一类条件最值问题的再研讨

1　问题的提出文 [1]在解决问题 (1) :“已知 x,y∈ R+ ,且 x+y= 1,求 1x+4y的最小值 .”时 ,采用了“用 1代换”的方法 ,在将该方法移植到解决问题 (2 ) :“已知 x ,y∈R+ ,且 x+y=1,求 1x2 +8y2 的最小值 .”时 ,思路受阻后 ,提出了在 (1x2 +8y2 )· (　 )中 ,括号中应配上什么式子才能解决问题的疑问 .由此利用柯西(Cauchy)不等式和待定系数法探求出了一个定理 :“已知 x,y∈ R+ ,且 x+y=1,若 λ>0 ,则当且仅当y:x=λ1n+ 1时 ,1xn+λyn (n>0 )取得最小值 ,最小值为(1+λ1n+ 1) n+ 1”.文 [1]的探索是有意义的 ,上述定理是正确的 ,读后…     

函数的最大值与最小值

随着高中数学学习的深入 ,我们常常会遇到各种各样的求最大值和最小值的问题 .解决函数的最值 (最大值与最小值 )问题涉及的知识面较广 ,解法也是多种多样的 .下面就是我对处理函数最值问题的几点心得体会 .1　配方法例 1　设x ,y是实数 ,求u =x2 +xy +y2 -x- 2 y +3的最小值 .解 :u =x2 +xy +y2 -x - 2 y +3=[x2 +(y - 1)x +(y - 1) 24 ]+y2 - 2 y +3- (y - 1) 24=(x +y - 12 ) 2 +34(y2 - 2y +1) +2=(x +y - 12 ) 2 +34(y - 1) 2 +2≥ 2 .当且仅当x =0 ,y =1时取等号 ,所以u的最小值为 2 .(同样 ,也可以 y为主元进行配方 ,读者不妨一试 )…     

条件"x+y=1"下1/xn+λ/yn的最小值

1　问题的提出我们经常遇到下列问题 :(1)已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x 4y 的最小值 ;(2 )已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x2 8y2 的最小值 ;问题 (1)“用 1代换”不难求得 :1x 4y =(1x 4y) (x y)　　 =5 yx 4 xy ≥ 5 2 yx .4 xy =9,当且仅当 yx =4 xy,即　 y =2 x时取等号 .问题 (2 )能否“用 1代换”呢 ?1x2 8y2 =(1x2 8y2 ) (x y) ,　 =1x 8y yx2 8xy2 ,虽然有　 1x 8y ≥ 2 8xy ,yx2 8xy2 ≥ 2 8xy 且　 1xy≥ 2x y,但三式等号分别在 y =8x,y =2 x与 y =x时成立 ,故等号不能同时成立 .在 (1x…     

一类分式型最值问题的统一求法——代“1”法

均值不等式应用问题中有一类“条件为a1m a2m … anm=1的分式型”的最值问题,本文给出这类问题的统一解法———代“1”法.例1已知x,y>0,且x y=1,求1x 16y的最小值.解把x y=1代入所求分式的分子,有1x 16y=x yx 16(x y)y=17 (yx 16xy)≥17 2yx·16xy=17 8=25,当且仅当yx=16xy,即     

用特征根求二次曲面圆截面方程

求二次曲面圆截面方程一般较麻烦 ,但对于形如f ( x,y,z) =ax2 + by2 + cz2 + 2 fyz+ 2 gzx+ 2 hxy=1 ( 1 )用特征根法可以很方便的求得 ,因运用旋转变换将 ( 1 )可化为 [1]λ1x′2 + λ2 y′2 + λ3z′2 =1 , ( 2 )其中 λ1,λ2 ,λ3为特征方程a-λ h gh b-λ fg f c-λ=0 ( 3)的特征根 ,且 ( 3)即- λ3+ I1λ2 - I2 λ+ I3=0 [1] . ( 3′)这里 I1=a+ b+ c.I2 =a hh b + a gg c + b ff c ,I3=a h gh b fg f c.显然 ,( 1 )的中心在 ( 0 ,0 ,0 ) ,可看作截面圆的中心 ,即 ( 1 )与球面 x2 + y2 + z2 =r2交线的中心 ,由 ( 1 )可写成ax2 + by…     

2003年第四期初中数学问题解答

一、分解因式 :6x2 -5xy-4y2 -1 1x 2 2y -1 0 .解 :注意到 6x2 -5xy -4y2 =( 2x y) ( 3x -4y) .设 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=( 2x y k) ( 3x -4y l) ,则 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0=6x2 -5xy -4y2 ( 3k 2l)x ( -4k l)y kl.比较对应项的系数得 :3k 2l=-1 1 ,-4k l=2 2 ,kl=-1 0 .　　解得 k =-5 ,l=2 .于是 6x2 -5xy -4y2 -1 1x 2 2y-1 0　 =( 2x y -5 ) ( 3x -4y 2 ) .二、求函数y =|x2 -4|-3x在区间 -2≤x≤ 5中的最大值和最小值 ,并求当y为最大值时的x值 .解 :若x2 -4≥ 0 ,即 |x|≥ 2 ,则　　y=x2 -3x-4=(x-32 ) 2 -2 54.当 |x|≤ 2时 ,　　y=-x2 -3x 4 =-(x 32 ) 2 2 54.从而求得 :当x=-32 时 ,y最大值 =2 54;当x=...     

