从“九树十行”问题到帕斯卡定理——兼谈2023年高考北京卷解析几何题的射影几何背景

<正>1 “九树十行”问题在英国1821年出版的一本趣味算题集?冬日长夜的智力游戏?里面,记载着一道牛顿提出的几何问题:一共需要种9棵树,要求能排成10行,而且每行恰有3棵树,请读者画出满足要求的种法．这在历史上被称为“九树十行”问题．显然可以转化为如下的几何题——需要大家在平面内找到9个点,连出10条不同的直线,且每条直线都通过9个点中的3个．你能画出满足要求的构图吗?图1是一种满足要求的特殊情况．为了画出10条直线,我们尽量让图形对称．设4点A,     

关于整边勾股形内整距点问题的探讨

关于整边勾股形内整距点问题的探讨河南省邵阳县下塘云中学张小阳边长为正整数（如５，１２，１３）的直角三角形叫做勾股形．若勾股三角形内部的点Ｐ到它的各边的距离均为正整数，则称点Ｐ叫做整边勾股形内的整距点．（以下简称整距点）问题ＡＢＣ的三边分别为ａ、ｂ．ｃ...     

美国芝加哥大学中学数学设计（UCSMP）矩阵（续）

美国芝加哥大学中学数学设计（ＵＣＳＭＰ）矩阵（续）（接上期）４—５反射（对称）回忆几何中一点Ａ对一条直线ｍ的反射像是１．仍是点Ａ．如果Ａ在ｍ上；２．点Ａ’使ｍ是互了的垂直平分线，如果Ａ不在。上．直线。叫做反射线或（对称轴）．假设反射线是。轴，如下图，...     

两条直线重合条件的运用

在《平面解析几何》课本中、两条直线平行和垂直的条件运用得比较充分，而对两条直线重合的条件则运用得不够．这在教与学两个方面都应引起汪意．下面想从三个方面谈一谈两条直线重俣条件的运用．1求直线的方程例1设在同一个坐标平面上的两个动点p（x，y）、Q（X’，y’），它们的坐标满足：x’＝x＋2y＋1，y’=2x＋3y－1．当动点P在不垂直于坐标轴的直线ｌ上移动上，动点Q在与直线ｌ垂直且过点A（1，2）的直线ｌ’上移动，求直线ｌ的方程．用设亘线l的S程为：Ax十By＋C—0①则直线l’的方程为：B（x1）A（yZ）＝0＠把已知X’、／的表…     

给定渐近线的双曲线系

给定渐近线的双曲线系王一平（贵州省普安县一中）我们知道，给定一条双曲线，其渐近线是两条确定的相交直线．但给定两条相交直线，以这两条相交直线为渐近线的双曲线却有无数条．我们把所有具有共同渐近线的双曲线叫做一个双曲线系．于是，我们自然要提出下面一个问题：...     

谈直线的“侧”及其应用——中学数学笔谈之十二

平面中一条直线把整个平面分成两个半平面,我们称它们为直线的两个“侧”．取定一直角坐标系．设直线ｌ的方程为Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０①（Ａ,Ｂ不同时为零）．当一点Ｐ（ｘ０,ｙ０）不在ｌ上时,把它代入①的左端必不为零．容易证明,在ｌ同（异）侧的点的坐标代入①左端...     

异面直线的距离

异面直线的距离甘肃静宁一中伏奋强［基本概念］异面直线的距离是用公垂线段的长度来定义的，我们把与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．关于异面直线的距离有三点是...     

椭圆和双曲线的其它形式方程

1．椭圆和双曲线的其它形式方程 直线与x轴交于点（a,0）,则称a为直线在x轴上的截距;直线与y轴交于点（0,b）,则称b为直线在y轴上的截距．直线在x、y轴上的截距分别是a和b,且ab≠0时,     

格点凸九(十)边形内含格点数问题

格点凸多边形内含格点最少的问题是一较为困难的问题．对3≤，n≤8，问题已获解决，见文［1］、［2」．本文将对格点九（十）边形内含最少格点情况，及任意格来凸n边形的内含格来最少的的构图与面积作初步探讨．引理（i）格点凸五边形若某边上有4个格点，则真内至少含2个格点；（n）拒点0大边形着某边上有3个格点，则真内至少合2个格点．证明（i）如图1所示，设边AIAZ上除顶RAI，AZ外，项目2个榜点PI、PZ，连结A4PI．因为在格点凸五边形AIAZA。A4A。中至少百一格丽P。（见又11」），那么P。可能在①西四边形人ASAIP，内；②西四…     

直线与平面垂直的判定和性质

直线与平面垂直的判定和性质李迪淼（湖南洞口一中４２２３００）【基本概念】１．直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．２．过一点有且只有一条直线和一...     

直线的倾斜角和斜率

直线的倾斜角和斜率钟载硕（广东高州中学５２５２００）【基本概念】一条直线ｌ向上的方向与Ｘ轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角（用ａ表示），特别地，当直线ｌ和ｘ轴平行时，规定它的倾斜角为０°．倾斜角不是９０°的直线，它的倾斜角的正切值，叫做这条...     

