomponente bezeichneten Bewegungsgleichungen hergeleitet. Das Problem wird mit Hilfe von Fourier Transformationen gelöst. Die Einflüsse von den approximativen Verfahren der Plattentheorie auf die dynamischen Verhältnisse der Deformationen und der Biegemomente werden in Bezug auf Belastungsgeschwindigkeit, Plattendimension und so weiter ermittelt. Die Ergebnisse nach der klassischen Plattentheorie werden auch beschrieben.

     

Zur dynamischen Stabilität des schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes

Übersicht Die folgende Untersuchung befaßt sich mit der Stabilität eines schwach gekrümmten zylindrischen Schalenfeldes unter einer statischen und unter einer periodischen Druckkraft in Richtung der Erzeugenden. Sie geht von geometrisch nichtlinearen Bewegungsgleichungen aus. Ein einfacher Näherungsansatz für den Verlauf der Verschiebungen führt über das Galerkinsche Verfahren auf die Bewegungsgleichung eines nichtlinearen Schwingers mit einem Freiheitsgrad. Seine Phasenporträts für verschiedene Größen der statischen Druckkraft veranschaulichen die bekannten Aussagen über die Stabilität der Schale. Die Schwingungen unter der periodischen Druckkraft ergeben sich mit Hilfe der Störungsrechnung. Die Größenordnung der dabei auftretenden nichtlinearen Glieder wird verglichen.

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Summary The paper deals with the stability of a cylindrical panel of small curvature loaded by static or periodically variable aixal pressure forces. It starts from the geometrically nonlinear equations of motion. By use of Galerkin's approximation a simple function for the deformations leads to the equation of motion of a nonlinear vibrator with one degree of freedom. The phaseportraits for several values of the static pressure force illustrate the known results concerning the stability of shells. The vibrations produced by periodical pressure forces are calculated by means of the method of small parameters. The magnitudes of the most important nonlinear expressions are compared.

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Auszug aus einer von der Fakultät für Bauwesen der Technischen Hochschule München genehmigten Habilitationsschrift; Berichter: Prof. Dr.-Ing. G. Knittel, Mitberichter: Prof. Dr. rer. nat. habil. H. Stefaniak, Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. A. Pflüger.     

Der Spannungszustand in der rotierenden spröden Scheibe

Zusammfassung Es wird mit dem neuen nichtlinearen Elastizitätsgesetz spröder Körper unter der Annahme, daß Lochrand und Außenrand der rotierenden Scheibe kräftefrei sind, die Differentialgleichung des Problems aufgestellt und durch eine Näherung gelöst. Verschiebung und Spannungen werden als Funktion des Radius berechnet sowie eine einfache Formel für die Abhängigkeit der am Lochrand auftretenden Tangentialspannung von der Umlaufsgeschwindigkeit angegeben. Die Bachsche Vermutung, daß die Sprengfestigkeit praktisch gleich der Zugfestigkeit ist, wird bestätigt. Die Umfangsgeschwindigkeit, bei der der Bruch erfolgt, berechnet sich nach (47).Wenn auch die entwickelte Näherungsmethode den Bach-Grüblerschen Gegensatz erklärt, so ist trotzdem zu fordern, daß sie einer Prüfung durch den Versuch unterzogen wird, da erst nach Messung der Empfindlichkeiten der in Frage kommenden Werkstoffe die Frage entschieden werden kann, ob eine Erhöhung der zulässigen Geschwindigkeit sich mit den Fragen der Betriebssicherheit in Einklang bringen läßt.Zum Schluß danke ich auch an dieser Stelle Herrn Prof.Prandtl und der Notgemeinschaft der deutschen Wissenschaft für die Möglichkeit, in dem Göttinger Institut für angewandte Mechanik arbeiten zu dürfen.     

