Shakedown analysis of limited-ductility structures

Summary The paper deals with the shakedown analysis problem of discrete elastoplastic structures, subjected to variable and repeated quasi-static loads, account being given to the limited structural ductility by imposing a-priori limit values to some relevant parameters of plastic deformation. The key-concept of limited-ductility load amplifier is assessed and the problem is given a unified formulation as a nonlinear mathematical programming problem, where ductility constraints — of generalized character — are obtained by using a so-called perturbation method which leads to a-priori upper bounds of the relevant plastic deformation measures. Lower bounds to the load amplifier are so obtained and three different computationals stratagies are herein outlined: the linear parametric programming one is applied to three case-study structures.

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Sommario La memoria affronta lo studio del problema di adattamento elastoplastico di strutture discrete, sottoposte a carichi comunque variabili in modo quasi-statico, tenendo conto di un comportamento a limitata duttilità della struttura, il quale richiede che uno o più parametri della deformazione plastica risultino non superiori di assegnati valori. Del problema di analisi posto, utilizzando il concetto di moltiplicatore dei carichi per l'adattamento con limitata duttilità, viene data una formulazione unitaria come problema di programmazione matematica non lineare, i cui vincoli di duttilità sono ottenuti con tecniche perturbative di maggiorazione a-priori delle deformazioni plastiche. Il metodo conduce a limiti inferiori del moltiplicatore dei carichi dipendenti dal livello assegnato alla deformazione plastica. Tre differenti strategie computazionali vengono delineate per la soluzione del problema, una delle quali di tipo programmazione lineare parametrica viene applicata a tre esempi.

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Ricerca finanziata dal CNR e dal MPI.     

Analysis and design of circular plates using the workhardening adaptation criterion

Summary A unified approach to both analysis (maximum load multiplier) and optimal design problems for workhardening adaptation of axialsimmetric plates is presented, via a continuous approach. The loads are assumed to arbitrarily vary but in a quasi-static manner and remaining inside a given convex loading domain. In such a framework, the assessment of the plastic deformations developed during the actual (a priori unknown) loading history is crucial, since these deformations may result to be excessive with respect to some given ductility criteria, eventhough workhardening adaptation has occured. The bounds on plastic deformations are formulated by means of a quadratic but convex function depending on some fictitious plastic strain. The nonlinear mathematical programming problem so obtained is linearized by a suitable decomposition of the nonlinear constraint into two equivalent constraints. The analysis problem is identified as a linear constrained maximization problem. The optimal design problem in the presence of limited ductility constraints, is identified as a nonlinear constrained minimization problem, the nonlinearity being due to both the objective function and to one only of the constraints: the latter however are herein shown to be suitably linearized. The optimality conditions of the mathematical programming problem are also studied and discussed, and the theory is applied to a case-study structure.

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Sommario Si studiano l'analisi (determinazione del moltiplicatore al collasso) ed il progetto ottimale di piastre radialsimmetriche di materiale rigido-plastico, assumendo come criterio base l'adattamento per incrudimento ed utilizzando un modello continuo. I carichi sono variabili in modo quasistatico all'interno di un dato dominio. In tale studio si riconosce il ruolo cruciale giocato dalla valutazione dell'entità delle deformazioni plastiche, sviluppate durante la (incognita) storia di carico reale, deformazioni che possono risultare eccessive rispetto a certi requisiti, anche in presenza di adattamento. Viene quindi ricercata una maggiorazione a priori delle deformazioni e si perviene ad una forma di tipo non lineare; il vincolo non lineare che ne scaturisce viene sdoppiato in due vincoli più semplici ad esso equivalenti. La formulazione del problema di analisi si identifica in un problema lineare di massimo vincolato. La formulazione del problema di progetto si identifica in un problema di minimo vincolato, con funzione obiettivo e vincoli non lineari, ma facilmente linearizzabili. Si studiano anche le condizioni di ottimalità del problema di progetto. Una applicazione conclude il lavoro.