一个不等式

命题若0<λ≤2,则对所有正实数a、b,有aa λb bb λa≤21 λ(1)证明(1)式等价于11 λba 11 λab≤21 λ(2)令x=ab,y=ba,则(2)式等价于:x>0,y>0,xy=1,有11 λx 11 λy≤21 λ(3)(3)式等价于11 λx 11 λy 2(1 λx)(1 λy)≤41 λ2(1 λx)(1 λy)≤41 λ-11 λx-11 λy2(1 λ)(1     

一道微分方程题目的多种解法

同济大学数学教研室编高等数学 (第四版 )下册 P40 7有一题目 :求方程的通解。学生普遍感到有些困难。下面给出几种解法。y′+x =x2 +y ( 1 )　　解　方法一　令 x2 +y-x=u,则 yx2 +y+x=u,y=u( x2 +y+x) ,两边对 x求导 ,得 dydx= ( x2 +y+x) dudx+u(2 x+dydx2 x2 +y+1 )。代入 ( 1 ) ,得 dudx+u2 ( u+x) =0 ,或udx +2 ( u +x) du =0 ( 2 )易见有积分因子 μ=u,引用之 ,解得 2 u3 +3 xu2 =c1。换回原变量 ,得 ( 1 )的通解为 ( x2 +y) 3 =x3 +32 xy+c.其中 c=c12 为任意常数。方法二　令 u=x2 +yx ,则 x2 +y =ux,两边对 x求导 ,得2 x+dydx2 x…     

函数的最大值与最小值

对于函数y=f(x1,x2,…,xn),若存在常数a,使y≥a恒成立,且等号确能取到,则称a为y的最小值;类似地可以定义y的最大值.数学竞赛中的最值问题往往需要综合数学各分支的知识灵活处理.下面通过一些例子来说明解最值问题的一些常用技巧.1利用函数的性质例1求二元函数f(x,y)=x2 4xy 2y2     

引入参数求最值

在利用均值定理求最值时,往往由于忽视等号成立的条件而导致错误,引入参数求最值可避免这类错误的发生.下面举例说明,供同学们参考. 例1当0相似文献   

具有拟周期系数的schrodinger方程的可约化与平衡点的线性稳定性

对Schrodinger方程(A):iut-uxx+c(t)u=0u(t,0)=u(t,2π)=0,u(t,x)=∑∞n=1qn(t)n(x)进行讨论.n(x)是特征方程y″+λy=0y(0)=y(2π)=0中特征值对应的特征函数,c(t)=a+εc1(t),其中a是常数,c1(t)是以ω为频率的拟周期函数.直接判断方程的稳定性十分困难,把方程中的c(t)约化为常数,然后利用约化后的结果来判断方程(A)的平衡点的线性稳定性,方法简单实用.     

等号不成立时的若干处理途径

最值问题往往涉及的知识点多 ,覆盖面广 ,综合性强 ,它是高考考查的一项重要内容 .利用不等式中的等号成立求最值是解决最值问题的主要方法 .学生在利用这种方法求最值时 ,常常会发现等号不能成立 ,得到的是错解 .但此时往往束手无策 ,一筹莫展 .那么 ,出现这种情况后 ,又该如何走出困境 ?本文介绍几种常见途径 ,供参考 .1　 利用函数单调性解题例 1　求 y =x2 + 5x2 + 4的最小值 .错解　∵　 y =x2 + 5x2 + 4=x2 + 4+ 1x2 + 4≥ 2 ,∴　 y的最小值为 2 .分析　因为 x2 + 4≠ 1 ,所以 y取不到最小值 2 .不等式问题可以看成函数的一个分支 ,…     

三类最小值问题的统一解法及一般结果

本文旨在通过实例，归纳总结出形如y=x＋和y=x的最小值问题的统一解法及一般结果对能直接利用基本不等式a＋b≥2,a＋b＋c≥3求解的情形，本文将略去．第一类的最小值问题情形1例1求的最小值，这里x（O，π）．以上两个木等号中的等式同时成立，当且仅例2求函数y的值域．解函数的定义域为一1≤X≤1，于是令t=（1－x2）＋，于是只需求出t的值域，即可得到y的值域．以上两个不等号中的等式同时成立，当且仅。。M。。。。。。4．例3（一般情形）求y一x十上的最小值，其中，0＜X＜b，户是一个正常数，且产）矿．上述两个不等号中的等式同时成立…     