Ein Mehrschrittverfahren für einen Torsionsschwingungsdämpfer mit nichtlinearer viskoelastischer Flüssigkeit

Übersicht Die nichtlineare viskoelastische Dämpferflüssigkeit wird unter Verwendung eines faktorisierten Einfachintegral-modells beschrieben. Die Bewegungsgleichung führt zusammen mit dem Stoffgesetz auf eine gewöhnliche Integrodifferentialgleichung mit Anfangsbedingungen, die numerisch mit einem Mehrschrittverfahren gelöst wird. Die numerischen Ergebnisse zeigen den Einfluß der Amplitude und der Frequenz einer anregenden Schwingung auf das Dämpfungsverhalten. Die erreichbaren optimalen Dämpfungen weichen dabei erheblich von den Dämpfungen ab, die man für ein hypothetisches inelastisches Fluid mit denselben viskosen Eigenschaften berechnet.

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A multistep method for a torsional damper with non-linear viscoelastic fluid

Summary We use a factorized single integral model to describe the non-linear viscoelastic liquid. The equation of motion together with the constitutive equation results in an ordinary integro-differential equation under initial conditions. For the numerical treatment we use a multistep method. The numerical results show the damping under the influence of various applied amplitudes and frequencies. The calculations also indicate that the optimal damping is drastically different to the damping of a hypothetical inelastic fluid with the same viscous properties.

     

The buckling load of an elastically supported cantilevered column with continuously varying cross section and distributed axial load

Summary The solution for the buckling load of an elastic supported cantilevered column with continuously varying cross section and distributed axial load is developed. Boundary conditions are formulated for fixed and elastic support. The critical loads are tabled for an usual variation in cross section and axial load distribution as function of the ratio between respectively rigidities and axial forces at fixed and free end, the variation of the rigidity and axial forces given by their degrees of the polynomial variation and rotation stiffness of the elastic support.

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Übersicht Es wird die Knicklast für eine elastisch gelagerte, freitragende Säule mit stetig veränderlichem Querschnitt und stetig verteilter Axiallast berechnet. Die Randbedingungen sind für feste sowie für elastische Lagerung formuliert worden. Für einen übliczen Bereich von Querschnitten und Axiallasten werden die kritischen Lasten in Tabellen angegeben. Dabei wurde das Verhältnis zwischen der Steifigkeit und den Axiallasten am festen und freien Ende variiert.

     

Über die dynamische Stabilität des Hubschraubers mit angelenkten Flügeln

Zusammenfassung Für den Hubschrauber mit angelenkten Flügeln wird die dynamische Stabilität bei kleinen Störbewegungen aus der Fluglage des Schwebens am Ort untersucht. Bei einem solchen Hubschrauber ist Stabilität praktisch kaum erreichbar, doch lassen sich Maßnahmen angeben, durch welche die Schwingungszeit der selbsterregten Schwingungen des Flugzeuges verlängert und ihre Anfachung verringert wird, so daß dann annähernd Indifferenz vorliegt. Im Gegensatz zu Schrauben mit starr an die Rotorwelle angeschlossenen Flügeln addieren sich die Wirkungen der Kreiselkräfte zweier Schrauben auch bei Gegenläufigkeit der Schrauben und erzeugen bei Drehbewegungen des Flugzeuges eine lineare Dämpfung, die ausschlaggebend für die Stabilitäts- und Steuereigenschaften des Hubschraubers ist. Daß auch bei fehlender Stabilität eine gesteuerte Stabilisierung eines Hubschraubers mit angelenkten Blättern möglich ist, zeigen die erfolgreichen Flüge verschiedener Hubschrauber, vor allem die bekannten Flüge des Fockeschen Hubschraubermusters FW 61.Die vorstehende Arbeit ist eine Mitteilung der Anton Flettner G. m. b. H. Flugzeugbau in Berlin-Johannisthal.     

Ein Beitrag zur Stabilitätstheorie der Wirbelstraßen unter Berücksichtigung endlicher und zeitlich wachsender Wirbelkerndurchmesser

