对一道高考题的探究

2006年江西高考理科压轴题的最后一问经提取后，即是要证明以下不等式成立：（1=1/3）（1-1/3……2）（1-1/3……3）·…·（1-1/3^n）〉1/2（n∈N^＋）注意到此不等式与自然数有关，故考虑用数学归纳法证明．而该式左边为含，2的表达式，右侧为一常数，由数学归纳法证明过程易想到如果不对1/2进行变形是很难证得原不等式的．采取对1/2变形再证明正是标准答案所给解法，也是市面上教辅材料中一般采用的解法．     

带外力的弱阻尼非线性原子格点方程的整体解

我们考虑如下方程的整体解的存在性：uxt 3/2ux^2uxx Uxxxx-sinu εux=f我们先给出了一致性先验估计，然后在H0^1∩H^2空间证明了整体解的存在性．     

一道竞赛题的再证

题目：求证：在任意三角形ABC中，都有cosA/1-cosB·cosC＋cosB/1-cosA·cosC＋cosC/1-cosA·cosB≤2. 文[1]用一个不等式和恒等式巧妙证明了这个不等式，但此方法不易想到，笔者经过探索，找到了一种直截了当的证法．     

探究一道高考题的幕后知识

湖北卷（理）22题：已知不等式1/2＋1/3＋…＋1/n〉1/2[log2 n],其中n为大于2的整数，[log2 n]表示不超过log2 n的最大整数，设数列｜an｜的各项为正，且满足：a1=b（b〉0）,an≤nan-1/n＋an-1,n=2,3,4…，     

一道解析几何题的变式探究

高三复习圆锥曲线时遇到这样一道习题：题目 点P是双曲线C1：x^2/a^2-y^2/b^2=1（n〉0，b〉0）和圆C2：x^2＋y^2==a^2＋b^2的一个交点，且2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1，F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为____.     

构造常数数列解决数列问题

2008年全国高中数学联赛湖北省预赛试题中有这样一道题：设数列{an}满足：a1=1，a2=2，an＋2/an=an＋1^2＋1/an^2＋1（n≥1）.     

56 复数集中的一元二次程的解法

T：大家想一下，如何解下列方程：（1）2X~2-4X十3=0；（2）X~2-5iX-6=0；（3）（2十i）X~2-（5-i）X＋2（1-i）=0．1先明确准则，思路─—一种起引导、组织、鉴别作用的陈述T：请大家先一般的说一下：怎样考虑这样的问题？有几条可行的思路？S_1：一一考察实系数的一元二次方程的各个解法及其具体的步骤过程，看哪些步骤方法仍可适用于解复数集中的一元二次方程？比如因式分解法，或配方法，或求根公式法等，仍可适用么？S_2：令x=a＋bi（a、bR），代入方程．利用复数相等的条件，转化为解实数集中的方程组．2—一鉴别各条思路、做法…     

构造“零件不等式”证明一类条件不等式

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0，i=1，2，3，且x1＋x2＋x3—1，则1/（1＋x1^2）＋1/（1＋x2^2）＋1/（1＋x3^2）≤27/10     

新解2008年高考安徽卷理科第22题

2008年高考安徽卷理科第22题：设椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）过点M（√2，1），且左焦点F（-√2，0），     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛题的再推广

2005年巴尔干数学奥林匹克试题的第3题是： 设a，b，C是正数，求证： α^2/b＋b^2/c＋c^2/α≥α＋b＋c＋4（α-b）^2/α＋b＋c （1） 文[1]从变量的个数方面给出了一个推广：     

等差数列的一个性质

设数列{an}是公差为d的等差数列，且对于n∈N^＊，有an≠0，当d≠0时容易得到以下几个恒等式： 1/a1a2=1/d a2-a1/a1a2=1/d（1/a1-1/a2）, 1/a1a2a3=1/2d a3-a1/a1a2a3。     

从一个双曲线焦半径错题说起

在一份全国重点中学高考调研试卷中有这样一道题：已知双曲线：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0），F是其左焦点，过F作直线交双曲线于A。B两点，设｜AF｜—m，｜FB｜=n,则1/m＋1/n的值为——。     

圆与椭圆的一组相关性质

本文拟介绍关于圆x^2＋y^2：a^2与椭圆x^2/b^2=1的一组相关性质． 定理1如图1，点A，B分别为椭圆y^2/b^2=1的左顶点和右顶点，点F1，     

从技巧到机智

在小学时,老师教给我一种解题方法:创造条件错项相消.比如计算 1/2 1/6 1/12 … 1/90=(1-1/2) (1/2-1/3) (1/3-1/4) … (1/9-1/10)=1-1/10=9/10.我感到很有趣味. 到了中学,我常考虑能否将这种似繁实简的解题方法用于解题,数学不负有心人.在中学里,“分裂法”果然有更广泛的应用。     

探究一类条件不等式的源与流

文[1]对不等式“若xi〉0，i=1，2，3且∑i=1^3 xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出了一个较为简单的证明．其证明思路是：先证明对任意0〈x〈1有1/1＋x^2≤27/50（2-x），即（x-1/3）^2（x-4/3）≤0成立（这是显然的，且x=1/3时等号成立）.     

不等式sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8的一个隔离

在△ABC中，有一个熟知的不等式 sinA/2sinB/2sinC/2≤1/8. 本文给出它的一个隔离： sinA/2sinB/2sinC/2≤1/512（2sinA/2＋1）^2（2sinB/2＋1）^2（2sinC/2＋1）^2≤1/8.     

一个竞赛不等式的多方位推广

文[1]中给出了下列结果： 已知x1，x2，…，xn∈R^＋则 x1^2/x2＋x2^2/x3＋…＋xn^2/x1 ≥x1＋x2＋…＋xn＋4（x1-x2）^2/x1＋x2＋…＋xn （1）[编者按]     

k次幂平均函数的单调性

设a1，a2，…，an为正实数，分别称a1＋a2＋…＋an/n，n√a1a2…an和n/1/a1＋1/a2＋…＋1/an 为n个正实数a1，a2，…，an的算术平均值、几何平均值和调和平均值，并分别简记为An，Gn和Hn．关于这三个平均值，有我们十分熟悉的平均不等式：     

关于圆、椭圆、三角形的一个相关性质

由文[1]易得：如图1，与椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1内接，且与圆x^2＋y^2=a^2b^2/a^2＋b^2外切的多边形是菱形．     

一个加强的Carleman不等式

建立如下权系数的不等式：（1 1/m)^n≤e(1-1-2/e/m）（m=1,2,…），这里，1-2/e=0.2642411^ 为最佳值，从而得到一个加强的Carleman不等式。