多元统计分析(Ⅰ)

ξ1多元统计数据分析概述 在各种应用领域中,经常遇到多个指标(变量)的观测数据.例如有n次观测X1,…,Xu, 每次观测由 p个数据组成, Xk=( Xk1,…, Xkp), k= 1,…, n.观测数据常用矩阵表示,即简记为X=(Xki)mxp,其中xki表示第k次观测的第i个变量值,i=1,…,p; k=1,…,n. 供研究的观测数据可以是连续的或离散的,甚至可以是用1或0表示某特性的有或无这样一类名义变量.这些数据也可以是从很多次观测数据中随机地选出的一部分,而且观测指标也可以是从大量指标中选出的部分指标. 例1.1:北京市某中学的期未考试成绩. 表1.1中给出的数据是初中二年级…     

一个有趣猜想的证明

文[1 ] 提出了下述猜想 :若自然数n使 4n+ 1为质数 ,则有且只有n个不超过 2n的不同的自然数 :k1 ,k2 … ,kn(k′1 ,k′2 ,… ,k′n为相应的不超过 2n的剩余的n个不同的自然数 ) ,使∑ni=1cos2ki- 14n + 1 π=1 + 4n+ 14,∑ni=1cos2k′i- 14n+ 1 π =1 - 4n + 14.本文给出上述猜想的证明并且指出序列k1 ,k2 ,… ,kn 的特性 .记A={x∶x是模p的二次剩余 },B ={x∶x是模p的二次非剩余 }.引理 1　 ( [2 ])设奇素数p≡ 1 (mod4) ,则( 1 ) 1 ,2 ,… ,p- 1中有且只有p - 14个偶数为模p的二次剩余 ,p - 14个奇数为模p的二次剩余 ;( 2 ) 1 ,2 ,… ,p-…     

关于一个素数和一个素数的k次方和问题

设k≥2,Hk表示一个正整数n的集合,使对任意的正整数q,同余方程a+b2三n(modq)在模q的既约剩余系中有解a,b.Dk(N)表示n≤N,n∈Hk,但不能表成p1+p22=n的数的个数,其中p1,p2表示素数.则在GRH下,Dk(N)<<N1-1/k(h(k)+1)+ε,这里k=2,3;h(2)=2,h(3)=8.     

一道习题的推广

《中学数学》1983年第4期问题征解中有这样一题,求证 1+2+3+…+1983|1~5+2~5+3~5+…+1983~5。事实上,我们有一般的结论:1°。1+2+3+…+n|1~5+2~5+3~5+…+n~5,甚至更一般的结论:2°。1+2+3+…+n|1~(2k+1)+2~(2k+1)+3~(2k+1)+…+n~(2k+1)。这里n、k为任意自然数,为了证明这一结论,我们要用到整数的两个性质。性质1。两个连续整数必互质。性质2。如果(p,q)=1,p|m,q|m则pq|m、((p,q)表示p与q的最大公约数)。此二性质都很容易用反证法证明,这里从略。我们来证明上述结论2°。证∵ 1+2+…+n=(1/2)n(n+1),记 S_(2k+1)(n)=1~(2k+1)+2~(2k+1)+…+n~(2k+1),     

论判别分析方法的最优选择

1引言 判别分析的基本问题是:在多变量观测值的基础上,把一个未知对象划入两个或多个种类中的某一类.具体地说,就是:设有k个m维总体G1,…,Gk,它们的均值和协差阵分别为μ(1),…,μ(k)和V(1),…,V(k).今从这k个总体中分别抽取了n1,…,nk个样本,记为x(1)(1),…,x(a1)(1);…;x(1)(k),…,x(nk)(k)这个样本集合通常称为训练样本,由此得观测数据矩阵对试验样本,即待判的未知样本集合中的样本要判别它来自哪个总体. 判别分析的内容十分丰富,这方面的综述性文献有[1]、[2],[3]等.在国内文献中,文献[4]的第四章介绍的比较全面、具体。虽然判别分析…     

非线性最优化条件在企业管理决策中的应用

<正> 在本文中我们讨论非线性的经济管理数学模型(?)这里,n 维向量 x 的第 k 个分量 x_k 表示第 k 个生产活动(共有 n 个基本生产活动)的活动水平;g_i(x)和 h_i(x)表示生产活动中耗费的生产因素,如劳动力、能源、土地、原材料等等.详细一点讲,参量 y_i(i=1,…,p)表示生产运行可能获得的资源数,函数 g_i(x)(i=1,…,p)就表示当生产在活动水平 x 处进行时所需要的资源数;参量 y_i(i=p+1,…,r)是企业运行时需要生产或使用的物料或服务,而函数 h_i(x)(i=p+1,…,r)就定义了活动水平 x 需要生产或使用的物料或服务的量;最后,f(x)表示生产在水平 x处进行时企业的收益.     

