例谈三角恒等变换中的求值问题

我们知道变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一,三角恒等变换就是其中一种,在三角函数的化简、求值、证明中都离不开三角恒等变换.而三角函数求值是三角恒等变换公式的基本应用,也是考查的重点,要掌握求值问题的解题规律和途径,应正确选用公式,并掌握公式的变形应用技巧,具体说来主要有下面三种题型：     

三角变换的若干技巧

一、化归为条件角例1 已知cos(a π/4)=3/5,π/2≤a<3π/2,求cos(2a π/4)的值. (2002年全国新课程卷高考题) 简析a π/4是题设条件涉及的角,可简称为条件角.2a π/4是题目所求涉及的角,可叫目标角.将目标角转化为条件角,问题就解决了.     

三角变换的策略

三角变换是高中数学的一个难点 ,内容杂 ,技巧多 .新教材的此部分有所缩减 ,但题型 ,方法 ,技巧未变 ,老师虽讲了三角变换中的“五化”即“化角” ,“化名” ,“化数” ,“化幂” ,“化式”等多种题型与技巧 ,但仍不知思考问题的方向 .其实三角变换有一种策略 ,即“化异为同” ,解三角问题时首先观察其不同之处 ,然后寻找化同之方法与途径 .以下例谈解题策略 ,望能对解题有所帮助 .例 1　 (1996年昆明数学竞赛题 )已知ｓｉｎ(ｘ +2 0°) =ｃｏｓ(ｘ + 10°) +ｃｏｓ(ｘ - 10°) ,求ｔａｎｘ的值 .分析　首先观察已知式与所求式ｔａｎｘ的不…     

三角问题 巧妙“变换”

在学习三角变换时,不少同学都感到难学,其实不然,只要我们掌握了一些变换的技巧与方法,很多问题都能迎刃而解．本文例析几种常见的三角变换方法与技巧,以帮助同学们迅速有效地解题．     

例说解几中的“升格”

所谓“升格”,就是提高规格和层次的意思,是相对于“降格”而言的,例如升幂、升维和引入多参数等,这些方法与经常使用的降次、降维及消元技巧相反,但它的技巧要比降格技巧高,现举数例如下。     

谨防三角变换中的“会而不对”

在解决三角问题的过程中，由于对一些细节问题把握不到位，很多同学经常出现会而不对或对而不全的情况，本文结合自己的点滴体会，对几类常见问题进行分析，以引起大家的注意．     

“整体思维”在三角变换中的应用途径

所谓整体思维是指注重对对象的整体性把握的思维倾向,是一种较高级的思维方式.整体思维具有快捷性、直接性、简约性、跳跃性和独创性等特点,对培养学生数学思维能力有重要的作用.在三角变换中,有一种重要策略是整体处理某些结构,使求解过程变得简洁、高效.本文举例来说明整体思维在三角变换中的应用途径,从中感受它带来的巧妙、简洁.     

“整体思维”在三角变换中的应用途径

所谓“整体思维”是指注重对对象的整体性把握的思维倾向，是一种较高级的思维方式．“整体思维”具有快捷性、直接性、简约性、跳跃性和独创性等特点，对培养学生数学思维能力有重要的作用．在三角变换中，有一种重要策略是整体处理某些结构，使求解过程变得简洁、高效．本文举例来说明“整体思维”在三角变换中的应用途径，从中感受它带来的巧妙、简洁．     

谨防三角变换中的“会而不对”

在解决三角问题的过程中,由于对一些细节问题把握不到位,很多同学经常出现会而不对或对而不全的情况,本文结合自己的点滴体会,对几类常见问题进行分析,以引起大家的注意.例1图1是函数y=Asin(ωx φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一部分,求它的解析式.图1错解由图易知A=2,4T=6-2=4     

并不恒等的三角“恒等”变换

“三角恒等变换”是学习三角知识及探索三角问题的一种重要方法 ,是学生必须要掌握的一块重要内容 .但很多学生却由于概念不清、忽视角的取值范围等原因把并不恒等的三角变形看成恒等的三角变形 .本文举数例说明如下 .1　求角例 1　已知ｓｉｎα =2ｃｏｓβ ,ｔｇα =3ｃｔｇβ ,- π2 <α <π2 ,0 <β<π ,求角α,β.错解 :由已知得 :ｃｓｃ2 α =12ｃｏｓ2 β,ｃｔｇ2 α=13ｔｇ2 β (1)∵ｃｓｃ2 α =1 ｃｔｇ2 α (2 )∴ 12ｃｏｓ2 β=13ｔｇ2 β 1(3)∴ 1=12ｃｏｓ2 β- 13ｔｇ2 β =3- 2ｓｉｎ2 β6ｃｏｓ2 β .∴ 6ｃｏｓ2 β=3- 2…     

