余弦定理的一种变式及应用

<正>大家知道,余弦定理是:在△ABC中,a²=b2=b²+c2+c²-2bccos A,b2-2bccos A,b²=c2=c²+a2+a²-2cacosB,c2-2cacosB,c²=a2=a²+b2+b²-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a2-2abcosC,把以上三式配方变形,即得a²=(b+c)2=(b+c)²-2bc(1+cos A).b2-2bc(1+cos A).b²=(c+a)2=(c+a)²-2ca(1+cosB).c2-2ca(1+cosB).c²=(a+b)2=(a+b)²-2ab(1+cosC).由观察知这三个式子有以下的列功能.(1)把已知三角形两边和与积及夹角,可迅速求第三边,为解题奠定基础;(2)已知等式中有两数和与两数积,因此它们可以与韦达定理建立联系;     

一个代数不等式及其应用

B︸ O一,卜口 十)s一a 镇 ︸i一e i一。 定理设。,石,c〔R,则 (ab bc ca)簇3一‘(a b c)2《 (a“ bZ cZ)。当且仅当a=b=‘时取等号。 证,.’a,b,e任R .’.(a一b)“ (b一c)“ (e一a)2)0即a“ bZ cZ》a乙 bc ca(1)由(1)两端同加2(ab b: ea),得 (口 b e)2)3(ab 石c ea)(2)由(1)又2后两端同加a“ b“ :“,得 3(02 bZ e么))(a b c)“(3) 综合(2)、(3),得 3(a“ bZ eZ))(a b c)2)3(口b bc ea)显然,当且仅当a二b二即寸取等号. 此定理在数学解题中应用颇广。具有化繁为简之效,值得重视.下面举例加以说明: 例1已知x、万、,〔R十,且x十夕十“=…     

对一道习题几种不同解法的探讨

用多种解法解一道玫学题,并对不同的解法进行比较、分析是学好数学的一个重要方法。我们举例来说明之。 例题已知a急+乙忿=1,c,+d,二1,ae+石d=0,求证a之+e念=i,石“+d:==i,a西+ed=0。 证明(1)代数证法‘ 由已知条件得. 石注d生=(1一a忍)(1一cZ)==1一a:一e’+a月‘:, a:+e,二1+a忍e:一b 2d2 =1十(ac一乙刁)(‘_一bd)二1, 同理b忍+‘名二lobZdZ‘:‘c‘ =1斗(ac十bd)(bd一ae)=1 .’. ab+ed二(a么十西“)cd:、(e’+d’)ab =(ad+bc)(ac一:二d)=0. (2)三角i正法令a二sioa,c二:in夕,则丢·。。sa万·cos夕,其中51,asin刀+cosac口s夕二oee。石d=5…     

一道课外练习题的另一证法

<正>《中学生数学》2013年7月下初三课外练习题第3题为:设△ABC的三条边长为a,b,c,面积为S,求证:a2+b2+c2≥4槡3S.另证由12bcsinA=12casinB=12absinC=S,得bc=2S sinA,ca=2S sinB,ab=2S sinC.因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca=(1sinC+1sinA+1sinB)2S.显然,可知当a=b=c时,取等号,于是∠A=∠B=∠C=60°.故a2+b2+c2≥(1sin60°+1sin60°+     

推广一个法向量 求解一类高考题

一、缘起 容易知道,在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,0)和点B(0,b)的直线x/a+y/b=1(其中ab≠0)的一个法向量是n=(1/a,1/b). 把此结论推广到空间直角坐标系O-xyz中思考,就有以下结论. 二、定理 在空间直角坐标系O-xyz中,过三点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(其中abc≠0,ab≠0)的平面ABC的一个法向量是n=(1/a,1/b,1/c). 证明:因为→AB=(-a,b,0),则由n·→AB=(1/a,1/b,1/c)·(-a,b,0)=-1+1+0=0,知n⊥→AB.     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

本文中|A|表示集合A的元素个数.1设P(x)=x~3-3x 1.求一个多项式Q(x),使得Q(x)的根是P(x)的根的5次幂.解设a,b,c是P(x)的根.由根与系数的关系,有依题意知,Q(x)=(x-a5)(x-b5)(x-c5)=x3-(a5 b5 c5)x2 (a5b5 a5c5 b5c5)x-a5b5c5=x3-S5x2 T5x 1.这里S5=a5 b5 c5,T5=a5b5 b5c5 c5a5.对于正整数n,令Sn=an bn cn,则有T5=21(S52-S10),所以要求Q(x),只需求出S5与S10.∵S1=a b c=0,S2=(a b c)2-2(ab bc ca)=6.又a,b,c是方程x3=3x-1的根,所以a3=3a-1,b3=3b-1,c3=3c-1,由此易得Sn 3=3Sn 1-Sn(n≥1),∴S3=3(a b c)-3=-3,S4=3×S2-S1=3×6-0=18…     

