Stress,body force,and momentum balance in mixture theory

Summary A general momentum balance for a mixture constituent is motivated from corpuscular considerations. The interpretations of stress and internal body force in the separate cases of ionic and non-ionic species are indicated. The Gurtin-Oliver-Williams paradox concerning the interpretation of partial stress is resolved, and relations between total and inner stress shown to be more complex than usually assumed. Comparison is made with kinetic theory.

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Sommario Una relazione generale di bilancio della quantità di moto per un costituente di una mistura è ricavata sulla base di considerazioni particellari. Interpretazioni di stress e forza interna di volume sono fornite per costituenti sia carichi sia neutri. In tal modo il paradosso di Gurtin, Oliver e Williams sull'interpretazione degli stress parziali viene risolto e, inoltre, le relazioni tra stress totali e parziali risultano in generale più complesse di quanto si assuma solitamente. Infine si effettua un confronto con la teoria cinetica.

     

One-dimensional unsteady flows of solid-liquid suspensions

Summary The partial differential equations governing the unsteady one-dimensional motion of a solid-liquid mixture in an elastic tube are derived and applied to the problem of pressure surge generation resulting from rapid flow shutdown. The momentum exchange between the phases is then assumed to be simply proportional to the relative velocity of the phases, as correct in the case of slow relative motion. This assumption permits a closed form solution of the problem by a Laplace transform technique. The physically meaningful boundary condition is assumed to be that of vanishing velocity for the fluid phase at the valve. This leads to an initial overshoot of the pressure if the density of the liquid is larger than that of the solid, at variance with previous results of Wood and Kao. Another result is that the presence of a transient in the time evolution of the pressure, discovered by the latter authors, does not play an important role in applications dealing with long tubes. This is proved by both asymptotic estimates and numerical results.

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Sommario Si ricavano le equazioni a derivate parziali che reggono il moto unidimensionale non stazionario di una miscela solido-liquido in un tubo elastico e le si applicano al problema dell'aumento di pressione prodotto da una brusca interruzione di corrente. Lo scambio di quantità di moto fra le fasi viene ritenuto semplicemente proporzionale alla loro velocità relativa, come è accurato nel caso di piccoli valori di quest'ultima. Questa ipotesi permette di ottenere una soluzione analitica del problema per mezzo della trasformata di Laplace. Si fa anche l'ipotesi che la condizione al contorno fisicamente significativa sulla valvola di chiusura sia quella di annullamento della velocità della fase fluida. Questo porta a un massimo iniziale di pressione nel caso in cui la densità del liquido sia maggiore di quella del solido, a differenza da quanto ottenuto da Wood e Kao. Un altro risultato è che la presenza di un transiente nell'evoluzione temporale della pressione, scoperto da questi autori, non gioca un ruolo importante nelle applicazioni relative a tubi sufficientemente lunghi. Questo risultato viene dimostrato sia per mezzo di stime asintotiche sia per mezzo di calcoli numerici.

     

Numerical study of a viscous flow through a pipe orifice

Summary A numerical solution for a fluid motion in a circular pipe orifice is compared with experimental results. Knowledge of the velocity field allows us to find the pressure field. There is good agreement between the piezometric heads and head losses computed and those obtained in experiments.

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Sommario Si studia uno schema numerico per la soluzione delle equazioni di Navier-Stokes in un campo a simmetria assiale. I risultati del modello matematico di un processo di moto attraverso un diaframma inserito in una condotta rettilinea, vengono messi a confronto con quelli ottenuti mediante una installazione sperimentale; si constata una buona corrispondenza fra le diverse grandezze esaminate, tra le quali rivestono notevole importanza l'andamento della piezometrica lungo il condotto e l'entità delle perdite di carico localizzate.

     

Sufficient uniqueness and stability conditions for elastic-plastic structures with associated flow laws

Summary The incremental problem for elastic-plastic structures with associated flow laws is stated in terms of an integral equation, whose characteristics and solution are discussed.It is then shown how a simpler problem whose condition of uniqueness of solution constitutes an easily applicable sufficient condition of uniqueness and stability of response for the incremental problem may be deduced.

