争鸣

问题　　 问题 81 　笔者在教学中 ,遇到了这样一个问题 ,同学们给出了两种不同的解法 ,都认为自己的解法有道理 .然后我们几个老师在一起讨论 ,也有所分岐 .题目　已知外接圆半径为 6的△ABC的边长为a ,b ,c,角B ,C和面积S满足条件 :S =a2 - (b-c) 2 和sinB +sinC =43.1)求sinA ;2 )求△ABC面积的最大值 .解法 1　 1)S =a2 - (b -c) 2 =a2 -b2 -c2 +2bc =- 2bccosA +2bc .又S =12 bcsinA ,所以 - 2bccosA +2bc =12 bcsinA ,　　 4 -sinA =4cosA ,　　sinA =817或sinA =0 (舍去 ) .2 )因为sinB +sinC =43,且外接圆的半径为6 ,所以…     

用整除知识解一道全国联赛题

<正>题目(2012年全国初中数学联赛第二试(B)试题)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.《中学生数学》2014年3月(下)吕强老师的文章给出此题的一种新解法,较贵刊此前发表的多种解法简单.由于此题已知直角三角形的边长均为整数,我想尝试用整除知识求解.解设a、b为直角三角形的直角边,c为斜边,由a+b>c,c>a,a+b+c=60知,     

一道不等式题的多种解法及推广

题目:实数a,b,满足a2+b2=1,若c>a+b恒成立,求c的取值范围.解法1:三角换元法设a=cosα,b=sina,a∈[0,2π],则a+b=cosα+sinα=√2sin(a+π/4)……     

吉林预赛题的一种解答

<正>题目已知正数a,b,c满足2a+4b+7c≤2abc,求a+b+c的最小值.以上题目是2008年全国高中数学联赛吉林省预赛第17题,笔者在文[1]中给出了两种解答,更早的[2]和文[3]也各自给出了一种解答,遗憾的是,这四种解法都有一个同样的缺点,那就是,它们都是事先知道了最小值点后再求最小值的!如果事先不知道最小值点的话,以上四种解法都将无法找到配凑系数的方向     

一类条件最小值问题的统一解法

本文给出一类条件最小值问题及其统一的解法,这类问题是:已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,k(k≠0,1)为整数,求(a+b)k+(b+c)k+(c+a)k的最小值.统一解法使用的工具是n(n≥2)元均值不等式:a1+a2+…+an≥nna1a2…槡an(ai>0,i=     

一道2013年联赛题的另解

<正>题目(2013年全国初中数学联赛试题)已知实数a,b,c,d满足2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6,求(a2+b2)(c2+d2)的值.本刊5月下的参考答案同时采用了换元法和夹逼法,意境高,技巧性强.下面提供另两种常规解答,供学习参考.解法1由条件得(2a2+3c2)(2b2+3d2)=36,即4a2b2+6a2 d2+6b2c2+9c2 d2=36.由条件(ad-bc)2=6得a2 d2+b2c2-2abcd=6,∴6a2 d2+6b2c2=36+12abcd.∴4a2b2+12abcd+9c2 d2=0,∴(2ab+3cd)2=0,∴2ab=-3cd.再由条件得2(a2-b2)=-3(c2-d2),上面两式相乘得cd(a2-b2)=ab(c2-d2),     

一道自招试题的三种解法

题目在△ABC中,tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3,求AC/AB.解法1不妨设A、B、C所对应的三边分别为a、b、c,a则 tanA=sinA/cos A=a/2R/b2+c2-a2/2bc=abc/R(b2+c2-a2),     

巧求28a+30b+31c=365的非负整数解

《中学生数学》2011年第2期刊发了刘小杰老师的《28a+30b+31c=365的非负整数解》一文,读后深受启发.下文再给出一种更简便的解法,供读者参阅.解不定方程可变形为     

由传统题目展开的研究性学习一例

本文以一道传统题目为例 ,给出组织学生进行研究性学习的方法 .已知a,b>0且a+b=1 ,求证 :a+1a b+1b ≥2 54 ,等号当且仅当a=b =12时成立 .我在教学这道题目时 ,没有直接呈现这一传统题型 ,而是分成以下几个层次逐步展开研究性教学 .一、引导学生进行错解剖析 ,培养学生思维的批判性 .　　在教学时首先出示改编的题目 :若a ,b >0 ,且a+b=1 ,求a+1a b+1b 的最小值 .然后请学生求解 ,其中学生常会得出如下解法 :由a ,b>0 ,得a+1a≥ 2 ,b+1b≥ 2 .故a+1a b+1b ≥ 4,于是得a+1a b+1b 的最小值为 4.对这样的解法启发学生探究其真伪性 .学生经过讨…     

等式转化为不等式问题的补充解法

《中学生数学》2005年5月(上)吕伟庆老师给出了问题:已知a、b、c∈R,a b c=1,a2 b2 c2=1,求a的取值范围的三种方法(判别式法,基本不等式法,几何位置关系法)．下面再给出该题由等式转向不等式较为简单的三种解法．     

五法求最小值

<正>例已知a,b,c均为实数,且a+b+c=0,abc=432,求正数c的最小值.分析由a+b+c=0,abc=432可知:a,b,c中必为两负一正,若c>0,则a<0,b<0.要求正数c的最值,就要根据已知条件推导出关于c的不等式,这是解题的关键和必经之路.解法1因为a+b+c=0,abc=432,所以a+c=-b,432/ac=b.因此a+c+432/ac=0,即ca²+c2+c²a+432=0.     