     

Bilateral bounds for structures under dynamic shakedown conditions

Bounds to functions of the plastic strains produced during the elastic-plastic stage of a dynamic loading process leading to shakedown can be constructed on the basis of the solution of a single, static, holonomic elastic-plastic problem. This bounding procedure is described in detail with respect to the case of periodic external loading, and the generalization to an arbitrary dynamic loading condition is provided. Simple examples illustrate the bounding effectiveness of the proposed technique.

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sommario Si mostra come sia possibile produrre delimitazioni di funzioni delle deformazioni plastiche che avvengono durante la fase iniziale di un processo dinamico che si concluda con l'adattamento in regime elastico (shakedown). Si illustra in dettaglio la procedure di delimitazione con riferimento al caso di carichi esterni periodici, e si fornisce l'estensione concettuale al caso di una condizione di carico generica. Due esempi numerici mostrano l'accuratezza e l'efficienza numerica della tecnica proposta.

     

On the extremal properties of the solution in dynamics of rigid-viscoplastic bodies allowing for large displacement effects

Summary This paper discusses the dynamics of rigid-viscoplastic bodies, bearing in mind large displacement effects. The extremal properties of the incremental solution of the dynamic problem are demonstrated. It is shown that the true instantaneous acceleration field minimizes some quadratic functionals in a class of functions constrained by linear equations and inequalities.It is also shown that, by idealizing the body as an assemblage of finite elements, the above principles reduce the problem to the solution of a classical quadratic programming problem that can be solved by several well-known efficient algorithms. Thus a general purpose finite element program for the dynamic analysis of rigid-viscoplastic structures can be derived by using the concepts shown in this paper.

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Sommario Viene discusso il problema della dinamica delle strutture rigido plastiche nel campo dei grandi spostamenti. Vengono dimostrate le proprietà estremali della soluzione incrementale dimostrando che il campo di accelerazioni minimizza alcuni funzionali quadratici in una classe di funzioni vincolata dal rispetto di opportune condizioni di eguaglianza e disegnaglianza lineare. Discretizzando il corpo col metodo degli elementi finiti, i suddetti principi riportano il problema nel campo della programmazione quadratica e consentono quindi di utilizzare i ben noti ed efficienti algoritmi numerici di soluzione dei detti problemi. Si sottolinea quindi come, avvalendosi dei concetti esposti in questo lavoro, si possa pervenire a programmi di calcolo numerico del tutto generali per la soluzione del problema in questione.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National (Italian) Research Council (C.N.R.).     

Minimum theorems for displacement and plastic strain rate histories in structural elastoplasticity

Summary The finite element method approach is used to obtain formulations of analysis problems relative to elastic-plastic structures when subjected to prescribed programmes of loads, and under the restrictive hypotheses:a) the yielding surfaces are piecewise linearized, andb) the plastic flow-laws are supposed to be of holonomic type within a single “finite” time interval. For mulations are given as linear complementarity problems and quadratic programming problems: one pair of formulations in terms of velocity and plastic multiplier rate histories, and another pair in terms of plastic multiplier rate histories only. The solutions are shown to be characterized by two minimum principles for displacement and plastic strain rate histories. After some general remarks about computational procedures, the paper is concluded with some suggestions for future developments.

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Sommario Si usa il metodo degli elementi finiti per formulare problemi di analisi relativi a strutture elasto-plastiche soggette a prescritti programmi di carico, sotto le ipotesi restrittive:a) le superfici di plasticizzazione sono linearizzate a tratti, eb) la legge del flusso plastico è olonoma all'interno del singolo intervallo di tempo “finito”. Si danno formulazioni come problemi di complementarità lineare e come problemi di programmazione quadratica: due formulazioni sono in termini di storia delle velocità e dei coefficienti di attivazione plastica, altre due sono in termini di storia dei coefficienti di attivazione plastica soltanto. Si dimostra che le soluzioni sono caratterizzate da due principi di minimo per la storia delle velocità di deformazione. Dopo alcune osservazioni generali sui procedimenti di calcolo, il lavoro si conclude con dei suggerimenti per futuri sviluppi.

