椭圆标准方程的再推导

教材关于椭圆标准方程的推导一般采用经典的距离公式法：用平面上的两点间的距离公式将几何性质转化为代数关系，经过两次等式两边的平方、化简、整理，就可以得到椭圆的标准方程．虽然这种方法的思路非常自然、直观，但是由于其间要经过两次平方的处理，运算量相对较大，繁杂的运算反而容易掩盖问题本质，使推导不容易掌握．现给出椭圆标准方程的其他闪亮推导．     

2016年北京高考理科第19题的多解与变式

<正>2016年高考数学北京卷理科第19题以椭圆为载体,属于圆锥曲线中的定值问题,主要考查两点间距离公式、椭圆的标准方程和参数方程等知识,此题构思巧妙,设计不落俗套,在考查学生基本概念、基本方法的同时,又考查了学生运算能力和方程思想等思想方法.一、原题再现     

是椭圆还是双曲线?

题目 z∈C,试判断适合方程|z i| |z-i|=1的点z的集合是什么图形? 解一根据复数减法的几何意义和复平面上两点间的距离公式,可知上式表示与两个定点的距离的和等于常数的点的集合。从椭圆的定义判断上述图形是椭圆。解二设z=x yi (x,y∈R),把原方程化为:     

九、直线与圆

知识要点］基本公式：两点间距离公式．线段的定比分点公式．两点间斜率公式．直线方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式．两直线位置关系：两条直线平行与垂直的条件．两条直线所成的角．两条直线的交点，点到直线的距离．圆的方程：标准方程和一般方程，直线与...     

圆与椭圆

在圆锥曲线中,通常都是以平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两定点长度）的点的轨迹叫椭圆,其标准方程为x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a,b〉0）。特别地,当a=b时,椭圆的方程就成为了圆的方程．从这个角度来讲,圆可以看作一类特殊的“椭圆”．而且对上述椭圆方程,     

关于椭圆的教学

在中学平面解析几何教材中,关于椭圆知识的安排,一般都是从“到两定点距离之和等于定长”的轨迹定义出发,推导出椭圆的标准方程,再讨论椭圆的性质。通过例题讲解,引入准线概念,建立椭圆的另一个轨迹定义:“到一个定点的距离与它到一条定直     

Heisenberg群上次椭圆p-Laplace方程的边界估计

研究次椭圆p-Laplace方程(P＞1)解的边界性质,通过建立Heisenberg群上带有区域内点到边界Carnot-Carath閛dory距离函数的Hardy型不等式,给出了有界域上次椭圆p-Laplace方程以及带非平凡位势的次椭圆p-Laplace方程的解在边界附近的若干估计.     

多方法破解，多规律总结，多变式拓展——对2021年数学新高考Ⅰ卷第5题的探究

<正>1真题呈现高考真题^{2021年高考数学新高考Ⅰ卷第5题}已知F₁,F₂是椭圆C:■的两个焦点,点M在C上,则|MF₁|·|MF₂|的最大值为()．A.13 B.12 C.9 D.6该题题目简洁明了,通过椭圆标准方程的给出,进而确定椭圆两焦半径积的最大值．题目难度不大,破解思维方式多样．破解最直接有效的办法就是应用基本不等式;而采用两点间距离公式或焦半径公式也是不错的方法,结合函数思维来确定最值;     

恒等变换与圆锥曲线标准方程

椭圆、双曲线标准方程的推导,教科书采用了两次平方,以强调基础,保持了自身系统的完整性。为加强横向联系,利用学生熟知的恒等式简化推导过程,对于开拓学生思维大有好处,本文就是这样的一个探索:利用(x c)~2 y~2-(x-c)~2-y~2=4cx推导圆锥曲线标准方程。一、椭圆标准方程的推导由椭圆的集合p={M||MF_1| |MF_2|=2a}得方程     

例析椭圆问题的圆处理

<正>在椭圆方程中,令a=b=r,则椭圆方程变为圆方程;在椭圆面积公式S=πab中,令a=b =r,则椭圆面积公式变为圆的面积公式.以上说明圆可以看作是特殊的椭圆,它们有很多相     

一类非线性奇异椭圆方程的非平凡解

讨论一类非线性奇异椭圆方程边值问题,运用正则化方法,经过取两次极限,得到了这个问题的一个非平凡解.     