课外练习

初一年级1.已知4z+5y+6z=36,其中x,y,z为非负数,求x+y+z的最大值与最小值.(安徽五河县弥陀寺中学(233300)李明)2.线段AB上有P、Q两点,AB=27,AP=14,PQ=11.求BQ的长.(安徽李明)3.若x,y,z满足x+y=3及x2=xy+y-4,     

三元四次对称不等式的统一加强

在文 [1 ]中 ,笔者给出了三元四次对称不等式λ( ∑x) 4 μ∑ ( yz) 2 υ∑x .∏x k( ∑x) 2 ∑yz≥ 0　 ( x,y,z >0 )成立的一个充要条件 .它等价于下面的命题　记σ1=x y z,σ2 =xy yz zx,σ3 =xyz,则F( x,y,z)≡λ0 σ41 λ1σ21σ2 λ2 σ22 - ( 2 7λ0 9λ1 3λ2 )σ1σ3 ≡λ0 σ1(σ3 1- 2 7σ3 ) λ1σ1(σ1σ2 - 9σ3 ) λ2 (σ22 - 3σ1σ3 )≥ 0 ( 1 )对任意 x,y,z >0成立的充要条件是λ0 ≥ 0 ,λ1≥ - 5λ0 ,1 6λ0 4λ1 λ2 ≥ 0( 2 .1 )或λ0 >0 ,λ1<- 5λ0 ,λ0 λ2 ≥ ( 3λ0 λ1) 2( 2 .2 )本文进而…     

定比分点公式的应用

设 A( x1,y1) ,B( x2 ,y2 ) ,点 P( x,y)分有向线段 AB所成的比　 APPB=λ　 (λ≠ - 1 ) ,则 x =x1 λx21 λ ,y =y1 λy21 λ .且当 P为内分点时 ,λ >0 ;当 P为外分点时 ,λ <0 (λ≠ -1 ) ;当 P与 A重合时 ,λ=0 ;当 P与 B重合时λ不存在 .这就是定比分点的含义 .如果我们能适时地引导学生运用定比分点公式 ,不仅可以解决解析几何自身的若干问题 ,比如求点的坐标、证明三点共线、求参数范围、求轨迹方程等等 ,而且更重要的是拓宽或推广其它已学过的数学问题 .对培养学生的创新意识和激发学生的学习积极性和主动性都是大有裨益…     

也谈一类条件最小值问题

"条件.x y=1'下一类分式函数最值再探"[1]一文给出在条件x,y∈R 且x y=1之下求分式函数最小值的三个例子,其中例2是求1/x3 12/y的最小值,它是一个非齐次形式的表达式,不是1/xn λ/yn的特例.     

用定比分点公式巧解一题

题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1),对一切实数x都成立,求f(x).分析本题显然是一道不等式恒成立问题,利用一元二次不等式恒成立知识点来解决,其运算量较大,如果用定比分点公式来解,求解过程就会变得简单、明了.解设A(x),B(f(x)),C(12(x2 1))为数轴上的三点,则ABBC=,λ由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∵λ≥0,由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ,又∵曲线y=f(x)经过点(-1,0),∴0=-1 λ1 λλ=1,∴f(x)=14x2 12x 14.本题若结合1≤f(1)≤1 f(1)=1,又f(-1)=0来求解,其运算量也较…     

一类二阶变系数线性微分方程的另二种解法

在文 [1 ]中我们介绍了二阶变系数线性方程y″+[b G( x) -G′( x)G( x) ]y′+c G2 ( x) y =0 ( 1 )的求解方法 (式中 G( x)在某区间 I上具有一阶连续导数 ,且 G( x)≠ 0 ,b和 c为实常数 ) ,即令y′=-G( x) yv ( 2 )将 ( 1 )化为关于新函数 v的一阶可分离变量方程 ,积分后代入 ( 2 )式再积分 ,最后得到方程 ( 1 )的通解。我们称这解法为函数变换降阶法。本文再介绍作者在文 [2 ]中给出的方程 ( 1 )的另二种解法。一、待定常数、函数法我们猜想方程 ( 1 )有形如y =erf (x) ( 3 )的解 ,其中 r为待定常数 ,f( x)为某一待定函数 ,它具有所需…     

构造圆锥曲线求最值

本文举例谈谈如何构造圆锥曲线求一类无理函数的最大值和最小值问题.一、构造圆求最值例 1　已知x2 +y2 =169,求 24y-10x+38+ 24y+10x+338的最大值和最小值.　　解:由x2 +y2 =169,把所求式子变形M = 24y-10x+169+25+144　+ 24y+10x+169+25+144= 24y-10x+x2 +y2 +25+144　+ 24y+10x+x2 +y2 +25+144= (x2 -10x+25)+(y2 +24y+144)　+ (x2 +10x+25)+(y2 +24y+144)= (x-5)2 +(y+12)2　+ (x+5)3 +(y+12)2.设P(x,y),A(5, -12),B(-5, -12),则所求式子M为圆x2 +y2 =169上一点到两定点A、B的距离的之和,即M= |PA|+ |PB|,如图.又∵|…