Zusammenfassung Nach dem Bericht über die bekannten Arbeiten über die Stabilitäts-theorie der Wirbelstraßen wird die Vermutung ausgesprochen und begründet, daß der in den bisherigen Theorien nicht berücksichtigte endliche Wirbelkerndurchmesser und seine zeitliche Veränderung einen neuen Einblick in das Stabilitätsproblem der Wirbelstraßen verspricht.Es werden für die einreihige Wirbelstraße Bewegungsgleichungen aufgestellt, linearisiert und durch eine unendliche Reihe gelöst. Die Stabilitätsdiskussion zeigt die Instabilität der einreihigen Wirbelstraße in Übereinstimmung mit der experimentellen Erfahrung.Im Anschluß hieran werden die Bewegungsgleichungen für die beiden Typen der zweireihigen Wirbelstraße angegeben, linearisiert und für den Fall, daß nur ein Wirbel gestört wird, gelöst. Die Diskussion der Lösungen ergibt, daß für die Wirbelstraße mit auf Lücke stehenden Wirbeln für endliche Zeiten ein Stabilitätsgebiet existiert. Es werden spezielle stabile Lösungen angegeben. Für verschwindende Zähigkeit schrumpft das Stabilitätsgebiet auf eine Gerade zusammen, die die alte Stabilitätsbedingung nach Th. v. Kármán darstellt.Die Diskussion der Wirbelstraße mit gegenüberstehenden Wirbeln zeigt das überraschende Ergebnis, daß neben der Instabilität dieser Anordnung für kleine Zeiten bzw. für große Werte des Parameters k=h/l auch ein Stabilitätsbereich existiert, der jedoch nur durch Instabilitätsgebiete hindurch erreicht werden kann.Zum Schluß werden einige Bemerkungen über die Gültigkeit der Theorie und über die Möglichkeiten der experimentellen Verifizierung gemacht.Gekürzte Fassung einer von der Fakultät für Maschinenwesen an der Technischen Universität Berlin-Charlottenburg genehmigten Dissertation (Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Wille, Prof. Dr. phil. E. Mohr).     

Über den geraden Knickstab mit begrenzter Durchbiegung

Zusammenfassung Die Untersuchung des durch ebene, starre Flächen in seiner Durchbiegung begrenzten geraden Knickstabes mit Hilfe der elementaren Biegetheorie führt auf eine interessante Durchschlagerscheinung. Unabhängig von der Art der Lagerung der Stabenden stützt sich nach Überschreitung der zugehörigen Eulerschen Knicklast der Stab an der Stelle seiner größten Durchbiegung gegen eine der Stützflächen ab. Die sich dabei ausbildende Stützkraft wächst mit zunehmender Stablast an, während sich gleichzeitig die Stabkrümmung an der Anlagestelle verringert.Erreicht die Stabkrümmung an der Anlagestelle die Krümmung der Stützfläche, dann bildet sich bei weiterer Steigerung der Stablast ein an der Stützfläche anliegendes, ungekrümmtes und daher momentenfreies Stabstück aus, an dessen Enden Einzelkräfte von der Stützfläche auf den Stab übertragen werden. Die Länge dieses Stabteiles wächst mit der Stablast solange an, bis diese die Größe der Eulerschen Knicklast des als an beiden Enden eingespannt anzusehenden geraden Stabteiles erreicht. Der nun einsetzende Knickvorgang des bis dahin an der Stützfläche anliegenden Stabteiles kann wegen der zunehmenden Knicklänge mit sich verringernder Stablast aufrecht erhalten werden. Bei unveränderter Stablast schlägt daher der mittlere Stabteil durch und kommt an der gegenüberliegenden Stützfläche zur Anlage.Bei weiterer Steigerung der Stablast kann der Stab immer als aus Teilstäben zusammengesetzt aufgefaßt werden, deren Lagerung den hier untersuchten drei Grundfällen entspricht. Es ist daher nicht zu erwarten, daß eine Weiterführung der Untersuchung noch zu grundsätzlich neuen Erkenntnissen führt.     

Elementare Theorie der Schwingungsfestigkeit

Zusammenfassung Für den Schwingungsvorgang, den eine periodische, eingeprägte Kraft in einem zähen Werkstoff hervorruft, wird eine Bewegungsgleichung aufgestellt, die eine durch Wegfall des Trägheitsgliedes verkürzte Form der für den einfachen Schwinger geltenden Gleichung ist. Diese Gleichung besitzt, abgesehen von einem mit t abklingenden Teil, ein periodisches Integral, das als eine gegen die eingeprägte Kraft in der Phase verzögerte harmonische Schwingung aufzufassen ist. Durch diese Phasenverschiebung, die gerade von der Dämpfung des Werkstoffes herrührt, entsteht ein energieverzehrender Schwingungsvorgang. Die zu Aufrechterhaltung dieses Vorganges erforderliche Arbeit wird zur Ableitung der Wöhlerkurve verwendet, und stellt in bemerkenswerter Weise deren wesentlichen Verlauf dar. Die zu dem Schwingungsvorgang gehörige Hysteresiskurve ist eine Ellipse, deren Konstruktion angegeben wird. Die Untersuchung ermöglicht Erweiterungen verschiedener Art, u. a. auf mehrachsige Spannungs- und Schwingungszustände und auf andere Formen des Ansatzes für die innere Reibung des Werkstoffes.     

