Tchebycheff插值余项及其在T-样条中的应用

在多项式逼近理论及样条逼近的讨论中,Hermite多项式余项讨论是很重要的。作者在以前一系列工作中(〔1,2〕),对于插值Hermite多项式的余项给出一系列表达式,特别是各阶导数余项的表达式。运用这些表达式成功地讨论了一系列样条函数。给出它们的余项估计和渐近展开。     

关于Hermite插值的注记

设 H_n(x)是在节点 x_0,x_1,…,x_n 上插值 f(x)的 n 次 Hermite 插值多项式.最近[1]用函数 f 的差商给出了 H_n(x) 的表达式.这里指出:这一表达式实际已有 (例如参见[2]),函数 f 的 n 次 Hermite 插值多项式 H_n(x) 及其余项可用 f 的差商简单地表示为     

插值多项式的余项表示及其在样条分析中的应用

一、插值多项式的余项表达式 设n次多项式P_n(x)在节点a_0,…,a_n上插值f(x)。当a_0,…,a_n互不相同时,该P_n(x)就是Lagrange插值多项式。考虑到a_0,…,a_n中有可能重合,我们称P_n(x)为Hermite插值多项式。熟知,Hermite插值多项式的余项     

多项式插值余项定理的一个自然证明

通过对插值多项式函数性质进行分析,多项式插值余项的基本形式得到诱导,再从该基本形式出发,获得了多项式插值余项定理的新证明.整个证明过程无需借助辅助函数的构造,因而显得较为自然.这种自然证明的方式也可用于Hermite切触型插值多项式余项的证明.     

关于缺插值样条函数

本文通过Hermite插值样条函数讨论了一类缺插值样条函数,建立了存在性、唯一性及收敛速度估计的定理,并用这类样条函数导数的界限给出某些函数类的特征.     

论Hermite插值

本文给出了Hermite插值多项式及其各阶导数的显式表示. 对于一个在x的某个领域内有足够高阶连续导数的函数f和位于该领域的任意一组节点, 给出了用f的Hermite插值多项式在点x的任意阶导数逼近f(x)的相应导数时余项的渐近表示.     

关于多结点Hermite样条

本文给出局部显式多结点Hermite插值值算子对多项式函数类再生性的简单证明。针对计算机辅助几何设计的应用背景,分析了三阶多结点Hermite样条插值逼近的具体特性。     

Hermite-Birkhoff插值的余项表示

本文将王兴华在[1]中给出的Lagrange—Hermite插值的余项表示推广到了Hermite-Birkhoff插值的情形。这些工具已有效地用来估计多种插值样条的逼近度。     

关于缺插值样条函数

在[1,2,3,4]中,我们讨论了几种缺插值样条函数.本文继续研究任意节点的缺插值样条函数,推广[1]中的结果. 在第一节中,我们讨论广义Hermite插值样条函数.通过一系列的恒等式很容易得到收敛速度的估计. 在第二节中,讨论了C~2类缺插值样条函数.建立存在性、唯一性定理,估计收敛速     

多元三角阵列插值多项式

本文研究多元三角阵列的多项式插值问题,多元Newton插值,多元Abel-Goncarov插值以及Kergin插值都是三角阵列插值的特殊情况,本文首先得到了多元三角阵列插值多项式及其余项的具体表达式;在此基础上,证明了插值问题的存在唯一性;给出了三角阵列插值余项的估计式,进而得到一个有关多元复变函数插值级数的收敛性定理。     

一种基于函数值的二元有理插值函数及其性质

利用带参数的仅以被插函数的函数值作为插值条件的一元有理插值方法,构造了一种分母为双二次的仪基于函数值的二元有理双三次插值函数,插值函数具有简洁的显示表示,插值函数中含有四个参数,当这些参数满足一定条件时,插值曲而在插值区域上C1光滑.由于插值函数中含有参数,这样可以在插值数据不变的情况下通过对参数的选择进行插值曲面的局部修改,最后讨论了插值函数的一些性质.     

A weighted bivariate blending rational interpolation based on function values

This paper presents a new weighted bivariate blending rational spline interpolation based on function values. This spline interpolation has the following advantages: firstly, it can modify the shape of the interpolating surface by changing the parameters under the condition that the values of the interpolating nodes are fixed; secondly, the interpolating function is C¹-continuous for any positive parameters; thirdly, the interpolating function has a simple and explicit mathematical representation; fourthly, the interpolating function only depends on the values of the function being interpolated, so the computation is simple. In addition, this paper discusses some properties of the interpolating function, such as the bases of the interpolating function, the matrix representation, the bounded property, the error between the interpolating function and the function being interpolated.     