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Sommario Si formula il problema incrementale per strutture elastoplastiche con leggi di scorrimento associate in termini d'una equazione integrale della quale si discutono le caratteristiche e il criterio di soluzione.Si mostra infine come dal problema incrementale possa essere dedotto un più semplice problema la cui condizione di unicità di soluzione costituisce per il problema incrementale una condizione sufficiente di unicità e stabilità della risposta, di semplice applicabilità.

     

The nonlinear evolution of swirling jets

We investigate the mechanisms of vorticity concentration, reorientation and stretching in a swirling jet, whose dynamics is dominated by the competition of a Kelvin-Helmholtz-type vortex sheet instability and a centrifugal Rayleigh instability. To this end, we employ an inviscid Lagrangian vortex filament technique. It is found that the axial jet velocity profile breaks the symmetry of the pure swirling flow. Conversely, the swirl is seen to modify the case dominated by a Kelvin-Helmholtz instability in that it results in the formation of counterrotating vortex rings. A pinch-off mechanism is observed which leads to a dramatic decrease in the local jet diameter. Furthermore, the vortex ring circulation is seen to be time dependent.

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Sommario In questo lavoro si analizza la dinamica della vorticità in un setto rotante in cui siano presenti, ed in competizione reciproca, fenomeni di instabilità di Kelvin-Helmholtz e di Rayleigh. A tale scopo si adotta una metodologia di soluzione non viscosa, Lagrangiana a filamenti vorticosi. Viene mostrato come il profilo di velocità assiale del getto altera la simmetria del moto di pura rotazione. Viceversa, la presenza della rotazione modifica il flusso dominato dall'instabilità di Kelvin-Helmholtz attraverso la formazione di anelli vorticosi controrotanti. L'interazione di questi due campi di velocità porta sia ad una considerevole riduzione del diametro locale del getto, sia ad una variazione temporale della circolazione degli anelli vorticosi.

     

A direct nonlinear theory of elastic membranes

Summary The authors develop a nonlinear theory of elastic membranes which accounts for thickness effects. By assuming the existence of a strain energy function and postulating a principle of virtual work which governs the mechanical behavior of an elastic directed surface, the field equations and the general constitutive relations are obtained for both the compressible and incompressible case. These equations are identical with those arrived at by a suitable limiting process applied to the three dimensional equations of nonlinear elasticity.

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Sommario Gli autori sviluppano una teoria non lineare delle membrane elastiche che tiene conto degli effetti dello spessore. Assumendo l'esistenza di una funzione energia di deformazione e postulando un principio di lavoro virtuale che governa il comportamento meccanico di una superficie elastica orientata si ottengono le equazioni di campo e le relazioni costitutive generali sia per il caso compressibile che per l'incompressibile. Queste equazioni sono identiche a quelle a cui si arriva con un opportuno processo di limite applicato alle equazioni tridimensionali della elasticità non lineare.

     

Simultaneous collisions of particles: Generalization of a theorem by Sundman

Summary According to Sundman, a simultaneous collision of all the particles of a system of gravitating masspoints is possible only if the total angular momentum of the system vanishes. It is shown that this proposition isnot characteristic for gravitation, but rather holds for a wide class of central forces.

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Sommario Secondo Sundman una collisione simultanea di tutte le particelle di un sistema di masse puntiformi gravitazionali è possibile solo se il momento della quantità di moto totale si annulla. Si dimostra che questo enunciatonon è caratteristico della gravitazione, ma vale piuttosto per un'ampia classe di forze centrali.

     

A priori bounds for the plastic dissipation of elastic-plastic oscillators

Summary The possibility of enlarging the definition of collapse of elastic-plastic structures to include dynamic problems is first examined. It is concluded that the most satisfactory definition is the one given in terms of plastic dissipation. The simple case of a single-degree of freedom oscillator is then studied in detail. After giving some upper bounds for the dissipation with the aid of suitable a priori inequalities, a typical property of stability of the solution is employed to obtain a fairly severe bracketing of velocities throughout the motion. A numerical example, taken from a problem of seismic design, shows that the latter result leads to further improvements in majorizing the plastic dissipation.

