借用一个基本公式简解一组向量考题

在高考复习中,有这么一类向量考题,它以平面几何中的点线关系为背景,以向量的数量积为测试平台,以考查学生的化归能力为目标.这种将向量的数量积问题转化为代数、三角、解几问题的解题方法,其思维量很大,运算要求很高,推理路径很长;其求解过程绕来绕去,难以把握转化的方向.笔者在研究中发现这类向量数量积的考题,有一个共同特点:它们都是共点向量或可化为共点向量的数量积,可以借用一个基本公式转化命题,     

平面向量的一个优美的综合公式

笔者研究发现 ,平面向量中有一个优美并且非常有用的综合公式 :图 1　证公式用图设 |ｂ→|=ｋ ,ｂ→ 与ａ→ 夹角为θ ,则有 :　ｂ→ =(ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ ,　ｓｉｎ(±θ) ) ,ｋａ→|ａ→|　·(ｓｉｎ( θ) ,ｃｏｓθ) ) .　　证　如图 1 ,设ａ→ =(ｘ ,ｙ)与ｘ轴正半轴夹角为α ,ｂ→ =(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则ｃｏｓα =ｘ|ａ→|,ｓｉｎα =ｙ|ａ→|.ｘ0 =ｋ(ｃｏｓ(α±θ) ) ,ｙ0 =ｋ(ｓｉｎ(α±θ) ) .ｘ0 =ｋ(ｃｏｓαｃｏｓθ ｓｉｎαｓｉｎθ)=ｋ(ｘ|ａ→|ｃｏｓθ ｙ|ａ→|ｓｉｎθ)= ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ,ｓｉｎ( θ) ) ,…     

余弦定理的向量公式

式子｜a｜=√a·b之所以有用,原因在于它建立起长度与数量积运算间的关系．类似地,对于余弦定理,如图1,     

用向量简解一类竞赛题

我们知道,根据向量相等的定义及向量的数量积公式,可以得到向量的一个性质：若│^→m│=│^→n│,且^→m·^→n=│^→m│·│^→n│,则│^→m=^→n.这仰止性质看起来很简单,却有着十分广泛的用途．可利用它来解决一类数学竞赛题,并且解答过程简捷、明了,给人们一种耳目一新的感觉．现采撷几道赛题说明如下．     

巧用向量的一个性质简解一类数学竞赛题

我们知道,根据向量相等的定义及向量的数量积公式,可以得到向量的一个性质：这个性质看起来很简单,却有着十分广泛的用途．可利用它来解决一类数学竞赛题,并且解答过程简洁、明了、快捷,给人们耳目一新的感觉．现采撷几道赛题说明如下：     

一组向量系数公式的妙用

平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么,对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1＋λ2e2．     

定比分点公式的向量形式及应用

众所周知，向量法是解决平面几何问题的重要方法，而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式．本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用，供大家参考。     

三角形面积公式的向量形式及其应用举例

平面向量作为一种工具,在解题时有着广泛的应用．新课程高考考试大纲对此明确要求：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．本文利用平面向量知识,推导三角形面积公式的向量形式,并举例说明其应用．     

用向量法证明平面几何问题

向量的线性运算和数量积运算都具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,用向量法解决平面几何问题,不仅是一种全新的解题思路,对一些比较复杂的线段比例问题用向量法求解还是一种有效的捷径．     

多视角赏析一道向量填空题

该文通过对一个问题的透视,寻找问题解决的多种途径,这在高三复习时常常使用,可让学生的知识融会贯通.试题(2012年安徽卷理14)若平面向量a、b满足2a-b≤3,则a·b的最小值是_______.赏析:该向量小题简洁朴素,精巧雅致,个性鲜明,灵动卓然,是2012年安徽理科卷中的一道靓题,也是各省市众多向量试题中的佼佼者.以下多视角的解答探求,把"向与量"的精彩,演绎得淋漓尽致:形与数,动与静,放与缩,相等与不等,取值与最值,平面与空间(完全可以把"平面"二字改为"空间").考查了数形结合思想、化归与转化思想,具有很强的导向作用.     

