条件"x+y=1"下1/xn+λ/yn的最小值

1　问题的提出我们经常遇到下列问题 :(1)已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x 4y 的最小值 ;(2 )已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x2 8y2 的最小值 ;问题 (1)“用 1代换”不难求得 :1x 4y =(1x 4y) (x y)　　 =5 yx 4 xy ≥ 5 2 yx .4 xy =9,当且仅当 yx =4 xy,即　 y =2 x时取等号 .问题 (2 )能否“用 1代换”呢 ?1x2 8y2 =(1x2 8y2 ) (x y) ,　 =1x 8y yx2 8xy2 ,虽然有　 1x 8y ≥ 2 8xy ,yx2 8xy2 ≥ 2 8xy 且　 1xy≥ 2x y,但三式等号分别在 y =8x,y =2 x与 y =x时成立 ,故等号不能同时成立 .在 (1x…     

浅谈求函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的判别式法

函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的求法,很多资料上给出方法是判别式(即△)法,而一旦自变量的范围给以限定,当△法失效时,还有其他方法吗?一般资料上就避而不谈了.要全面系统解决函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的问题,本文以为需解决以下三个事情:①判别式法的过程和依据,②自变量有限制时还能用判别式法吗?③自变量有范围限制,问题可以归结为三类常见函数:反比例函数;y=t+c/t(c＞0);y=t+c/t(c＜0)的值域求法.     

y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数吗

题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当     

关系式x/a+y/b=1的几何模型与应用

在数学学习中经常遇到与关系式x/a+y/b=1有关的问题,可统一为以下几何模型.命题 如图1,点E,F,G分别在线段BD,BC,DA上,EG∥AB,EF∥CD,设EG=x,EF=y,AB＝a,CD=b.则x/a+y/b=1.     

不等式∑(a/(b+c))~(1/2)<1+23~(1/2)/3的初等证明

文 [1 ]利用多元函数的偏导数分四种情况证明了 :在△ ABC中 ,若 a,b,c为其边长 ,则有ab+ c+ bc+ a+ ca + b　　 <1 + 2 33 . ( 1 )之后 ,文 [2 ]给出了不等式 ( 1 )的一个初等“证明”,但文 [3]指出 [2 ]的证明是错误的 .本文将给出不等式 ( 1 )的一个初等证明 .引理 1　若正数 x,y满足0 相似文献   

函数"y=x+k/x(k≠0)"单调性应用的思考

上海市二期课改新教材例题中研究过函数y=x+1/x的图像,它可以看作是我们非常熟悉的正比例函数y=x和反比例函数y=1/x的和.课本对于这个函数的性质和廊用没有做太多的说明,但是它却有着基本的规律性和广泛的应用性,是近几年高考命题的热点之一,本文对函数"y=x+k/x(k≠0)"的图像和件质作以下研究,并通过举例,说明此函数单调性的广泛应用,以供参考.……     

函数"y=x+k/x (k≠0)"的单调性应用的思考

上海市二期课改新教材例题中研究过函数y=x+1/x的图象,它可以看作是我们非常熟悉的正比例函数y=x+1/x和反比例函数y=1/x的和.     

关于椭圆x2/a2+y2/b2=1的一组优美结论

椭圆x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),则(1)a2+b2≥(x+y)2(当且仅当b2x-a2y=0时等号成立);     

不等式(x+y)/2≥(xy)~(1/2)的一点应用

众所周知,当a、b为实数时有(a-b)~2≥0,而有a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。进一步引伸,不难得到: x+y/2≥(xy)~(1/2)≥2/(1/x+1/y) (*) 这里,x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立。不等式(*)有着广泛的运用,在很多书刊上     

利用TI-Nspire图形计算器探究双勾函数的双曲线本质

<正>1问题探源普通高中教科书数学第一册(A版)第92页"探究与发现"提出了如下问题:函数y=x+1/x的图象有什么变化趋势?你能利用函数y=x和y=1/x的图象变化趋势说明函数y=x+1/x的图象变化趋势吗?我们将它一般化为如下问题.     

方程 dx/dt=f(x(t-1))具有周期量的4/3周期解的条件

本文证明了滞后型泛函微分方程(dx)/(dt)=f(x(t-1)) (E)存在4/3-周期解的两个定理.一个主要结果如下:假如f(x)是[a-1,a+1]上连续函数,且满足:(i)-f(x)=f(y),y=2a-x,(?)x∈[a-1,a]:(ii):f(x)=f(y),y=2a+1-x,(?)x∈[a,a+1]:(iii)f(x)>0,(?)x∈(a,a+1)和(?).则方程(E)存在4/3-周期解x(t),且x(-1+k4/3)=a+1,x(-2/3+k(4/3))=a,x(-1/3+k(4/3))=a-1,x(k(4/3))=a,k=0,1,2,….     