椭圆标准方程推导之道

<正>对于椭圆标准方程的推导过程,人民教育出版社(A版)普通高中数学选择性必修第一册教科书上以焦点在x轴上的椭圆为例,在建系列式后,化简两根式相加的式子■=2a时,采用的处理方法是先将其中一个根式■移到等式右边,经过第一次两边平方得到a²-cx=■,     

“椭圆及其标准方程”的教学设计

一、数学分析 “椭圆及其标准方程”是继圆的学习之后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例．学生对“曲线与方程”的内在联系（数形结合思想的具体表现）仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识．但由于学生比较了解圆的性质,从“曲线与方程”的内在联系角度来看,学生并未真正有所感受．所以,椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点．     

凸域内两点间的平均距离

本文研究了凸域内两点间的平均距离公式,利用广义支持函数的方法分别求出了圆、矩形、椭圆域内两点间的平均距离,并给出了具体的求解过程.     

二次曲线系Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey λ=0

二次曲线系Ax~2 Bxy cy~2 Dx Ey λ=0(其中A、B、C不全为零,λ是参变数,下同)有一些重要性质,值得研究。定理1 二次曲线系Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey λ=0……(1)中的非退化二次曲线是下列三种情形之 1°当B~2-4AC<0时,是一簇同轴(指对称轴)位似椭圆; 2°当B~2-4AC>0时,是一簇共渐近线双曲线; 3°当B~2-4AC=0时,是一簇同轴(指对称轴)同p(焦点到准线的距离)抛物线。证明1°当B~2-4AC<0时,曲线系(1)中的所有非退化二次曲线均是椭圆,它们经过适当的坐标变换,总可以化成最简椭圆方程;又因为经过坐标变换得到的新方程的二次项系数和一次项系数只与原方程的二次     

浅谈椭圆的定义及应用

椭圆是圆锥曲线中的一种曲线 ,学好它对学好双曲线与抛物线有十分重要作用 .而椭圆的定义既是研究椭圆标准方程的基础 ,也是解题的重要依据 .为此本文对椭圆的定义急应用进行研究 ,供同学们学习时参考 .课本指出 :平面内与两个定点F1,F2 的距离和等于常数 (大于 |F1F2 | )的点的轨迹 ,叫椭圆 .在理解定义时应注意它的条件 :①定义中讲的是距离之和而不是距离差 ;②常数大于 |F1F2 | .这里应注意 ,当常数分别大于、等于、小于 |F1F2 |时 ,点的轨迹分别为椭圆、线段、不存在 ,这里渗透了分类思想 .在理解定义时 ,要注意定义的可逆性 :椭圆…     

椭圆方程之旅

今天的中学数学教科书采用椭圆的第一定义,并以此为出发点,通过两次平方,推导出椭圆的标准方程.我们已经太熟悉该推导法,以致不会去想:椭圆方程有过怎样的发展历程?我们还有别的推导方法吗?历史上数学家或数学教科书的作者是怎么做的?对我们有何启示?本文试图对这些问题作出回答.     

72 椭圆第二定义的发现

1”寻觅与追索T：我们从回顾椭圆标准方程的推导过程开始！移项，两边平方，化简得obzpb4过程中，主要有三个式子，请分别说一说，它们表示、揭示了什么？SI：①式是椭圆的定义式，它揭示了：椭国上的点到两定点距离之和等于定长2d，这一本质属性．S：③式是椭圆的标准方程，它具有简单、对称、和谐的特点．T：那么，②式又揭示了什么呢？我们将②式变形为④式的几何意义是什么呢？S：④式表示椭圆上的点M（X，y）到焦．左A（C，0）与到定直线人：C一一的距离之比是常数上（a＞c＞0）（注意一一—·。＞a，即定直线在椭圆的右面的外侧…     

“二次曲线”一章的教学体会

在新编高中课本第二册,二次曲线一章的教学中,我有如下的体会:教材先介绍椭圆定义,“动点到两定点的距离之和等于定值的点轨迹叫椭圆”.然后据此定义导出标准方程,后来安排一个例题:(即现行教材中的例4)点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=a~2/c的距离的比是常数c/a(a>c>0),     

对一道课本习题的探究

一、问题 例1 (上教版高二下练习部分P26习题12.3B-3)求经过(-3/2,5/2)与(√3,√5)两点的椭圆标准方程. 例2 (同例1教材P30习题12.5A-1(3))写出满足下列条件的双曲线的标准方程:经过点(-√2,-√3),点(√15/3,√2).