齐次化方法在解题中的应用

<正>齐次式能够体现数学的对称美与和谐美,在解题过程中若能把非齐次式转化为齐次式来处理往往能够起到化繁为简,事半功倍的效果.因此,在数学解题中,利用已知条件将非齐次的代数式转化为齐次式的齐次化处理方法是解决一些数学问题的重要方法.本文中我们从三角函数求值、不等式求最值和解析几何三个方面举例说明齐次化方法的应用.     

例谈齐次化在数学解题中的应用

齐次化是重要的解题方法之一,用其解题不仅可以简化解题步骤,还可以体现数学的对称美与和谐美.齐次化的本质是降维消元,将问题化繁为简,本文结合四道实例进行介绍,一方面给广大师生提供另一种解题思路,另一方面展示齐次化的应用技巧,从中体会其精妙之处.     

例谈“化齐次法”在解高考题中的应用

通过对文[1]阅读，笔者学习了该文作者提出的通性通法——三角代换法。然而，经笔者思考后还发现，这几个例题还存在另一种很实用的通法，即化齐次法。化齐次法是一种通过构造关系式（等式或不等式）两边各项的次数相等，转化为齐次式，从而实现解题目标的一种数学转化策略。     

二次齐次式在求解综合问题中的应用

数学解题过程潜藏着丰富的智慧 .认真分析解题过程的每一步 ,并注意领悟其内涵 ,随时都会给你的解题宝库增添新的财富 .二次齐次式 ,即如下关于 x、y的式子 :ax2 bxy cy2 ( a、b、c为常数 )就是数学解题过程中的一只“奇葩”,它仅存在于一般人的解题过程之中 ,未被大多数人视为一种解题方法而得到重视 .其实 ,只要在解题过程中稍加注意即知 ,它是一种较为常见又具有强劲威力的重要方法 .尤其是若能合理构造并巧妙应用二次齐次式解题 ,有时会给我们带来莫大的快乐 .这既是简化解题过程的灵丹妙药 ,又是培养学生思维灵活性的金桥 .文 [1 ]…     

齐次变换的应用

我们把y=kxm变换称为齐次变换.本文例举这个变换在解题中的各方面的应用. 1解方程组 高次方程的解题思路是降次、消元,用齐次变换能简捷降次或消元.     

齐次化联立解决高考中与斜率和积有关的定点问题

本文主要研究与斜率和或积为定值有关的定点问题,并用齐次化联立的方法进行统一解答,不仅能优化计算,还提供本类问题统一的解题方法.     

利用齐次化与非齐次化思想证明不等式竞赛题

设含有变量x1,x2,…,xn的不等式,如果对任意正数λ,用λx1,λx2,…,λxn去替代x1,x2,…,xn所得的不等式不改变,则称这个不等式是齐次不等式,否则,称这个不等式是非齐次不等式.齐次不等式体现了数学的对称美和和谐美,所以我们常常把非齐次不等式转化为齐次不等式进行证明,这样可以化繁为简,达到事半功倍的效果.反过来,对于某些齐次不等式,如果我们增加条件将它非齐次化,有时也会减少不必要的复杂运算,化难为易,其优雅之处,也叫人拍案叫绝．     

活用对称性,巧解数学题

<正>对称在自然界中是普遍存在的,它给人们以美的享受．在数学解题中,我们发现有些题目涉及的对象常常具有对称性,若我们能挖掘其对称性且利用得当,就能化难为易、化繁为简,达到提高解题速度和准确率的效果．下面我们结合典型例子从四个方面介绍如何活用对称性,巧解数学题,希望对同学们有帮助．     

利用齐次方程易转化性解题

通常采用两边同除以cos^2x使之转化成一个只含一个未知数的方程,然后求解的方法．该疗程之所以易转化,是因为方程左边是一个关于sinx,cosx的齐次式．在代数式中,齐次式往往较其他式易于转化,充分利用这一特点,可给解题提供诸多方便．对活跃学生思维也是大有裨益的．本文举几例竞赛题和高考题加以说明．     

利用对称思想解题

提及对称性,人们往往注意到的是图形的对称性,而忽视数学式的对称性．数学美中的对称美,其实蕴含着图和式这两个方面的对称美．一旦我们能发掘并利用其对称的性质,常常能收到简单、奇异的解题功效．因此,在解题和教学的过程中,我们应注意渗透和利用对称思想,培养和发展学生的创造性思维．１　利用对称思想,简化解题过程例１　求证：ｘ２－ｙｚ（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｚ）＋ｙ２－ｚｘ（ｙ＋ｚ）（ｙ＋ｘ）　＝ｘｙ－ｚ２（ｚ＋ｘ）（ｚ＋ｙ）．分析　待证式显然可变形为ｘ２－ｙｚ（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｚ）＋ｙ２－ｚｘ（ｙ＋ｚ）（ｙ＋ｘ）＋…     