Einfluß der Dichteanomalie von Wasser auf die freie Konvektion in einem flachen Rechteckbehälter mit unterschiedlich beheizten Stirnflächen

Zusammenfassung Die Grundgleichungen für den Wärmetransport durch freie Konvektion von Wasser in einem flachen Behälter werden mit Hilfe der angepaßten asymptotischen Entwicklung analytisch gelöst. Durch Einführung einer sinnvoll definierten Referenzgeschwindigkeit erhält man auch für den Fall, daß die Krümmung der Dichte-Temperatur-Funktion infolge des Dichtemaximums von Wasser bei 3,98 °C berücksichtigt werden muß, eine asymptotische Lösung. Diese Lösung wird als erweiterte Boussinesq-Lösung bezeichnet, da lediglich die Dichte im Volumenkraftterm der Bewegungsgleichung durch eine quadratische Temperaturfunktion berücksichtigt, in allen übrigen Termen aber als konstant betrachtet wird.

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Effect of density-anomaly of water on free convection in a shallow cavity with differentially heated end-walls

The basic equations for the heat transfer by free convection of water in a shallow cavity with differentially heated end-walls can be solved by the aid of the method of matched asymptotic expansion. By setting up an ingenious defined reference velocity one obtains an asymptotic solution, even if the curvature of the density-temperature-function must be taken into account because of the density maximum of water at 3.98 °C. This solution is called extended Boussinesq-solution because only the density in the volume force term of the momentum equation is taken into account by a quadratic temperature function whereas in all other terms it is considered as constant.

     

Dynamic thermomechanical properties of composites based on thermoelastic wave scattering

Summary The dynamic thermomechanical properties of a macroscopically homogeneous and isotropie particle composite are determined by means of an analytical model based on the theory of thermoelastic wave scattering. According to the present method, the energies of the incident and scattered waves are determined in terms of the dynamic stress/strain fields and heat flux/temperature fields, both for an incident shear wave and for an incident one consisting of a linear combination of a pressure and a thermal wave. The basic assumption is that there is no interaction between the respective fields of neighbouring inclusions, i.e. a low volume concentration of the particles and also a wave length of the incident field much greater than the diameter of the smallest sphere which can surround the inclusion. The model is applied to a particle composite containing rigid spherical, thermally insulated inclusions. Results for a wide range of the involved parameters are presented.

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Bestimmung der dynamischen thermodynamischen Eigenschaften von Verbundwerkstoffen aus der thermoelastischen Wellenstreuung

Übersicht Die dynamischen thermomechanischen Eigenschaften makroskopisch homogener und isotroper Partikel-Verbundwerkstoffe werden mit Hilfe eines Modells, das auf der Theorie der Streuung thermoelastischer Wellen beruht, bestimmt. Die Energien der einfallenden und gestreuten Wellen werden ausgedrückt durch die dynamischen Spannungs-Verzerrungsfelder und Wärmefluß-Temperaturfelder, und zwar jeweils für eine einfallende Scherwelle uhd eine Linearkombination aus einfallender thermischer und Druckwelle. Grundlegend ist die Annahme, daß keine Wechselwirkung zwischen den betreffenden Feldern benachbarter Einschlüsse vorhanden ist, d. h. eine geringe Teilchenkonzentration und eine Länge der einfallenden Wellen, die sehr viel größer ist als der Durchmesser der kleinstmöglichen Kugel um den Einschluß. Das Modell wird auf einen Verbund mit starren und wärmeisolierten sphärischen Einschlüssen angewandt und mit Ergebnissen für einen weiteren Parametersatzbereich demonstriert.