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Sommario Si studia aapprima l'estensione della definizione di collasso di una struttura elastoplastica ai problemi di tipo dinamico, concludendo che la miglior caratterizzazione é quella in termini di dissipazione plastica. Si passa poi a considerare il caso di un oscillatore a un grado di libertà, per cui si calcolano limitazioni superiori della dissipazione ricorrendo a opportune diseguaglianze a priori. Utilizzando inoltre una proprietà di stabilità della soluzione, tipica dei problemi di Plasticità, si riescono a dare strette limitazioni per la velocità. Come mostrato da un esempio numerico tratto da un problema sismico, esse conducono anche ad una più accurata delimitazione della dissipazione plastica.

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This research was supported in part by the C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica e per le Applicazioni della Matematica alla Fisica e all'Ingegneria.     

An exact solution for one-dimensional unsteady nonlinear groundwater flow

After a brief review of the validity of Darcy's law, a nonlinear flow law is adopted for the analytical solution of a groundwater flow problem. A one-dimensional unsteady flow in plane geometry, with prescribed head at the boundaries, is studies. The solution of the analogous linear case is reviewed through the use of Boltzmann's transformation. A solution for nonlinear flow is obtained through a generalization of this transformation. Detailed expressions for specific discharge and drawdown are derived for two significant values of the exponent of the flow law. All results are presented in dimensionless form for a comparative analysis. Some significant cases are plotted. Finally, some implications of the adoption of a nonlinear flow law are discussed.

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Sommario Dopo un breve riepilogo sui limiti di validità della legge di Darcy, si adotta una formulazione non lineare della legge del moto per la risoluzione analitica di un problema di filtrazione. Si studia un moto non stazionario monodimensionale in geometria piana, con carico assegnato al contorno. Viene richiamata la soluzione dell'analogo caso lineare, tramite l'applicazione della trasformata di Boltzmann. Una soluzione per il moto non lineare è ottenuta mediante la generalizzazione di tale trasformazione. Si ricavano le espressioni della velocità apparente di filtrazione e del drawdown per due valori significativi dell'esponente della legge del moto. Tutti i risultati sono presentati in forma adimensionale per una analisi comparativa. Alcuni casi significativi sono diagrammati. In conclusione, sono discusse alcune implicazioni dell'adozione di una legge del moto non lineare.

     

A possible solution of a case of unsteady laminar plane flow for non-newtonian liquids

Summary After a few basic remarks on continuous media mechanics, equations of unsteady laminar flow for non-newtonian incompressible fluids are written; a solution for a particular plane flow (with zero hydraulic slope) is carried out, supposing that the components of the stress tensor T are polynomials in the components of the deformation rate tensor F. In particular if we adopt a cubic law, we recognize a second viscosity coefficient, which may be a positive or negative number; a way is then suggested for finding experimentally both viscosity coefficients of the fluid; a simple numerical example is also given.

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Sommario Dopo alcuni richiami sulla meccanica dei mezzi continui, si scrivono le equazioni del moto vario laminare per fluidi non newtoniani incomprimibili, e se ne trova la soluzione in un caso particolare di moto piano (a pendenza motrice nulla), supponendo di esprimere il legame fra le componenti del tensore degli sforzi T e quelle del tensore delle velocità di deformazione F con polinomi. Nel caso particolare di una legge cubica si presenta un secondo coefficiente di viscosità, positivo o negativo; si suggerisce allora un possibile metodo per determinare sperimentalmente il valore dei due coefficienti di viscosità del fluido, dando poi un semplice esempio numerico.

     

The KS-transformation revisited

We show that the Kustaanheimo-Stiefel (KS) regularizing transformation for the perturbed Kepler motion is so deeply rooted to the Keplerian orbital elements as to yield the position vector of a particle on the osculating orbit as the effect of a peculiar roto-dilatation in the physical Euclidean space. Adopting the conventional vector formulation, quaternions and spinors are also involved. A key role is played by (i): a simple hodographical approach to the integrals of the Kepler motion (angular momentum vector, Runge-Lenz vector); (ii) a polarized outlook on the attitude frame of the Kepler orbit; (iii) a simple kinematical expression for the orbital elements. The mechanical energy, the bilinear relation, the gauge transformation — fundamental in the KS-theory — are naturally arrived at, acquiring interesting kinematical interpretations.