浅议数学归纳法及教学中易出现的问题

皮亚诺公理的第 5条性质 :任意一个正整数集合 ,如果包含 1 ,并且假设包含x ,也一定包含它的后继x + 1 ,那么这个集合包含所有的正整数 .这条性质就是数学归纳法的依据 ,通常称为数学归纳法原理 .这一原理可以用数学符号来表示 :数学归纳法原理 :如果S是正整数集合N+的一个子集 ,且满足 :① 1∈S ;　　②若k∈S ,则k + 1∈S ,那么S =N+.根据数学归纳法原理 ,可以得到数学归纳法 :设 p(n)是一列与正整数有关的数学命题 ,如果满足 :①p(n)当n =n0 (n0 是使 p(n)正确的最小正整数 )时正确 ,即 p(n0 )正确 ;②在假设 p(k) (k≥n0 ,k∈N+)正…     

找周期子字的算法

§1.引言 考虑有限字母表A上字X=x_1x_2…x_n,|X|=n,x_i∈A,i=1,2,…,n;X的子字S=x_ix_(i 1)…x_j,j>i,称为周期子字,若存在p>0,使j-i 1≥2p并且有x_l=x_(l p),l=i,i 1,…,(j-p).p称为S的周期,有时把S称为终于i的周期子字.令P=x_i…x_(i p-1),p=|P|,则S可写成P~‖prefix(P),k≥2,prefix(P)表示P的某个字首。‖表示并置运算。P表示k个P并置。     

两类图簇的伴随多项式的因式分解及色性

令Sk 1表示k 1阶星图,φ^*(2k,n)表示2Sk 1的两个k度点分别与路Pn的两个1度点重迭后得到的图．对于1≤i≤2k n=1,用Srq 2^*(i)表示rφ^*(2k,n)的每个分支的第i个顶点依次与Sr 1的r个1度点重迭后得到的新图；Гpq 1^*(i)表示pφ^*(2k,n)的每个分支的第i个顶点及其对称点依次与S2p 1的2p个1度点配对且重迭后得到的新图．我们通过研究这两类新图与一定数目的孤立点组成的并图的伴随多项式的因式分解，证明了上述并图的补图的色等价图的结构定理．     

关联图形的数列问题

所谓“关联图形”是指具有一定内在联系的一些图形.这类问题极富趣味性、思考性、挑战性及较强的规律性,下面笔者进行分类探究,供大家参考.1关联“点”的数列问题例1(2004上海高考题)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个点.图1例1图解(3)～(5)规律性比较强,第n个图有n个“杈”,每个“杈”有n个点,共有n2个点,又n个杈共一点,去掉n,加上1,所以第n个图有n2-n 1个点.点评在找规律时,要综合分析各个图形,以便发现规律.2关联“有机物结构简图”的数列问题例2下面是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑…     

多维ARMA平稳序列识别的AIC准则

本文是“关于系统识别的 AIC 准则”的续篇.本文整理了赤池教授[1],[2],[3]等文献.整理可能有错,与原文无关.ARMA 序列最本质的描述是其预报空间的维数是有限的.[1]中说,对多维平稳序列也有类似结果.定义1.设 Y(i),i=0,±1,…为一 r 维宽平稳序列(以后略去宽),均值为0,用(?)_n表示 Y(n-i),i=0,1,2,…的分量按均方模张成的希尔伯特空间,E(Y(n+k)|(?)_n)称作 Y(n+k)对(?)的正交投影.E(Y(n+k)|(?))是 r 维随机变量,其第 i 个分量表示为 Y_i(n+k|n),有对1≤i≤(?),Y_i(n+k|n)∈(?).用 Y_i(n+k)表Y(n+k)第 i 个分量,有     

用Walsh-Fourier级数的(c,β)平均来逼近函数的问题

设p≥2是固定的整数.x∈[0,1]的p进表示是x=(0.x_1x_2…x_n…),其中x_k∈{0,1,…,p-1},k∈N={1,2,…}。並且约定对p进有理点取有限表示。对任意非负整数k≥0,写k=sum from j=0 to n (k_jp~j),k_j∈{0,1,…,p-1}。设,则p进的Walsh函数定义为。     

关于多项式系数的整除性

设 n是正整数 ,k1 ,k2 ,… ,ks 是适合 k1 +k2 +… +ks=n的非负整数 ,正整数 nk1 k2 … ks=n!k1 !k2 !… ks!称为多项式系数 .本文讨论了当n=a0 +a1 p+a2 p2 +… +arpr ,其中 p为素数且 p≤ n,0≤ ai相似文献   