     

Evaluation of the perturbation parameters in buckled rectangular pin-ended Euler struts by caustics

Summary The optical method of reflected caustics was applied to beam buckling problems. The reflected rays of a light beam (either parallel, or convergent, or divergent) on the flanks of the strut create caustics which consist of two strongly illuminated straight lines, confining the luminous region of the strut. By measuring the distance between the extremities of the caustics, the perturbation parameters of the buckled beam can be defined. The accurate experimental evaluation ofs allows the solution of the respective Euler expansion equations for the critical buckling load and its higher order terms in the post-buckling state of the strut. The method is a versatile and sensitive technique for experimentally defining the mode of elastic buckling of struts and can be extended to study plastic buckling cases.

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Ermittlung der Störungsparameter beim Eulerschen Knickstab mit Rechteckquerschnitt durch Kaustiken

Übersicht Die Methode reflektierender Kaustiken wurde auf Stabknick probleme angewendet. Die von der Oberfläche des Stabes reflektierten Lichtstrahlen (parallel, konvergent oder divergent) erzeugen Kaustiken, die aus zwei stark leuchtenden geraden Linien bestehen, die den leuchtenden Bereich des Stabes begrenzen. Durch Messung des Abstands zwischen den Grenzen der Kaustiken kann der Störparameters des geknickten Stabes bestimmt werden. Eine genaue experimentelle Ermittlung vons ermöglicht die Lösung der nachs entwickelten Eulerschen Gleichungen für die kritische Knicklast und der Terme höherer Ordnung im Nachknickzustand. Die Methode ist eine vielseitige und sensitive Technik, um experimentell die elastische Knickform von Stäben zu bestimmen; sie kann auf das plastische Knicken ausgedehnt werden.

     

Nonlinear sway-buckling of an eccentrically loaded frame of two timoshenko-bars

Summary A variational method for investigating the nonlinear lateral stability is applied to a rectangular, geometrically perfect, two-bar frame which is loaded eccentrically to the center line of one of the bars. The frame loses its stability through a limit point. The individual, and primarily the coupling effects on the nonlinear sway-buckling load are fully assessed for a variety of parameters such as transverse shear deformation, cross-sectional shape, loading eccentricity, slenderness ratio and moment of inertia ratio of the two bars. The conclusions presented herein give a better insight into the actual response of the frame.

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Übersicht In dieser Arbeit wird ein Variationsverfahren für die Untersuchung der nichtlinearen Stabilität eines rechteckigen, geometrisch perfekten, Zwei-Stab-Rahmens vorgestellt, der exzentrisch bezüglich eines der Stäbe belastet ist. Der Rahmen verliert Scine Stabilität bei einer Grenzlast. Der Einfluß einzelner, vor allem aber die Wirkung von kombiniert auftretenden Parametern — wie Querkraftbiegung, Querschnittsform, Lastexzentrizität, Schlankheitsgrad und Trägheitsmoment der Stäbe — auf die nichtlineare Knicklast werden untersucht. Die in dieser Arbeit mitgeteilten Ergebnisse lassen das wirkliche Verhalten des Rahmens gut erkennen.

     

Measurement of the dynamic mechanical properties of muscle during the development of rigor mortis

Summary A method is described for measuring the dynamicYoungs Modulus over a range of frequencies for muscle with various static loads.The results of measurements on the Ox Sternomandibularis muscle before and during the development of rigor mortis are presented. These show that the muscle behaves as an extremely non-linear viscoelastic material with properties that depend on both the conditions of measurement and the storage conditions prior to measurement.

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Zusammenfassung Es wird eine Methode beschrieben, mit der der dynamische Elastizitätsmodul über einen gewissen Frequenzbereich für einen Muskel unter verschiedenen statischen Belastungen gemessen werden kann.Die Ergebnisse der Messungen an dem museums sternomandibularis des Rindes vor und während der Ausbildung der Totenstarre werden mitgeteilt. Diese Resultate zeigen, daß sich der Muskel wie ein extrem nichtlineares viskoelastisches Material verhält, mit Eigenschaften, die sowohl von den Meßbedingungen als auch von den Aufbewahrungsbedingungen vor Beginn der Messung abhängen.