立体几何中圆锥的截口曲线问题

<正>在人教版高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》的章头图和章头文中,给出了用一个不垂直于圆锥轴线的平面去截圆锥,当平面与轴线夹角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.但具体什么时候截得的是椭圆、双曲线和抛物线,课本中没有详细介绍,而在近几年的高考     

椭圆、双曲线和抛物线性质的相关性

椭圆、双曲线和抛物线性质的相关性黑龙江绥滨一中邹楼海椭圆、双曲线和抛物线，都可以看作平面截圆锥面所得到的截线，从本质上说，三种曲线是统一的，只是由于平面与圆锥轴线交角的不同，才产生这三种曲线的差别，从轨迹的观点看，三种曲线都是一个动点到定点Ｆ和定直线...     

圆锥面截口线是圆锥曲线的初等证法

高中数学教材中提到椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线,这是因为这三种曲线都可用一个平面与圆锥面相截,所得的截口线即为这三种曲线之一.这个结论用高等数学的知识是不难证明的,但较少看到此结论的初等证明.本文拟探究此结论的初等证明方法.设圆锥面的半顶角为β,为了便于研     

圆锥面截口线是圆锥曲线的又一初等证法

文 [1 ]对高中数学教材中把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线 ,是因为这三种曲线可以看作是不同平面截圆锥面所得到的 ,给出了一种初等证法 .我们为肖铿老师那种精巧的构思和高超的设参 ( a、b、焦点、准线 )技巧深感由衷的敬意 .但觉得美中不足的是设参技巧性太强和运算量太大 .我们经过探索 ,得出一种较为简捷的证法如下 ,供读者参考 .图 1如图 1 ,设圆锥面的半顶角为β,AO为轴 ,截口平面为δ(不过圆锥顶点 ) ,记平面δ与直线 AO所成的角为α( 0≤α <π2 ) ,与圆锥面的交线为曲线 EDG,圆锥面的一内切球 O1与平面δ相切于点 F,球 O…     

圆锥曲线中一类定值问题的解决

古希腊数学家用平面去切割圆锥,发现截痕的形状与平面的倾斜程度有关:当平面垂直于圆锥的轴的时候,得到的截痕是圆,如图1(1);把平面稍微倾斜一点,就得到椭圆,如图1(2);当平面倾斜到和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线,如图1(3);再倾斜一些就得到了双曲线,如图1(4).不过,“椭圆”、“双曲线”和“抛物线”这些名称都是后来才有的,在当时这三种曲线分别叫做“亏曲线”、“超曲线”和“齐曲线”.     

相似圆锥曲线的一条优美性质

抛物线、椭圆、双曲线等三种平面曲线都是由平面截圆锥面形成，所以常常有许多共同的优美性质．在教学中，探求其共性，深化对圆锥曲线的认识对提升学生的兴趣，培养学生的探究能力有着重要意义．本文通过对文[1]由一道高考题而推广出抛物线、椭圆、双曲线等个性特点的反思、质疑，进而得到三种曲线共同的优美性质，愿与同仁琢磨切磋．     

圆锥截线特征的新证

圆锥截线特征的新证周之夫（深圳市布吉高中５１８１２３）（图１）高中解析几何说：四种曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）可以看作不同的平面截圆锥面所得到的截线，如图１，因此，它们又统称圆锥曲线．教材仅是如此点到为止，却引得有心的老师和同学们留下了深深的疑虑...     

关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质

平面解析几何中关于椭圆、双曲线及抛物线的离心率的定义分别是这样给出的：椭圆的焦距与长轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做椭圆的离心率．双曲线的焦距与实轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做双曲线的离心率,抛物线上的点与焦点的距离和准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用ｅ表示,按抛...     

作圆锥曲线的切线使平行于已知直线

近年来(数学通报)多次发表文章论圆锥曲线切线的几何作图法,但都是过已知点作其切线,本文拟谈一下如何作抛物线、椭圆及双曲线的切线使平行于已知直线的问题.先看以下定理.定理1　抛物线的焦点在其切线上的射影的轨迹是过抛物线的顶点而垂直于抛物线的对称轴的直线.(证略)定理2　椭圆的焦点在其切线上的射影的轨迹是以椭圆的长轴为直径的圆.(证略)定理3　双曲线的焦点在其切线上的射影的轨迹是以双曲线的实轴为直径的圆.(证略)由定理1、2、3可知,为了要作抛物线、椭圆及双曲线的切线,只要先确定一焦点F在所求切线上的射影N,然后过N作FN的…     

再从一道轨迹问题看圆锥曲线的演变

文［１］比较明晰地显示了椭圆、抛物线、双曲线“是同一事物随着量的变化的不同阶段”，读后较有启发，启发之余，笔者重新构造了一道轨迹问题，并通过对它的讨论，勾画出圆锥曲线间的一个更完整的演变过程，并显示“椭圆、双曲线当离心率无限趋近于１的形态是抛物线”的...     