例谈运用估值法解题

我们在解题过程中常常要对某些特定的数式进行初步估计,以明确探求目标,然后再根据题意进一步缩小取值范围,直至问题完全解决。这种思维方法我们称之为估值法。它是一种很有实用价值的解题方法,若灵活加以运用,就能使问题化繁为简,化难为易。本文略举数例予以介绍。一、应用它确定字母的取值     

巧用齐次化，解决一类圆锥曲线问题

本文中利用齐次化方法解决解析几何中有关斜率的问题,在一定程度上可以提高学生的运算效率,简化解题过程,帮助学生更加深刻了解解析几何的魅力,培养学生数学运算的核心素养.     

二次齐次方程在中学数学中的应用

若f（x，y，...，z）是齐次多面式（所有项有同样的次数），则形如f（x，y，...，z）=0的方程叫齐次方程．这定义在现行中学教材中没有明确给出，仅在三角方程中以平凡的描述形式出现，其应用以"隐性"方式存在．本文通过实例从应用的角度挖掘二次齐次方程，即ax2＋bxy＋cy2=0的潜在功能．可以发现这对训练学生思维的创造性大有裨益．例1《代数》（上）复习题三）已知，且，求的值．简析常见的思路是：由己知式然后列议程组求出若能注意到已知式是关于g的齐次式（尽管是"隐性"的）可有新思路．已知式说明：齐次三角方程（教材中仅以平凡形式…     

例说齐次式与“1”的代换

齐次式由于各项所含字母的次数相同 ,因而常具有结构对称等特征 ,这使问题的解决更具有规律性 .然而许多问题的出现却不是齐次的 ,这就需要我们根据条件进行转化 ,其中“1”的代换是化齐次的常用手段 .本文试图通过几例说明 :某些非齐次的问题可以通过“1”的代换转化成齐次问题来解决 ,达到出奇制胜的解决效果 .例 1　已知ｔａｎα=2 ,求 3ｓｉｎ2 α - 2ｓｉｎαｃｏｓα +4ｃｏｓ2 α值 .分析与解　本例所求代数式为关于ｓｉｎα ,ｃｏｓα的齐次式 ,与所给条件ｔａｎα=2表面上看起来联系不大 ,如果我们联想到 1=ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 α…     

常量替换构“齐次”,多题一解别样红

<正>在涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题中,常见的做法是联立直线与曲线的方程组,进行消元,以达到设而不求的目的.若我们在联立方程组时,不实施消元,把常数用恰当的表达式替换,构造齐次式,改变题目结构,最终促成问题的解决,往往会达到意想不到的效果.本文运用"常量替换构齐次"法解决圆锥曲线中斜率"和"与"积"为定值及其相关问题,多题同解,优化解题过程,感受独特魅力.     

一阶非齐次线性微分方程的齐次解法

现行高等数学教材对于一阶非齐次线性微分方程均采用常数变易法求通解，而本文是运用变量替换法将非齐次方程化为齐次方程求出通解。对于一阶非齐次线性微分方程做变换两边关于x求导数即有（1）式整理得令y的系数和常数项均为零这时变换后的微分方程为Z′＝0，解得Z一C（C为任意常数），于是将A（X）、B（X）和Z代入（2）式得原方程通解为从以上解法我们可以得到两方面启示：～方面可见变量替换法在解微分方程中同常数变易法都不失为行之有效的方法。另一方面常数变易法的解法思路是齐次方程～非齐次方程，而变量替换法的解法思路是非齐…     

巧用齐次化与非齐次化的思想解不等式竞赛题

解析式是中学数学的重要内容之一,也是研究函数、方程、不等式的基础,数学的其它各分支学科均离不开解析式的恒等变换.因此,熟练地掌握一些解析式的变形规律是学好代数及相关学科的前提.本文主要讨论如何利用齐次化与非齐次化的思想,解决一些竞赛中的不等式问题.定义1设xi≥0(i     

基础解系与基本解组

<正> 齐次线性代数方程组的基础解系与齐次线性常微分方程组的基本解组虽是两个不同数学学科的概念,但二者却有许多相似之处。弄清这两个概念之间的区别和联系,对于我们深入理解线性代数和常微分方程的基本理论,掌握解题方法都有好处。     

浅谈不等式证明中的“变形计”

不等式的证明是高考和竞赛中重要的内容,证明的方法丰富多彩,其中变形的技巧更是精彩纷呈．合理而有效地变形经常能化难为易,化繁为简,优化解题过程,展示数学美．     

中立型线性随机泛函微分方程解的显式表示

本文讨论如下随机系统当Ｄ，Ｌ为齐次线性算子时，我们证明它的解可由对应的非随机系统的解显式表出．