     

The decrease of volume during loading to finite plastic strain

From the 1870s to the present, basic tenets of most theories of plasticity in ordered solids have included the assumption of incompressibility as an internal constraint, the tacit belief that rigid body rotations become large as the finite strain increases, the historical misinterpretation of the location and stress configuration of Tresca's observations for his domain of constant stress, and the unquestioned foregone conclusion that simple shear is always a permissible form of deformation. The laboratory finding in the 1970s that an internal constraint very different from incompressibility applies at finite strain in ordered solids and, with respect to all of the above, the general theory of finite strain plasticity that followed from this laboratory discovery in the 1980s, have raised questions that are described in the present paper. As illustrative, the definitive experiment of P. W. Bridgman in 1946 on the two-dimensional compression of steel is compared with its restudy in more comprehensive detail during the 1980s.

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Sommario Dal 1870 ad oggi, tra i postulati fondamentali della maggior parte delle teorie della plasticità nei solidi ordinati è stata inclusa l'ipotesi di incompressibilità, considerata come vincolo interno, con la tacita assunzione che le rotazioni rigide del corpo divenissero grandi al crescere della deformazione finita, uno storico errore di interpretazione delle osservazioni di Tresca nel dominio di sforzi costanti, nel presupposto che lo scorrimento semplice sia sempre una forma di deformazione ammissibile. Le scoperte di laboratorio degli anni '70 che un vincolo interno di forma molto diversa dal vincolo di incomprimibilità è valido per i solidi ordinati con deformazioni finite, e, con riferimento a quanto detto sopra, la teoria generale delle deformazioni plastiche finite che derivò da queste scoperte di laboratorio negli anni '80 hanno fatto sorgere i problemi trattati in questo lavoro. Come illustrazione, gli esperimenti definitivi di P.W. Bridgman del 1946 sulla compressione bidimensionale dell' acciaio sono paragonati a quelli del suo riesame più dettagliato del 1980.

     

Optimum plastic design for multiple sets of loads

Summary We study optimum plastic design of structures made up, or conceived as assemblies of finite elements, each having an elemental piece-wise linear rigid-plastic behaviour. Since cost function linearly dependent on design variables are considered, optimization problems in linear programming are encountered. Allowance is made for design dependent mass forces, and for some technological constraints. The design growing process is studied in the case of various sets of alternative applied loads, and the optimality conditions are written in a proper geometrical form which leads to a generalization of the concept of Foulkes mechanism.

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Sommario Si studia il progetto plastico ottimale di strutture formate di elementi finiti, ciascuno avente un comportamento globale rigido-plastico linearizzato a tratti. Si considerano funzioni costo dipendenti linearmente dalle variabili di progetto, e pertanto si va incontro a problemi di ottimizzazione nell'ambito della programmazione lineare. Tenendo conto delle forze di massa e di eventuali vincoli tecnologici, viene analizzato il processo di crescita del progetto nel caso in cui la struttura è sottoposta a diversi sistemi alternativi di carichi, e si scrivono le condizioni di ottimalità in una appropriata forma geometrica, la quale conduce a una generalizzazione del concetto di meccanismo di Foulkes.

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Capital bold-face letters are matrices, small bold-face letters are vectors. 0 is a vector having only zero entries. The tilde posed upon a vector or a matrix means “traspose of”. Other meanings are:     

A unified approach to quasi-static shakedown problems for elastic-plastic solids with piecewise linear yield surface

Summary The paper concerns shakedown analysis of elastic-plastic bodies subjected to quasi-statically varying loads within a given domain. Using a perturbation method, a general inequality is given, from which, by simply specializing the perturbing terms, the generalized Melan theorem as well as bounds on various deformation parameters (such as displacements or plastic strain intensities) are derived. The solution of the «perturbed» shakedown problem in finite or holonimic terms permits the bound to be the most stringent and expressible in «local» terms instead of integral terms. A simple application concludes the paper.