上期课外练习解答

、.,·,。,·,一~.,.,.,.,.,.~一,.,.,.,.,一,.,.尸sinZa=a,O相似文献   

上期课外练习参考解答

!初一年级}1.’:艺3一/5一乙7一45“, 艺1 艺9一/2 艺6一乙4 乙8一90”, 匕l 匕2 匕3 艺4 艺5 乙6 艺7 艺8 乙9 =3X45。 3X900=4050.2.过A作AD// BC交圆A于D,延长BA交圆A于 E,则艺DAC一艺C,艺EAD一匕B.公共部分的面 积之和为一个半圆的面积. 设圆的半径为二cm,则喜二xZ一8二,,2一16, 乙②③ 工一4.故圆的半径为4cm. “ b一c d, (a b)2=(c d)2.即aZ Zab bZ=。2 dZ Zed.又aZ bZ=cZ 己,, ab一cd. (a一b)2=aZ bZ一Zab 一c2 dZ一Zcd一(c一d)2. a一b一c一d或a一b一d一c①若③成立,则有a=。,b*d.着③成立,则有a=d,b二‘..,.总有aZo…     

算术平均—几何平均不等式的一个证明

设a:、 a盆、al+aZ 怜a。是正数,则有不等式~习可可不瓦一 一bK+‘)+…十bK+‘(戈一b)〕设￡‘一b‘=(,一b)(%‘+‘+x‘+“b千…+b‘+1)=(戈一b)Pi1=式中等号当且仅当a,二a:二…二a。时成立。证明用数学归纳法,n=2结论显然成立。 假定n=K时成立,则 月二(a:+a:+…+a尤)+a尤+l 一(K+1)K+‘侧瓦瓦二花订万 )K大访瓦瓦下砰而瓦 一(K十l)K+’了面瓦不石石万…(1) 设K+‘亿面万丁=、 K!K十’V而二ha二b,(1)式右(P‘>0了 i=(%)2,一,K),乡}}}(戈一b)2(P尺+P万*:b十 卜P工石K+l) 户K+夕K*声+….’.f(二)>O,A) ‘.。十…(2)+P tbK+‘>00即a…     

两个条件不等式及其应用

命题一不相等的正数a、b、c、‘,。为最大数,若。各式相乘可得+‘一b+一则‘,,“‘,‘2,告+令>士十于 证明(1)由题设可得a一。二b一d>O二b>d. 设a一b二c一建=‘,则‘>0,且a二‘+吞,e=汉+‘ .’.耐=(‘+b)注=从+记,倪=b(d十心)=沉+倪 比较两式,,.’b>‘,‘>O,:.“>血,:.加>毗 (2),.’a、b、c汉均为正数,a+滚=石+e,酥>吐刊二令>宁,:告+专>朴告推论不相等的正数。、b、。,若2b二。十。,则(l)‘子应用举例:例l,日N,证明:!(证明略) (·l)2<(粤户,.…!<(岑,·,综上所述…,匀竺宁)’, 例:已知·。N一列,求证士+南十:+六+汾’· 证…     

问题与解答

如等。:2。今万Z陀‘O叼A一C 2_叹一C一训丁一r、/丁十3120“一旦二兰玉二2一了丁,一3+了315“,A一C=3。。.② 二厂七︸二C二9﹄刀.十月一二匕且tg月一 一本期问题 ,设a、b、‘是不等于零的复数,集合A ={a,b,c},B={aZ,乙2,:、2},c={a石,bc,ea},且A二B=C,则A=笼1,。少,、“卜(其中。、=(一1+侧丁艺)/2). 2设数列{。.,不的通项为。·。=1/(1+了了:),(:是虚数单位,:〔N),%的实数部记为/。,求数列{子。}的各项和。 四川忠县忠州中学李仁杰提供 3设m为一自然数,试证明阴“‘m+1为非平方数。 4已知四边形月召CD的对角线‘「lC’、BD相交…     

2、3能被2整除

3能被2整除,这显然是错误的,但是有人却能证明出来。不信,请石证明:rl一等比数列{x“一‘}rfJ前,:项和公式1 x xZ … x一1=l二Lx: 1一X(x笋1,。〔N)有I一x“=(1一x)(1十x十护 …x’一, a.(1一x’)=。’一王(a一。x)(1 x *2 …x“一‘)令ax=b(。法,.。子b),贝!}a一b‘=a‘一’(a     

剖析不等式证明中的一个典型错误

据笔者所知 ,文 [1 ]首先提出并“证明”了一个数学奥林匹克问题 :已知 a,b,c为非负实数 ,且 ab+ bc+ ca= 1 .求证 :1a+ b+ 1b+ c+ 1a+ c≥ 52 . ( * )为便于分析 ,我们将文 [1 ]的“证明”(部分 )抄录如下 :由对称性 ,可设 a≥ b≥c≥ 0 .由所给条件易知 a≥b>0 .1b+ c + 1a+ c ≥ 2( b+ c) ( a+ c)=2ab+ ac+ bc+ c2=21 + c2,等号成立的充要条件是 a=b.这时 ,原题条件化为a2 + 2 ac=1 ,　c=1 - a22 a .由 c≥ 0知 ,a≤ 1 .再由 1 =ab+ bc+ ca≤3a2知 a≥ 13.于是 ,1a+ b+ 1b+ c+ 1c+ a=12 a+ 2a+ c=… =9a2 + 12 a( a2 + 1 ) =f( a) .下面…     