包含置换的同余式（英文）

设A_2(n)={(ij)|1≤ij≤n,(ij,n)=1},A_3(n)={(ijl),(ilj))|1≤ijl≤n,(ijl,n)=1},其中(x_1 x_2…x_k)表示循环置换,当ik时,把x_i映射到x_(i+1),x_k映射到x_1,其他元素映射到自身.我们得到了∑σ∈A~2(n)∑nk+1 σ(k)/k~m和∑∑nk+1 σ(k)/k~m的同余式,其中σ表示置换.同时,令素数p≥5,H(k)=∑_(i=1)~k1/i,我们证明了∑σ∈A_2(p)∑p=1k=1σ~m(k)H(k)≡2B_m(mod p) ∑σ∈A_3(p)∑p=1k=1σ~m(k)H(k)≡-5B_m(mod p).     

广义特征向量几种算法的比较

关于求一个矩阵 Jordan标准型的变换矩阵问题须计算矩阵的广义特征向量 ,目前常见的矩阵理论教材中有下述两种方法 .下设 A是 n× n阶矩阵 ,λ是 A的某特征值 ,其代数重数为 r,几何重数为 s且r>s.方法 1　由方程 ( A- λI) x=0解出 A的特征向量 p,由 ( A- λI) x=p解出第一个广义特征向量 q,这里的 p不能是任一特征向量而应是 A的 λ特征子空间内使方程 ( A- λI) x=p有解的那一个 .设 A的 λ特征子空间的基是 p1,p2 ,… ,ps,当 s>1时正确的说法是 :通过选择系数 k1,k2 ,… ,ks由方程 ( A- λI) x=k1p1+ k2 p2 +… + ksps解出第一个广…     

数学归纳法原理

数学归纳法是关于自然数n的性质p(n) ,若1) p(n0 )成立 ,n0 ∈N ;2 )假设 p(k)成立 (k≥n0 ) ,可以推出p(k + 1) 成立 .则 p(n)对于一切大于或等于n0 的自然数都成立 .数学归纳法是中学数学中的一种重要方法 ,在证明与自然数有关的命题时 ,我们常常采用数学归纳法 .应用数学归纳法有固定的程式 ,书写时 ,必须严格按照程式写出两个基本步骤 ,但在具体应用上具有极大的灵活性 ,在证明第二个步骤时常常用到一些非常巧妙的技巧 .例 1　 (1999年全国高考试题 )已知函数y =f(x) 的图象是自原点出发的一条折线 ,当n≤y≤n + 1(n =0 ,1,2 ,… )时 ,…     

第四讲 均值、方差和相关矩阵的计算(续)

(一)功能 估计多元样本的均值、标准差和方差──协方差、相关系数矩阵.其中样本数据可以分组提供。 (二)算法概述 设M个变量的N次观测数据矩阵为(xki)N×M.定义前n次观测数据的均值与差积和为并令可证有如下递推公式*: *证明见本刊1983年第4期杨自强的文章。该文通过大量数据对比计算后认为这是一个较好的一轮算法,特别在数 据服从正态分布。且均值比方差小时。于是对于N次观测数据有均值标准差方差──协方差相关系数递推算法对于数据的调用是一次性的,即在一轮循环计算中同时完成均值与差积和的计算。本程序允许把数据矩阵分割为k个子…     

关于一个素数和一个素数的k次方和问题

设k≥2,且Hk表示一个正整数n的集合,使得该集合中的元素满足a+bk≡n(modq)对任意的q,在模q的既约剩余系中有解,令Dk(N)表示所有的n≤N,且n∈Hk且不能表成p1+p2k=n形式的整数.那么在GRH下, Dk(N)相似文献   

一道国家集训题的导数证明

2005年国家集训题:从任意n(n≥2)个给定的正数a1,a2,…,an中,每项取k个数作乘积,所有这种乘积的算术平均值的k次方根,称为这n个数的k次对称平均,记为Bk.即Bk=a1a2…ak a1a3…ak 1 … an 1-k…an-1anCkn1k求证:若1≤k1相似文献   

自变元带误差的回归分析

考虑p维随机变元的n个独立观测值X_1,X_2,…,X_n,其中X_t=(x_(1t),x_(2t),…,x_(pt))~t表示第t个观测矢量,它由分量x_(1t),x_(2t),…,x_(pt)组成.x_(it)为第i个变元的第t个观测值.每个x_(it)都是由两个量的叠加而成,即被观测的非随机自变元a_(it)和观测误差ε_(it)的叠