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Sommario La memoria considera problemi di analisi a shakedown (o adattamento) relativamente a solidi elastoplastici sottoposti a carichi quasi-statici i quali variano restando all'interno di un dato dominio. Mediante l'uso di un metodo di perturbazione si fornisce una disuguaglianza generale dalla quale — particolarizzando opportunamente i termini della perturbazione — si deducono il teorema di adattamento di Melan nonché delimitazioni a priori su alcuni parametri della deformazione (come spostamenti o intensità delle deformazioni plastiche). La soluzione del problema perturbato, espressa in termini olonomi, consente di rendere tali delimitazioni stringenti al massimo possibile ed esprimibili in termini locali anziché in termini integrali. Una semplice applicazione conclude il lavoro.

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The results presented in this paper were obtained in the course of a research project sponsored by the National (Italian) Research Council, C.N.R., PAdIS Committee.     

On the formal structure of continuum mechanics Part I: Deformation theory

Summary The purpose of this and of following papers is to give an operator form to the equations of statics of continuous media in the case of small deformations (linear case) and of large deformations (non linear), aiming to obtain a unitary view of many known results in linear and nonlinear mechanics. In this paper an operator version of compatibility equations for large deformations, is given introducing a nonlinear operator that will be shown to be of the potential type. Some new results follow, namely a variational formulation of compatibility conditions extending a similar result obtained by the author in the small deformation theory. This formulation in three-dimensional space is similar to that of Einstein describing the gravitational field in space-time. An operational version of Bianchi's identities and a construction of boundary compatibility conditions are also given.

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Sommario In questa nota e in altre che seguiranno ci si propone di dare una versione operatoriale delle equazioni della statica dei continui deformabili sia a piccole deformazioni (caso lineare) che a deformazioni finite (non lineare), al fine di ottenere una visione unitaria di molti risultati noti nella meccanica lineare e non lineare. In questa nota si dà forma operatoriale alle condizioni di congruenza per deformazioni finite, introducendo un operatore nonlineare che sarà mostrato essere di tipo potenziale. Di qui seguono alcuni risultati nuovi: la formulazione variazionale delle condizioni di compatibilità che estende un risultato precedente dell'autore nella teoria delle piccole deformazioni. Questa formulazione nello spazio geometrico tridimensionale è del tutto identica a quella di Einstein che descrive il campo gravitazionale nello spazio-tempo. Si da altresì interpretazione operazionale alle identità di Bianchi e una costruzione delle condizioni di congruenza al contorno.

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This work has been supported by C.N.R.     

A refined theory for laminated beams: Part II—An iterative variational approach

This paper presents a displacement-based one-dimensional model for the analysis of laminated composite beams, based on the assumption of cross sections rigid in their own planes. The proposed model is mainly focused on the boundary layer analysis. The representation of the axial displacements is given as products between line functions and warping modes of the cross section. Both the sets of unknown functions are determined by means of a variational formulation in order to obtain the ‘best choice’ for the thickness coordinate functions. The minimization of the total potential energy functional is reduced to a sequence of linear problems by means of a gradient technique. Various examples referring to simply supported and cantilever beams, subjected to distributed or concentrated loads, are solved. The results for stress distributions are found to be in excellent agreement with exact plane strain and finite element plane stress solutions even at very low distances from the end sections.

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Sommario In questo lavoro viene presentato un modello monodimens onale agli spostamenti per l'analisi di travi in laminato multistrato fondato sull'ipotesi di sezioni indeformabili nel proprio piano. Il modello è finalizzato principalmente allo studio degli effetti di bordo. Gli spostamenti assiali vengono espressi attraverso prodotti fra funzioni di linea e modi di ingobbamento della sezione. Entrambi gli insiemi di funzioni incognite sono determinati attraverso una formulazione variazionale allo scopo di ottimizzare le forme di ingobbamento della sezione. La minimizzazione del funzionale dell'energia potenziale totale viene ridotta ad una sequenza di problemi lineari mediante una tecnica tipo gradiente operando alternativamente le varizioni rispetto ai due insiemi di funzioni incognite. Negli esempi risolti, gli stati tensionali ottenuti risultano in eccellente accordo con soluzioni esatte (in stato piano di deformazione) e con soluzioni agli elementi finiti (in stato piano di tensione) anche in prossimità delle sezioni estreme libere o vincolate.