已知数列通项公式求其递推式的定理及应用

先分析两个递推式:(1)Sn=an bn=(a b)Sn-1-abSn-2;(2)Sn=an bn cn=(a b c)Sn-1-(ab bc ca)Sn-2 abcSn-3.将(1)变形为Sn-(a b)Sn-1 abSn-2=0,则发现其系数与方程x2-(a b)x ab=0的系数相同,而方程的两根就是a,b.(2)也有同样的情形,是巧合还是必然结果呢?再经过归纳发现这么一个事实,即定理若数列{an}的通项公式an=c11λn c2λ2n … ckλkn,且1λ,λ2,…,kλ是方程xk B1xk-1 B2xk-2 … Bk=0(Bk≠0)不相等的根,则数列{an}有递推式an B1an-1 B2an-2 … Bkan-k=0(n>k),其中B1,B2,…,Bk由初始条件或韦达定理确定.证因为λ1,2λ,…,kλ是方…     

RESEARCH ANNOUNCEMENTS On Multiplication Tables of Normal Bases and Their Dual-bases Over Finite Fields

Let q be a Power of a Prime P and n be a Positive integer,9 elements andF=凡二be the oth extension of K.N={a‘K=凡be the finite field with=o,1,…,。一1}15 a normalbasis of F over凡,wherea,== aq’,艺=o,1,…,n一1.VA,:F,letA二艺写、、,Blet咖B玄,几一11,一们乙,二o勺“j,a云,勺匕厂。,七henF望F望心T0(少一’.SoifA=(ao,…,a。一iB=(b0,…,纵一1),AB二C(e。,…,e。一:),thene‘=A,一‘)T,l=0,1,·‘口无,n一i,where几==(:{夕)15:iven by几一1。、。,一艺,{夕心一明任凡无=0On the other hand,T=(t‘,Ja=a价aQ…     

一道波斯尼亚奥赛题及其加强的统一推广

对如下一道竞赛题:设a,b,c是正实数,且a2+b2+c2=1,证明:(a5+b5)/(ab(a+b))+(b5+c5)/(bc(b+c))+(c5+a5)/(ca(c+a))≥3(ab+bc+ca)-2①文[1]给出如下三个加强:加强1设a,b,c是正实数,且a2+b2+c2=1,则     

一元二次方程根与系数特殊关系应用

实系数方程 (l)c=0,贝J xl竺程似’ 酝十犷O‘“‘。’有‘性质:右对二2 酝十。二0(a笋0)有。 b十,赴一专为方程的二根‘为c一a反之,:,~1,z:二axZ十酝十c~O(a并夕只理0)的二根,则。 b 。一0. (2)若对ax, 酝 c一0(a护0)有a e二b,则x,二一l,xZ二一二为 a肚2十厉十e=0(a护0)的根;     

一个简单问题的深思

题目已知a=(2,-1),b=(-1,3),c=xa-yb.若y=2,且(a b)∥c,求x. 它是一道测验题,考试时,我想到以下简解: 因a与b不共线,a与b可作为基底. 将a b视作(1,1),而c=xa-2b视作(x,-2), 则(1,1)∥(x,-2),     

半角的余弦和上界的加强

设 a、b、c是△ ABC的三内角 A、B、C所对的边长 ,s=12 (a b c) ,R,r分别是△ ABC的外接圆半径和内切圆半径 .1 957年 ,R.Kooistra给出了三角形的三内角的半角余弦和的一个上界[1] .cos A2 cos B2 cos C2 ≤ 3 32 . (1 )本文给出 (1 )式上界的一个加强 :cos A2 cos B2 cos C2 ≤ 6 3 r2 R. (2 )证明　因为 cos A2 =s(s- a)bc ,cos B2= s(s- b)ca ,cos C2 =s(s- c)ab ,利用恒等式 abc=4Rrs,a2 b2 c2 =2 (s2 - 4 Rr- r2 )以及柯西不等式 ,我们有cos A2 cos B2 cos C2=s(s- a)bc s(s- b)ca s(s- c)ab≤ 3 [s(s- a)bc s(s…     

构造函数f(t)=(t-x)(t-y)(t-z)解题

三元不等式问题是国内外各层次数学竞赛的难点与热点之一 ,而其处理更以“入口宽 ,方法巧”见长 .为寻求解题规律 ,探索解题途径 ,笔者搜集了部分国内外有关三元不等式问题的试题 ,深入研究 ,发现许多问题均可以采用构造函数 :f(t) =(t -x) (t-y) ·(t-z) ,加以巧妙地解决 .下面举例加以说明 .例 1　设a ,b ,c为非负实数 ,且满足a ≥b≥c,a +b+c=3 ,求证 :ab2 +bc2 +ca2 ≤ 2 78.(《中等数学》1998年第 1期数学奥林匹克问题初 61题 )证明　由题意可知　a≥ 1,c≤ 1,从而　 1-a≤ 0 ,　 1-c≥ 0 .令　f(1) =(1-a) (1-b) (1-c) .一方面 :当b≤…