一个竞赛不等式的多方位推广

文[1]中给出了下列结果： 已知x1，x2，…，xn∈R^＋则 x1^2/x2＋x2^2/x3＋…＋xn^2/x1 ≥x1＋x2＋…＋xn＋4（x1-x2）^2/x1＋x2＋…＋xn （1）[编者按]     

利用方差非负性巧求最值

一组数x1,x2,x3,…xn的平均数为-x,其方差是S^2=1/n[（x1^2＋x2^3＋…＋xn^2）-n-x^2].     

一个最小值极大化问题的简解

文[1]为解决二次规划问题：已知实数x1，x2，…，xn，满足x1^2＋x2^2＋…＋xn^2=1，当n≥3时，求maxmini≠j i≠j｜xi-xj｜.     

一个竞赛不等式的多方位推广

文[1]中给出了下列结果:已知x1,x2,…,xn∈R ,则x12/x2 x22/x3 … xn2/x1≥x1 x2 … xn (4(x1-x2)2)/(x1 x2 … xn)(1)文[2]给出了不等式(1)的进一步推广结果:已知x1,x2,…,xn∈R ,n,m,s∈N ,m>s,则x1m/x2s x2m/x3s … xnm/x1s≥x1m-s x2m-s … xnm-s (4(x1-x2)2)/((m-s)(x1s 2     

探究一类条件不等式的源与流

文[1]对不等式“若xi〉0，i=1，2，3且∑i=1^3 xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出了一个较为简单的证明．其证明思路是：先证明对任意0〈x〈1有1/1＋x^2≤27/50（2-x），即（x-1/3）^2（x-4/3）≤0成立（这是显然的，且x=1/3时等号成立）.     

巧用等比性质证不等式

题目 已知xi,yi∈R^＋（i=1,2,…,n）,且x1/y1〈x2/y2〈…〈xn/yn,求证：x1/y1〈x1＋x2＋…＋xn/y1＋y2＋…＋yn〈xn/yn.     

剖析解数列题中的常见错误

例1 已知等差数列{xn}的各项为正数，求证：1/（x1的平方根）＋（x2的平方根）＋1/（x2的平方根）＋（x3的平方根）＋…＋1/（xn的平方根）＋（xn＋1的平方根）=n/（x1的平方根）＋（xn＋1的平方根）。     

方差公式的妙用

设n个数据x1,x2,……,Xn的平均数为x,则其方差为S2=1/n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn     

IMO 49—2的拓展

第49届国际数学奥林匹克数学竞赛题第2题是： （a）设实数x,y,z都不等于1,满足xyz=1,求证：x^2/（1-x）^2＋y^2/（1-y）^2＋z^2/（1-z）^2≥1.     

一个不等式的初等证明

文[1]证明了这样一个不等式：若xi〉0,i=1,2,3，且3↑∑↑i=1xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10。本文现给出一个较为简单的证明．     

巧解一题

题目（2005年全国理科）（1）设函数f（x）=xlog2x＋（1-x）log2（1-x）（0〈x〈1），求，（x）的最小值； （2）设正数p1，p2，p3，…，p2^n满足p1＋p2＋p3＋…＋p2^n=1，求证：p1log2p1＋p2log2p2＋p3log2p3＋…＋p2^nlog2p2^n≥-n．     

不定方程妙解“2009”

关于不定方程的解的组数问题,有以下两个结论： 结论1 不定方程x1＋x2＋x3＋…＋xn=m（m,n∈N^＊）,则此方程的正整数解有Cm-1^n-1组．     

构造“零件不等式”证明一类条件不等式

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0，i=1，2，3，且x1＋x2＋x3—1，则1/（1＋x1^2）＋1/（1＋x2^2）＋1/（1＋x3^2）≤27/10     

一道巴尔干数学奥林匹克试题推广的类比

文[1]刊登了安振平老师、刘聪胜老师对一道巴尔干数学奥林匹克竞赛试题的推广形式的研究,笔者反复琢磨、体会,获益非浅,深受启发,并得出了两个类似的结论:结论1设n∈N,n≥2,xi>0(i=1,2,3,…,n),则(x1 x2 … xn)(1x1 1x2 … 1xn)≥n2 1n[(x1-x2)2 (x2-x3)2 … (xn-x1)2](1x1 1x2     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛题的再推广

2005年巴尔干数学奥林匹克试题的第3题是:设a,b,c是正数,求证:a2b b2c c2a≥a b c 4(a-b)2a b c(1)文[1]从变量的个数方面给出了一个推广:已知x1,x2,…,xn∈R ,求证:x12x2 x22x3 … xn2x1≥x1 x2 … xn 4(x1-x2)2x1 x2 … xn(2)本文将从变量的个数,指数两方面给出(1)的一个更一     

一个征解轮换对称不等式的初等证明

用初等方法证明了不等式:设xi>0,i=1,2,…,n(n≥3),则x2/x1(x3 x4 … xn) x3/x2(x4 x5 … x1) … x1/xn(x2 x3 … xn-1)≥(n-2)(x1 x2 … xn)     

对一个猜测推广的证明

文 [1 ]对W .Janous猜测推广成如下命题 :设xi >0 (i=1 ,2 ,… ,n) ,记S=x1 +x2 +… +xn,则x22 -x21 S-x2 + x23 -x22S-x3+… + x21 -x2 nS-x1 ≥ 0 ( 1 )文 [2 ]指出文 [1 ]对式 ( 1 )的证明是错误的 ,但未给出式 ( 1 )的正确证明 ,最后又提出了更一般的下述问题 :设xi>0 (i =1 ,2 ,… ,n) ,n≥ 3,记S=x1+x2 +… +xn,能否取适当的k ,有 x2 k-x1 kS-x2 +x3k-x2 kS-x3 +… + x1 k-xnkS-x1 ≥ 0 ( 2 )本文证明 ,当k∈R+时 ,式 ( 2 )成立 .证明　对于 (x1 ,x2 ,… ,xn)的所有互异的n !个排列中 ,必然存在一个排列 (y1 ,y2 ,… ,yn)满足y1 …     

两个不等式的推广

题目 已知x1^2＋x2^2＋…＋x100^2=300。求证： x1＋x2＋…＋X100≤200 （1） 文[2]对不等式（1）进行了加强和推广，分别给出四个命题，其中后两个命题（见原文命题3、命题4）分别为：     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛试题的推广

在本刊2005年第19期P48上,刊登了2005年巴尔干数学奥林匹克试题,当中的第3题为:设a,b,c是正数,求证:2ab 2bc 2ca≥a b c 4(a-b)2a b c.经过探索,我们从变量的个数方面,给出了上述不等式的一个推广.结论1已知x1,x2,…,xn∈R ,求证:x12x2 x22x3 … xn2x1≥x1 x2 … xn 4(x1-x2)2x     

解题需留情,探源更精彩

在日常的解题活动中,将源于基础的题目进行提炼与加工而形成结论,然后又将其广泛应用于解题实践中,这实际就是在寻找题源.这一活动意义重大,因为茫茫题海中很多题目表面不同,但其实质一样（可归结于同一个题根或题源）.一个题源加工而成的结论,其功效不亚于教材中的一个定理.下面笔者用实例说明,权作抛砖引玉.题源设x1,x2,…,xn是正数,求证（1/x1＋1/x2＋…＋1/xn）·（x1＋x2＋…xn）≥n2.