新题征展(124)第5题的进一步思考

题目 设a,b,c为正实数,1≤a,b,c≤2,求(a+b+c)(a/1+b/1+c/1)的最大值. 答案 当且仅当a=b=c=1时,所求最大值为27. 进一步思考     

含向量的方程

在高三的一本数学复习资料中,有一道关于含向量的方程的解的存在性的问题.下面在该题求解的基础上探讨一下怎样判断和解含向量的方程.　　题目　已知a,b,c为非零向量且a⊥b,x∈R,x1,x2 是方程ax2 + bx + c=0的两实根,求证:x1=x2 .1　解法探讨错解　因为a⊥b则a·b=0 .b·(ax2 + bx+ c) =0 ,(b·a) x2 + b2 x+ b·c=0 ,∴　x=- b·cb2 .故,原方程只有唯一解,所以x1=x2 .错因分析　“将原方程两边同点乘b”,不是同解变形.b·(ax2 + b·x+ c) =0成立时,除了ax2 + bx+ c=0外,还有可能是b⊥(ax2 + bx+ c) .所以- (b·c) / b2不一定是原方程的解.…     

两道相关的竞赛题

<正>赛题1 (第20届伊朗奥林匹克竞赛试题)已知正数a,b,c满足a~2+b~2+c~2+abc=4,求证:a+b+c≤3.赛题2 (2011年全国高中数学联赛B卷加试题三)设实数a,b,c≥1,且满足abc+2a~2+2b~2+2c~2+ca-cb-4a+4b-c=28,求a+b+c的最大值.这是两道相关的竞赛题.下面给出它们的简洁解法并做了条件与结论的优化.1相关证明     

用放缩法再解一道经典题

《中学生数学》2011年第2期第32页《28a+30b+31c=365的非负整数解》和2011年第12期第20页《巧求28a+30b+31c=365的非负整数解》分别对同一问题进行了精彩的论述,读后深受启发.下面再给出一种让同学们易于接受又较为简捷的解法,供读者参考.     

探究向量模的求法

题目（苏北2013年调研）已知平面向量a,b,c两两所成角为2π/3,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析求向量的模,利用模长公式|a|=a⁽1/（?）=x²+y^21/2解决.解|a+b+c|= a+b+c^1/2=（?）=3^1/33.进一步思考变式1已知平面向量a,b,c两两所成角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析本题得了解对向量的夹角的定义,夹     

(一)1/2=-1?

题目已知a/b+c=b/c+a=c/a+b,求a/b+c的值。解1 因a/b+c=c/a+b,由等此定理: a/b+c=a+b+c/(b+c)+(c+a)+(a+b)=a+b+c/2(a+b+c)=1/2。解2 因a/b+c=b/c+a=c/a+b=-d/-(a+c) 由等比定理得: a/b+c=a+(-b)/(b+c)+〔-(a+c)〕=a-b/b-a=-1 这岂不成了1/2=-1吗?谁是谁非?     

一类双重最值问题的简解

文[1]通过三道数学竞赛试题总结出一类多变量双重最值问题的求解策略,但解法略显繁琐.笔者运用整体思想,给出此类问题的简证如下:例1设a,b,c∈R,且a+b+c=1,求min{max(a+b,b+c,c+a}}的值.(2001年北京市高中数学竞赛题)     

顾此失彼

例已知实数a、b、c满足a/b=b/c=c/a,求(b+c)/a的值.解法一(1)当a+b+c≠0时,由等比定理,得     

浅析有条件的分式化简与求值问题

解有条件的分式化简与求值问题时,既要瞄准目标,又要抓住条件;既要根据目标变换条件,又要依据条件来调整目标,常常用到如下解题技巧.1引入参数法此法的运用特点是当题目所给条件为连比等式的形式时,采用引入参数法进行转换.例1已知a2+b=b-32c=3c4-a,求5a8+a6+b9-b7c的值.分析审视条件和待求式,设连比值为k,则a,b,c分别能用参数k的倍数来表示,问题可迎刃而解.解设a2+b=b-32c=3c4-a=k,则a+b=2k,b-2c=3k,3c-a=4k,三式联立解方程组,得a=-151k,b=215k,c=35k.所以,5a+6b-7c8a+9b=5×(-115k)+6×251k-7×35k8×(-151k)+9×251k=15001.点评通过引入参数k,将条件转化为方程组,然后用k分别表示a,b,c,代入分式中求解.通过引入参数,实现将多元(a,b,c)转变为一元(k)来求解,既有条不紊又方便快捷.例2已知abc≠0,且a+cb=ba+c=c+ba,求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值.分析审视条件和待求式,设连比值为k,则待求式等于k3,若能求出k,问题获解.解设a+cb=ba+c=c...