试论数学思维的“升格”策略

数学思维的策略多种多样,“熟悉化、简单化、具体化、和谐化”策略,这是我们已经公认的(文[1])。上述这些策略可以概括为“降格”策略,即当人们对复杂的事物或抽象的事物一时认识不清时,暂时退到简单的仍然能保持事物特征的情形,寻找事物的规律或关系的那样一种策略。如把多元问题转化为一元问     

例谈估算的若干策略

所谓估算,实质上是一种快速的近似计算,它的基本特点是对数值作适当扩大或缩小,从而对运算结果确定一个范围,或做出一个估计.本质地看估算,它应该是一种数学意识,是理性思维能力的具体表现,是在众多的信息面前,注重挖掘一批有用或关键信息的那种数学素养.一般地,运算能力的指标可归纳为:准确、熟练、合理、简捷.估算有如下切入点:①用近似值估算;②数形结合估算;③思维直觉估算;④极端情形估算等.下面结合近几年的高考试题进行说明.1.用近似值估算例1(2003高考上海卷)方程x3+lgx=18的根x≈.(结果精确到0.1)简析:这是一道典型的近似计算题,利…     

例谈估算的若干策略

所谓估算,实质上是一种快速的近似计算,它的基本特点是对数值作适当扩大或缩小,从而对运算结果确定一个范围,或做出一个估计．估算是在众多的信息面前,注重挖掘一批有用或关键信息的那种数学素养．一般地,运算能力的指标可归纳为:准确、熟练、合理、简捷．运算的合理性是运算能力的核心,运算的简捷是运算合理性的标志．一般地,估算有如下切入点:①用近似值估算;②数形结合估算;③思维直觉估算;④极端情形估算等．下面结合近几年的高考试题进行说明．     

高中数学解题中的“动静变换”策略

<正>数学是研究客观世界空间形式和数量关系的一门科学.在数学解题中,若以"动"与"静"的辩证关系为指导去分析思考问题,对学生辩证唯物主义世界观的形成有积极的开拓作用.动静变换有利于培养学生思维的流畅性和灵活性,是一种重要的解题策略.1.以静制动在求解运动型问题时,要努力从错综复杂的运动变化中抓住暂时的、静止的瞬间,去发现量与量之间的关系,探求规律,使问题向有     

例谈“矩阵与变换”在高中数学解题中的运用

“矩阵与变换”作为《普通高中数学课程标准（实验）》中的一个专题进入高中数学范畴,教学时间大约18课时．由于是新增内容,加之老教师普遍感到比较陌生,因此不少地区和学校放弃选修该专题．通过两年的教学实践和高考检验,我们认为选修该专题不仅在高考中稳操胜券,容易得到满分,而且对于有些数学问题的解决还具有特别的功效,现把我们的认识与体会整理如下,供同行们参阅．     

做三角变换要善于“三看”

三角函数求值问题,是高考数学试题中的常见问题,如何找准三角变换的突破口呢?笔者认为：在复习中就要善于“三看”即一看“角的差异”,二看“三角函数名称的异同”,三看“式子结构的特点”。但在解决问题过程中,这“三看”不是孤立的,而是相互联系,相辅相成,相互促进。为此,举例分析,供借鉴。例1 若α,β均为锐角,且cosα=1/7,cos(α β)=-11/14,则cosβ=____。分析首先从“角”来看,β=(α β)-α,因此只需利用同角的三角函数关系式求出sinα与sin(α β)的值即可。解由题设可得     

三角变换要突出一个“变”字

三角变换要突出一个“变”字黄坪（江苏南通市第一中学２２６００１）三角函数的恒等变形或用三角式代换代数式称为三角变换．利用三角变换来化简三角函数式、求三角函数值、证明三角恒等式、解三角方程、求解或证明三角不等式时，要突出一个“变”字．本文结合教学实际，...     

例谈命题构造的若干策略

数学命题浩如烟海,若能针对性地对一些数学命题的来龙去脉进行剖析,则有助于学生更自然,更深刻,更全面地理解所学的知识,有助于学生领略数学的美妙与生动.使教师的上课更有底气,讲得更清楚.使学生听得更明白,理解与感悟更深.限于篇幅,本文只描述命题的产生背景,而省去了对命题的证明过程.     

例说三角代换若干特点

例说三角代换若干特点樊友年（湖北省公安县第一中学４３４３００）三角代换是中学数学一个重要的解题技巧，它涉及的问题类型较多，处理方法灵活．下面举例说明三角代换的若干特点．１．直接对题设条件等式施行三角代换．例１点（ｘ，ｙ）在曲线上变动时，代数式所取到的...     

例谈三角代换在竞赛中的应用

三角函数蕴含着丰富的公式与性质,巧妙地运用这些公式与性质进行变量代换可以顺利地解决许多综合问题．笔者在辅导竞赛中发现,三角代换在很多问题中能够简化题设信息,使隐性条件显性化,从而沟通量与量之间的关系,对发现解题的思路、优化解题的过程起到了积极的推进作用．本文结合实例说明三角代换在求最值、证明不等式、解决数列问题和解方程（组）中的广泛应用,供参考．