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Sommario Si mostra come la trasformazione di Kustaanheimo e Stiefel (KS) per regolarizzare il moto kepleriano perturbato sia cosí legata agli elementi orbitali da condurre, tramite una particolare roto-omotetia nello spazio fisico euclideo, al vettore posizione di una particella sull'orbita osculatrice. Avvalendosi del consueto calcolo vettoriale, si introducono solo all'occorrenza quaternioni e spinori. Fondamentali risultano (i): l'introduzione per via odografica degli integrali primi caratteristici del moto kepleriano (momento della quantità di moto, vettore di Runge-Lenz); (ii) l'interpretazione polarizzata della terna di assi che dà la posizione dell'orbita nello spazio; (iii) le semplici espressioni cinematiche degli elementi orbitali. L'energia meccanica e la relazione bilineare, basilari nella teoria KS, acquistano interessanti interpretazioni cinematiche.

     

Lubricated Plane Slider Bearing: Analytic and Numerical Approach

For lubricated slider bearing the elementary theory of lubrication does not allow to describe the pressure build up at the entrance section.In this work the whole flow field is subdivided into three regions: a first one, upstream of the entrance, where the fluid behaves like a perfect fluid; a second region, immediately downstream, where the two boundary layers gradually grow, extending up to a distance determined by means of a model based on analytic functions. The third region is described by Navier–Stokes and solved by adopting a shooting method.Numerical computations were carried out to determine the pressure distribution and the position of the center of pressure for different values of Reynolds number and pad angle. Sommario. La teoria elementare della lubrificazione nel caso del pattino piano lubrificato non è in grado di evidenziare il fenomeno della sovrappressione nella sezione di ingresso.Nel presente lavoro viene proposto un modello che suddivide il campo di moto in tre regioni: una prima a monte della sezione di ingresso, in cui il fluido si comporta come un fluido perfetto; una seconda regione immediatamente a valle, in cui si tiene conto del graduale sviluppo dello strato limite e la cui estensione è determinata tramite un modello basato sulle funzioni analitiche. La terza regione è studiata risolvendo l'equazione di Navier–Stokes con tecnica numerica basata su un metodo di shooting.In questo lavoro viene riportato l'andamento della pressione all'interno del cuscinetto e la posizione del centro di pressione per differenti valori del numero di Reynolds e per varie inclinazioni del pattino.     

On the motion of conductive,homogeneous and isotropic elastic bodies in the presence of a magnetic field

Summary This paper deals first with the equations of motion of a conductive, homogeneous and isotropic elastic body subjected not only to externally applied mass forces and surface forces, but also to a uniform magnetic field, in which an induced magnetic field is generated.On the assumption that the electrical conductivity is infinite, the problem of motion is reduced to the consideration of a single differential vector equation in which the displacement of a point in the elastic body is the only unknown. The conditions that must be satisfied at the surface are then considered.Using the generalised formula of Kirchhoff, formulas expressing the Cartesian components of the displacement, the cubic dilatation and the rotation components are established by means of the so-called fundamental elements.

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Sommario In questo lavoro si considerano innanzitutto le equazioni del moto di un corpo elastico omogeneo isotropo, elettricamente conduttore, soggetto, oltre che a forze di massa e superficiali generiche, anche a un campo magnetico uniforme, e nel quale si genera un campo magnetico indotto.Nell'ipotesi di conducibilità elettrica infinita il problema di moto si riduce alla considerazione di una sola equazione differenziale vettoriale indefinita in cui è incognito il solo spostamento di un punto del corpo elastico. Vengono stabilite successivamente le condizioni che devono essere verificate in superficie.Utilizzando poi la formula generalizzata di Kirchhoff, si stabiliscono delle formule di rappresentazione delle componenti cartesiane dello spostamento, della dilatazione cubica e delle componenti della rotazione, per mezzo dei cosidetti elementi fondamentali.

     

Flow through geometrically irregular media with lattice gas automata

Summary The determination of the permeability is an interesting problem of fluid dynamics of wide interdisciplinary concern. Many authors approached this subject by developing numerical models of flows through porous media at either macro-scale and micro-scale. According to the latter point of view, we present in this paper a verification of Darcy's law and a first determination of the permeability starting by the knowledge of the microstructure of a three-dimensional random medium. The flow is here reproduced by using a particular class of cellular automata with the Boltzmann approximation.