为什么lin x→0 ln(1+x)~(1/x)=1

<正> 在极限运算中,学生经常提出这个问题。在一般高等数学的教科书中,对这个问题的回答都是:由对数函数的连续性而得。由于y=ln(1+x)~(1/x)不是基本初等函数,而是幂指函数与对数函数的复合函数,且x_0=0这一点又是该复合函数的间断点,所以学生对这样的回答一般都感到不易理解。     

方程 dx/dt=f(x(t-1))具有周期量的4/3周期解的条件

本文证明了滞后型泛函微分方程(dx)/(dt)=f(x(t-1)) (E)存在4/3-周期解的两个定理.一个主要结果如下:假如f(x)是[a-1,a+1]上连续函数,且满足:(i)-f(x)=f(y),y=2a-x,(?)x∈[a-1,a]:(ii):f(x)=f(y),y=2a+1-x,(?)x∈[a,a+1]:(iii)f(x)>0,(?)x∈(a,a+1)和(?).则方程(E)存在4/3-周期解x(t),且x(-1+k4/3)=a+1,x(-2/3+k(4/3))=a,x(-1/3+k(4/3))=a-1,x(k(4/3))=a,k=0,1,2,….     

函数"y=x+ (k≠0)"的单调性应用的思考

上海市二期课改新教材例题中研究过函数y=x+1/x的图象,它可以看作是我们非常熟悉的正比例函数y=x+1/x和反比例函数y=1/x的和.……     

谈函数y=ax+b+k((cx+d)~(1/2))值域的求法

高中《代数》(甲种本)第81页第37题是这样的: 求一「列函数的定义域、值域: (4),=x+了r二瓦 根据已有知识的情况,同学们一般是用判别式法求得值域的。具体解法如下: 解:…y一x+西下云.…g一x=石.丁云 平方并整理得了+2(l一功x+犷一1二0’ ’·‘xeR,·’·△=4(l一功2一4(犷一l))0 解得g‘1,即函数的值域是y‘1. 这种处理方法对本题的正确性从下面的讨论中可以得到证实。问题在于这种解法对于函数y二ax+b十h姨石石是否具有普遍意义呢?为此我们先看下面的例子: 例求函数y二,十而I二丁的值域. 解:函数变形得:y一x二、云巧,两边平方并整理得:…     

"1"在常微分方程解题中的应用

有些可积类型的常微分方程求解问题 ,在具体求解过程中需要一些技巧。下面是我做题的一点体会——“1”的妙用。( 1 )“1”的加减法例 1　求解 dydx=x+y解　该题不能用分离变量来做 ,我们在等式两边都加上“1”,得d( x +y)dx =x +y +1下面就很自然了 :　　　　　　　　　　ln|x+y+1 |=x+c1　　　　　　　　　　x+y+1 =cex　　　　　　　　　　y=cex-x-1( 2 )“1”的除法利用函数与其反函数的导数之间的关系dydx=1dxdy　　例 2　试求解dydx=1xcosy +sin2 y　　解　化为一阶线性方程dxdy=xcosy +sin2 yx =e∫cosydy( ∫sin2 ye∫- cosydydy +c…     

关于不定方程y(y+1)(y+2)(y+3)=4n~2x(x+1)(x+2)(x+3)

设1n∈N*,运用Pell方程的一些结果以及代数数论和p-adic分析方法证明了不定方程y(y+1)(y+2)(y+3)=4n~2x(x+1)(+2)(x+3)(x,y∈N*)除开n=1189时仅有一组解(x,y)=(33,1680)外,无其他解.     

关于丟番图方程x(x+1)(x+2)(x+3)=27y(y+1)(y+2)(y+3)

先后运用了pell方程、勒让德符号,同余关系,递归序列、二次平方剩余,分类讨论的有关方法,并通过使用数学软件Mathematica进行计算,证明了以下结论:不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=27y(y+1)(y+2)(y+3)没有正整数解,并找出了该方程的全部16组整数解.     

关于不定方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=9y(y+1)(y+2)(y+3)

运用pell方程、递归序列、二次平方剩余的方法,并使用数学软件Mathematica的计算,求出了丢番图方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=9y(y+1)(y+2)(y+3)的所有20组整数解,其中只有一组正整数解为(x,y)=(6,5).     

1/x_3=1/x_1+1/x_2

春耕一片田地,甲队单独进行a天可以完成,乙队单独进行b天可以完成。甲、乙两队合耕几天可以完成? 设甲、乙两队合耕x天可以完成,那末 1/x=1/a+1/b 两根导线的电阻分别是R_1和R_2,则其总电阻R满足等式 1/R=1/R_1+1/R_2。物体、象和焦点到透镜的距离这三个量之间有下列关系: 1/f+1/q=1/h。以上三个实际问题反映到数学中来,就是研究x_1,x_2,x_3这三个正量之间的下列关系: 1/x_3=1/x_1+1/x_2。(*) 在等式(*)中,如果x_1,x_2两个量已知,那么我们可以用解分式方程的方法,解得 x=x_1x_2/(x_1+x_2)。(*′)