走出圆锥曲线的认识误区

在圆锥曲线与方程[1]的开篇前言中,曾给圆锥曲线作了如下描述性的定义:如图1,用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴夹角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭     

从一道轨迹问题看三种圆锥曲线

从一道轨迹问题看三种圆锥曲线董升伟（陕西咸阳市教研室７１２０００）椭圆、抛物线和双曲线按其各自的初等性质来说，虽系三种不同的曲线，但作为直圆锥的截线又显示出它们的统一性．从天体（卫星、行星、慧星等）运行的轨道看，同样可归结为这三种曲线，从离心率的角度...     

推广一个结论解决一类问题

反思若以O为原点，OP轴为x轴，建立直角坐标系，A（x0，y0）为定点，则切线PA的斜率为定值，BC的斜率为定值，且kBC=-kPA．在椭圆、双曲线、抛物线中是否有类似的结论呢？     

圆锥截线定理的又一证法

直圆锥面与平面相贯,其截线不外是圆、椭圆、抛物线、双曲线等四种曲线,即二次曲线,这就是圆锥截线定理。它的证明通常是纯几何的。作者通过教学实践获得如下的又一证法,它是利用几何关系作出的一种分析的证法。可供教学上参考。 为方便计,只讨论平面与圆锥在一侧相贯的情     

圆锥曲线的性质相关性

圆锥曲线的性质相关性邹楼海，余炯沛（黑龙江绥滨一中）（北京师大数学系１００８７５）椭圆、双曲线和抛物线，都可以看作平面截圆锥面所得到的截线，从本质上说三种曲线是统一的．从轨迹的观点看，三种曲线都是到定点和定直线ｌ的距离之比等于常数ｅ的点的轨迹，只是由...     

从统一方程看椭圆 抛物线和双曲线之间的联系

从统一方程看椭圆抛物线和双曲线之间的联系田蓉（北京职工医学院１０００３６）众所周知，椭圆、抛物线和双曲线可以统一地定义为到定点距离与到定直线距离之比是常数的动点轨迹，在通常的解析几何教材中，只是在极坐标下按这个定义给出统一方程，却没有再从方程出发而作...     

与椭圆、双曲线焦点有关的四组直线的垂直关系

与椭圆、双曲线焦点有关的四组直线的垂直关系江苏省灌云县中学李平龙文［１］研究了与抛物线焦点有关的直线的垂直关系，文［２］给出了圆锥曲线性质的互变规律．受其启发，笔者发现椭圆、双曲线中也有类似的垂直关系．按文［２］的观点，抛物线过顶点处的切线演变成椭圆...     

圆锥曲线的几个统一性质

椭圆、双曲线、抛物线有统一定义：到一定点的距离与到一定直线的距离之比为常数e的点的轨迹是圆锥曲线．当0〈e〈1时,圆锥曲线是椭圆;当e=1时,圆锥曲线是抛物线;当e〉1时,圆锥曲线是双曲线．     

浅谈二次曲线定义的教学和应用

椭圆、双曲线和抛物线是平面解析几何中的重要曲线。深刻理解它们的定义是掌握这些重要曲线的前提,椭圆、双曲线和抛物线的定义反映了这些曲线的本质。因此,它是理解这些曲线的概念,推导它们的方程和解决与它们有关的问题的根本依据。     

圆锥曲线中与定点弦有关的一组对偶元素性质

文[1]给出了如下定义:在抛物线中,点D在抛物线的对称轴上且与焦点同侧,直线l与对称轴垂直且与焦点异侧,若点D与直线l到抛物线的顶点等距离,则称点D与直线l为“对偶元素”;在椭圆(双曲线)中,点D在长轴(实轴)所在的对称轴上,直线l与该对称轴垂直且与曲线无交点,若点D与直线l在椭圆(双曲线)中心的同侧,且它们到椭圆(双曲线)中心的距离的乘积为长半轴(实半轴)长的平方,则称点D与直线l为“对偶元素”.