有向线段的定比与分点

有向线段的定比与分点湖南沅江一中朱月琪江苏泰县第二中学石志群【基本概念】有向直线ｌ上的一点Ｐ，把ｌ上的有向线段分成两条有向线段和，和数量的比叫做点Ｐ分所成的比，点Ｐ叫做的定比分点．若点Ｐ在线段上，则点Ｐ叫做的内分点；若点Ｐ在线段Ｐ１Ｐ２或Ｐ２Ｐ１的延...     

方格图与正方体中的组合问题

对组合和组合数，人们多偏重于探讨其代数性质，而不太重视它的几何意义．本文将介绍二维组合及多维组合（数）的几何意义，并探讨如何应用组合（数）的几何意义解决组合问题．1二维组合与方格图在平面直角坐标系中，用平行于x轴、y轴的直线x=i、y=i（i=1，2，…）构建方格网（亦称方格图）．显然各交点的横、纵坐标皆为整数，交点可称为整点（或格点）．定义1（二维组合）．在平面方格网中，从坐标原点（0，0）沿格边到点（m，n）的一条递增折线（即由“向右”和“向上”的方格迫连成的折线），叫做点（m，n）的一个组合．定义2（二维组合…     

直线和圆的方程

1）重点直线的倾斜角和斜率，直线的方程，两条直线的位置关系，两直线平行与垂直的条件，两条直线的交角，点到直线的距离；简单的线性规划问题；曲线与方程的概念，圆的方程；直线和圆、圆和圆的位置关系，对称问题（点与点关于点成中心对称、点与点关于直线成轴对称、曲线之间的对称）．     

关于直线上一类最值点的探讨

关于直线上一类最值点的探讨３４１０００江西赣南师范学院熊曾润本文研究的问题是：问题１给定一条直线人空间的ｎ个点Ａ；及ｎ个正数十（ｉ—１，２，…，ｎ），试在直线ｌ上求一点Ｐ，使得Ｓ（Ｐ）一Ｚ入ＩＰＡｒ最小．设Ａ；在直线ｌ上的射影为ＡＺ（ｉ—ｌ，２，…，...     

直线和平面的投影阵及其应用

直线和平面的投影阵及其应用童春发（南京林业大学基础部２１００３７）在空间解析几何中，对于点在直线上和点在平面上的投影问题教材中还没有一个统一的求法．本文介绍直线和平面的投影阵，给出了投影问题的统一解法；利用投影阵，本文还给出了求两条异面直线间距离的一...     

数学科考试要求释疑(续完)

数学科考试要求释疑（续完）晨旭平面解析几何一、直线（１）理解有向线段的概念．掌握有向线段定比分点坐标公式．熟练运用两点间的距离公式和线段的中点坐标公式．（２）理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．熟练掌握直线方程的点斜式，掌握直线方程的斜截...     

斜率性质的灵活应用

直线的斜率是反映直线方向的一个非常重要的是，它的有关性质，在解题实际中有广泛的应用．例1（1997年全国高考题）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点．（Ⅰ）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（Ⅱ）当BC平行于X输时，求点A的坐标．分析（Ⅰ）只要证kCO=kDO，通过A、B两点坐标作侨梁．（Ⅱ）略．对多点共线问题，运用斜率，建立关系式，这是解题的常规方法，应用广泛．对形如y二二业结构问题，则问造萧军来工l一工2解．例2（1997＄全国高警题）…     

浅谈立体几何问题中的几何变换

图形Ｆ的一个变换,实质就是Ｆ到它自身上的一个一一对应．几何变换这个题材,在数学领域涉及面很广,并在现代数学理论中发挥着巨大的作用．本文只限于考虑几何变换的简单情形——立体几何问题中的几何变换,并用几何变换,从不同角度去探索高考立体几何问题的简洁解法．１．借助旋转变换,进行类比推广将空间图形上各点都同时绕一条直线ｌ旋转一个角度α,就叫做该图形绕直线ｌ旋转．这样的变换叫做旋转变换,直线ｌ叫做旋转轴,α叫做旋转角．在上述旋转下,为了求任一点Ａ的对应点,过Ａ点作面β⊥ｌ,且β∩ｌ＝Ｐ．这时只须将线段ＰＡ…     

几种复合图生成树个数的一般求法

若一个图能够由某一个或某几个运算作用于不相交的图上而得到，则称该图为复合图．记ｔ（Ｇ）为图Ｇ的生成树个数，Ｈ（Ｇ）为图Ｇ的Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ矩阵，用“ｏ”表示图的某种运算，如“＋”，“×”，“合成”等，本文研究了Ｈ（ＧｏＧ′）与Ｈ（Ｇ），Ｈ（Ｇ′）的特征值关系，给出了ｔ（ＧｏＧ′）的一般性公式，提供了几种复合图生成树个数的一般性公式，提供了几种复合图生成树个数的一般求法，大大推广了［２，３］的结果，同时简化了许多图类生成树个数表达式的求法．