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Sommario La determinazione del coefficiente di permeabilità rappresenta un interessante problema comune a molte discipline. Tale determinazione viene affrontata dai diversi autori o tramite la conoscenza di grandezze macroscopiche — come la resistività o la porositá — ovvero partendo dalla conoscenza della microstruttura del mezzo poroso e cercando di simulare il processo di moto fluido che si svolge lungo i canalicoli del mezzo stesso. Seguendo quest'ultimo punto di vista, viene qui di seguito presentata una tecnica alternativa per la verifica della legge di Darcy e, quindi, per una prima valutazione del coefficiente di permeabilità per un mezzo tridimensionale complesso. La simulazione dei moti fluidi viene effettuata tramite una particolare classe di gas reticolari che evolvono secondo le regole degli automi cellulari.

     

Breakup régimes and self-sustained pulsations in coaxial jets

We report on a new flow pattern transition observed in a coaxial jet configuration. Above a critical momentum ratio between the outer and the inner stream, it is found experimentally that the inner potential core breaks down into an unsteady recirculation bubble. The origin of the transition is explained and an expression for the critical velocity ratio is derived. The nature and the features of the pulsation of the bubble are discussed using an original evolution equation which relies on the interplay between the linear growth rate of the jet mixing layer disturbances and the recirculating flow induced delay of the non-linear saturation.

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Sommario In questo articolo si discute di un nuovo tipo di transizione di flusso osservata in una configurazione di getto coassiale. Si stabilisce sperimentalmente che il potenziale interno disgrega la parte interna del flusso in una ricircolazione instabile a bolla oltre un valore critico nel rapporto tra la corrente interna e quella esterna. Viene spiegata l'origine della transizione e viene derivata l'espressione della velocità critica. Sono discusse, inoltre, la natura e le caratteristiche della pulsazione della bolla, avendo a disposizione una equazione di evoluzione originale che evidenzia l'influenza reciproca tra la crescita lineare dei disturbi dello strato di mescolamento del getto ed il flusso ricircolante, che induce il ritardo della saturazione non-lineare.

     

On balance equations for materials with affine structure

Summary The equations of balance of mass, inertia, momentum and generalized moment of momentum for materials with affine structure are derived as consequences of the invariance under change of observer of a postulated law of energy balance.

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Sommario Si deducono le equazioni di bilancio di massa, inerzia, quantità di moto e momento generalizzato della quantità di moto per materiali con struttura affine, come conseguenze dell'invarianza al cambiamento di osservatore di un conveniente principio di bilancio dell'energia.

     

Current topics in the dynamics of gas and vapor bubbles

Summary A review of topics of current interest in the dynamics of gas and vapor bubbles in liquids under conditions of no relative motion is presented. The aspects of gas bubble dynamics considered include: radiation pressure (Bjerknes) forces, analytical and numerical studies of transient forced oscillations, connection of the subharmonic resonance with the onset of acoustic cavitation, thermal behaviour of the gas in small-amplitude and large-amplitude oscillations. For vapour bubbles a detailed discussion of the growth process is given. A scaled formulation of this process is also presented and phenomena connected to the forced oscillations are discussed. Some aspects of the dynamics of vapor bubbles in «cold» liquids (i.e. cavitation bubbles) are also included. Finally several phenomena encountered in the dynamics of non-spherical bubbles are reviewed, namely the effect of viscosity on the stability of the spherical shape, a variational formulation, and phase-change effects.

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Sommario Si presenta una rassegna di argomenti attualmente oggetto di ricerca nella dinamica di bolle di gas e di vapore nei liquidi. La discussione è limitata al caso in cui non esista moto di traslazione relativo fra le fasi. Gli aspetti considerati della dinamica di bolle di gas includono: forze di pressione di radiazione (o di Bjerknes), studi analitici e numerici dei transitori nelle oscillazioni forzate, rapporto fra la risonanza subarmonica e l'apparizione di fenomeni di cavitazione acustica, comportamento termico del gas contenuto nella bolla durante oscillazioni di piccola ampiezza e di grande ampiezza. Per le bolle di vapore si presenta una discussione dettagliata del processo di crescita, una formulazione di similarità di tale processo, e alcuni fenomeni connessi alle oscillazioni forzate. Vengono inoltre discussi alcuni aspetti della dinamica di bolle di vapore in liquidi «freddi» (cioè bolle di cavitazione). Infine si considerano alcune questioni connesse alla dinamica di bolle non sferiche, e cioè l'effetto della viscosità sulla stabilità della forma sferica, una formulazione variazionale, e fenomeni relativi al cambiamento di fase.