2012年平面向量高考热点问题剖析

通过新题或通过改变陈题的背景材料,来考查学生的能力是高考命题的常用方法.可与平面向量结合的知识点较多,如平面几何、立体几何乃至圆锥曲线、直线与方程等都能与平面向量进行交汇命题.求解这类题,需要学生具有扎实的数学基础和灵活运用数学基本思想方法的能力,并能在试题中提取有用的信息,进行加工整理.本文对今年高考中平面向量的热点问题进行分析,希望对读者能起到抛砖引玉的作用.     

平面向量系列难点化解透析

平面向量在高考考试说明中有关线性运算、基本定理、数量积、向量应用四个方面均有掌握应用的要求,属于应用掌握级别的共有10处,因此在平面向量处设置难点也就成了高考命题的一个拉分点,屡屡成为填空或选择的压轴题,有的考生因此对平面向量问题产生了望洋兴叹的想法.笔者通过对平面向量的几类典型问题的分析,总结出常见难点的应对策略,希能起到抛砖引玉的作用.     

从一堂向量复习课引起的思考

在一堂向量的复习课上,为了让学生对向量有一个比较全面、丰富的认识,笔者设计了这样一个问题：向量有哪些特征？学生的回答非常全面,比如：大小和方向、坐标、几何意义、加减法（平行四边形法则）、数乘、数量积等．这似乎是一个没有什么亮点的回答．但就在有同学提出“坐标”这一特征之后,“亮点”出现了．有同学认为,“坐标”不应称为向量的特征,因为向量的运算似乎不需要坐标的引入,课本中的教学顺序也是这样安排的．     

例谈平面向量数量积的求值问题

平面向量的数量积是向量中的一个重要的概念,它有物理背景和几何意义,有自己的运算律与坐标运算公式,能把代数与几何等内容巧妙地结合在一起．在近年的高考卷与模拟测试卷中,经常见到求平面向量数量的值或它的取值范围的问题．就这一类问题的解决思路与方法,本文结合一些例子,做一些梳理,以期举一反三,启迪思维．     

构造法在求向量数量积取值范围中的应用

在求解向量数量积取值范围一类问题时,有时会遇到一些用常规方法解决很繁琐的问题,这时,我们可以考虑用构造法将问题转化,使问题中原来隐晦不清的关系和性质在构造中清晰地展现出来,从而简捷地解决问题.本文通过构造三角形、四边形和圆直观地揭示已知与未知的关系,从而达到迅速解题的目的.     

用向量法证明平面几何问题

向量的线性运算和数量积运算都具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,用向量法解决平面几何问题,不仅是一种全新的解题思路,对一些比较复杂的线段比例问题用向量法求解还是一种有效的捷径.下面是用向量法证平面几何题的几种常见类型,供同学们学习过程中参考.     

向量数量积的新几何意义及应用

我们知道,向量a与b的数量积为a·b=｜a｜·｜b｜cos〈a,b〉,其中涉及三个量.换个角度看,可以关注两个量：｜a｜与｜b｜cos〈a,b〉,其中｜b｜cos〈a,b〉表示向量b在向量a方向上的投影,利用这个几何意义可降维（将二维平面内的问题转化到一维直线上）,方便地求两向量的数量积.然而从形上看,还需判断投影的正负,“形”还不够到位.能否找到更为直接的几何意义呢？从图形上看,两向量构成一个三角形,     

立体几何中的探究性问题与基向量法

立体几何中的探究性问题是考生最难得分的问题,由于条件多,结论不确定等因素,因而成为高考题中难题,其区分度较高．然而随着新课标教材在全国各地的全面推进,特别强调基向量法在解决立体几何问题中的作用,利用基向量法来研究立体几何中的探究性问题,可以降低对空间想象能力的要求,将几何问题转化为数量关系间的运算,可起到意想不到的效果,同时利用此方法还可以避免建坐标系、找点的坐标的复杂任务．下面就采用基向量法对2009年高考题中的探究性问题加以研究,以期对大家能有所帮助．     

例析a·b的另一几何意义的应用

1。背景 平面向量作为一种基本工具,在高中数学中有着极其重要的地位与作用,尤其体现在平面几何的求解问题上。而平面向量的数量积更是平面向量中的重中之重,很多学生对数量积的代数运算得心应手,一旦碰到涉及数量积的几何意义问题时就一筹莫展。