一类四次有理插值样条的点控制

构造了一种有理四次插值样条,其分子为四次多项式分母为二次多项式.该有理插值样条是有界的、保单调且C~2连续的,仅带有一个调节参数δ_i.研究了有理四次插值样条的性质,同时给出了相应的函数值控制、导数值控制方法,这种方法的优点在于能够根据实际设计需要简单地选取适宜的参数,达到对曲线的形状进行局部调控的目的.     

一类基于小波基函数插值的有限元方法

在分析具有大的梯度问题中,将具有紧支集的小波基函数引入到传统的有限元插值函数的构造中,对传统的插值方法进行修正。对新的插值模式进行了数值稳定性（解的唯一存在性）分析并通过分片分析讨论了解的收敛性,新的插值模式所引入的附加自由度通过静力凝聚法来消除,最后得到了基于变分原理的小波有限元列式。     

Analysis and Construction of Multivariate Interpolating Refinable Function Vectors

In this paper, we shall introduce and study a family of multivariate interpolating refinable function vectors with some prescribed interpolation property. Such interpolating refinable function vectors are of interest in approximation theory, sampling theorems, and wavelet analysis. In this paper, we characterize a multivariate interpolating refinable function vector in terms of its mask and analyze the underlying sum rule structure of its generalized interpolatory matrix mask. We also discuss the symmetry property of multivariate interpolating refinable function vectors. Based on these results, we construct a family of univariate generalized interpolatory matrix masks with increasing orders of sum rules and with symmetry for interpolating refinable function vectors. Such a family includes several known important families of univariate refinable function vectors as special cases. Several examples of bivariate interpolating refinable function vectors with symmetry will also be presented.     

基于二元连分式的散乱数据递推插值格式

本文首先基于新的非张量积型偏逆差商递推算法,分别构造奇数与偶数个插值节点上的二元连分式散乱数据插值格式,进而得到被插函数与二元连分式间的恒等式.接着,利用连分式三项递推关系式,提出特征定理来研究插值连分式的分子分母次数.然后,数值算例表明新的递推格式可行有效,同时,通过比较二元Thiele型插值连分式的分子分母次数,发现新的二元插值连分式的分子分母次数较低,这主要归功于节省了冗余的插值节点. 最后,计算此有理函数插值所需要的四则运算次数少于计算径向基函数插值.     

W_2~m空间中样条插值算子与最佳逼近算子的一致性

由线性微分算子确定的样条是连接多项式样条与希氏空间中抽象算子样条的重要环节,对微分算子样条的研究,既可从更高的观点揭示和概括多项式样条,又可启示我们去发现抽象算子样条的一些新的理论和应用． Ｇｒｅｅｎ函数是研究微分算子样条的重要工具 ［１］,但在微分算子插值样条的计算及将样条用于数值分析中,再生核方法起着更重要的作用．文献［２］［３］给出了与二阶线性微分算子插值样条有关的再生核解析表达式;由此得到了二阶微分算子插值样条与空间Ｗ_２～１［ａ,ｂ］中最佳插值逼近算子的一致性;而且还利用再生核给出了Ｈｉ…     

W_2~m空间中样条插值算子与最佳逼近算子的一致性

This paper discusses generalized interpolating splines which determined by n order linear differential operators, and the best operators of interpolating approximation in W_2~m spaces, The explicit constructive method for the reproducing kernel in W_2~m space is presented, and proves the uniformity of spline interpolating operators and the best operators of interpolating approximation W_2~m space by reproducing kernel. The explicit expression of approximation error on a bounded ball in W_2~m space, and error estimation of spline operator of approximation are obtained.     

基于函数值的有理三次插值样条曲线的区域控制

将插值曲线约束于给定的区域之内是曲线形状控制中的重要问题.构造了一种基于函数值的分母为三次的C~1连续有理三次插值样条.这种有理三次插值样条中含有二个调节参数,因而给约束控制带来了方便.对该种插值曲线的区域控制问题进行了研究,给出了将其约束于给定的折线、二次曲线之上、之下或之间的充分条件.最后给出了数值例子.     

Bivariate Polynomial Natural Spline Interpolation Algorithms with Local Basis for Scattered Data

Because of its importance in both theory and applications, multivariate splines have attracted special attention in many fields. Based on the theory of spline functions in Hilbert spaces, bivariate polynomial natural splines for interpolating, smoothing or generalized interpolating of scattered data over an arbitrary domain are constructed with one-sided functions. However, this method is not well suited for large scale numerical applications. In this paper, a new locally supported basis for the bivariate polynomial natural spline space is constructed. Some properties of this basis are also discussed. Methods to order scattered data are shown and algorithms for bivariate polynomial natural spline interpolating are constructed. The interpolating coefficient matrix is sparse, and thus, the algorithms can be easily implemented in a computer.