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This paper is based in part on an invited review lecture given at Euromech Colloquium 98 «Mechanics and Physics of Gas Bubbles in Fluids» held at Eindhoven, 22 – 24 November 1977. The study reported herein has been supported in part by Gruppo Nazionale di Fisica Matematica of C.N.R.     

A mathematical model for an alloy solidification problem in the presence of an electric field

A one-dimensional mathematical model for a process of solidification of a binary alloy in the presence of an electric field is studied. A situation in which the thermal properties of each phase are different and the latent heat is non-zero is considered. A quasi-static approximation for the thermal and electric fields is used. Local existence and uniqueness of a classical solution to the resulting free boundary problem are proved for two kinds of boundary conditions. Moreover, under particular hypotheses, the monotonicity of the free boundary and the global existence of the solution is proved.

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Sommario Si studia un modello matematico unidimensionale per un processo di solidificazione di una lega binaria in presenza di un campo elettrico. Si considera una situazione in cui le proprietà termiche di ogni fase sono differenti e il calore latente è non nullo. Si usa una approssimazione quasi-statica per i campi elettrico e termico. Si dimostra l'esistenza locale e l'unicità di una soluzione classica per il problema di frontiera libera risultante con due tipi di condizioni di bordo. Inoltre si dimostra, sotto particolari ipotesi, la monotonia della frontiera libera e l'esistenza di soluzione globale.

     

The rigid inclusion with highest penetration

A cylindrical bounded rigid inclusion with cross section of bounded area and variable shape is embedded in an infinite elastic medium. Assuming that the cross section possesses an axis of symmetry and that it is pushed into the medium by a force acting in the direction of this axis, the question arises of finding the section's profile for which penetration is highest. A solution is found only for two particular classes of domains in plane elasticity.

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Sommario Un'inclusione clinidrica rigida con sezione trascersale di area limitata e forma variabile è immersa in un mezzo elastico infinito. Avendo supposto che la sezione possegga un asse di simmetria e che sia spinta nel mezzo da una forza agent secondo tale asse, si pone il problema di trovare il profilo della sezione per cui è massima la penetrazione. Una risposta si può dare solo per due classi particolari di domini in elasticità piana.

     

Scattering kernels for the boundary conditions of the boltzmann equation on the moving boundary of two-phase systems

Summary This paper deals with the problem of the boundary conditions for the Boltzmann equation on the moving boundary between a liquid and a vapour phase with condensation and vaporization in non-equilibrium conditions. A physical theory is proposed on the basis of the mathematical theory of the scattering kernels, of the kinetic theory and of the statistical theory of phase-transition. The mathematical result of this theory consists in a set of equations correlating, by means of integral operators, the distribution function of the molecules leaving the liquid surface to the one of the molecules arriving on the surface of the liquid phase.

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Sommario Il presente lavoro studia il problema della condizione al contorno per l'equazione di Boltzmann sulla frontiera mobile fra la fase liquida e quella di vapore di un sistema bifasico in condizioni di disequilibrio termodinamico. Si propone, sulla base dei metodi matematici della teoria cinetica e della teoria degli «scattering kernels» e sulla base dei risultati precedenti di una teoria statistica di transizione di fase, una teoria fisico-matematica per lo studio del problema. In termini matematici si ottiene un operatore che correla la funzione di distribuzione delle molecole che lasciano la superficie liquida alla funzione di distribuzione delle molecole che arrivano sulla superficie. Tale operatore rappresenta la formulazione della condizione al contorno.

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This work has been realized within the activities of the Italian Council for the Research, Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica, and presented at the Euromech Colloquium 86 on the «Boltzmann Equation».