     

On the energy method in the non-linear theory of thin plates

Summary The equilibrium configuration of a thin plate under normal pressure is studied. A variational non-linear treatment of the problem is considered, taking into account the bending stresses and allowing large deflections.Existence, uniqueness, and regularity of solutions are obtained.

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Sommario Si studia il problema non lineare della configurazione di equilibrio di una piastra sottile caricata normalmente nel suo piano medio, tenendo conto delle tensioni di natura flessionale e in un regime di spostamenti moderatamente grandi.Con una tecnica variazionale si studiano l'esistenza, l'unicità, e la regolarità delle soluzioni del problema.

     

Weak Forms of Shakedown for Elastic–Plastic Structures Exhibiting Ductile Damage

A special weak-form shakedown is studied for elastic–plastic internal-variable material models with nonlinear hardening, damageable elastic moduli and damageable yield surface, in the hypothesis of ductile damage, (i.e. damage induced by plastic strains), but the precise evolutive law of damage being left unspecified. Sufficient weak-form shakedown theorems are presented, one static and another kinematic, each assessing whether eventually plastic deformations cease together with their consequences, including ductile damage. A two-sided delimitation is provided, within which the weak-form shakedown safety factor can be located. An upper bound to the post-transient damage for a particular isotropic damage model is also proposed. A simple numerical application is presented. Sommario. Si studia una forma speciale debole di adattamento strutturale per materiali elasto-plastici con variabili interne e con incrudimento non lineare, nonché moduli elastici e superficie di plasticità soggetti a danno duttile (cioè indotto dalle deformazioni plastiche) con una non precisata legge evolutiva. Si presentano due teoremi sufficienti per l'adattamento in forma debole, ciascuno essendo capace di predire se la deformazione plastica infine cessa unitamente alle sue conseguenze, compreso il danno duttile. Si definisce una delimitazione bilaterale entro la quale ricade il fattore di sicurezza associato a questa forma debole di adattamento. Si propone altresì una delimitazione superiore per il danno accumulato nella fase transitoria nel caso di un tipo particolare di danno isotropo. Si presenta una semplice applicazione numerica.     

Neural networks for computing in the elastoplastic analysis of structures

A neural network model is proposed and studied for the treatment of elastoplastic analysis problems. These problems are formulated as Q.P.P.s with inequality subsidiary conditions. In order to treat these conditions the Hopfield model is appropriately generalized and a neural model is proposed covering the case of inequalities. Finally, the parameter identification problem is formulated as a supervised learning problem. Numerical applications close the presentation of the theory and the advantages of the neural network approach are illustrated.

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Sommario Si propone un modello di rete neurale con l'obiettivo di usarlo per la trattazione di problemi di analisi elastoplastica, formulati come problemi di programmazione quadratica con disequazioni sussidiarie. Allo scopo di trattare queste condizioni si generalizza il modello di Hopfield e si propone un modello neurale che copre il caso di disequazioni. Inoltre il problema di identificazione parametrica viene formulato come un problema di apprendimento guidato. La presentazione della teoria è seguita da esempi di applicazioni numeriche e dalla illustrazione dei vantaggi dell'uso delle reti neurali.

     

Estimates of the post-shakedown response of hardening structures by means of simplified computations

Summary A simplified procedure, aiming at the estimate of the post-shakedown response of elastic-plastic structures under varying external actions, is proposed in the paper. A single step, holonomic elastic-plastic analysis is performed under fictitious loads obtained by replacing the actual, variable, elastic stress response with its envelope. Such a solution is usually a reasonable estimate of the actual response and permits a comparatively stringent bracketing from below and above of some particular functions of the plastic strains actually developed. Often these functions are closely related to quantities of direct engineering relevance, thus stressing the practical interest of the proposed procedure.

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Sommario Si propone un procedimento semplificato per la valutazione della risposta ad adattamento avvenuto di strutture elasto plastiche soggette ad azioni esterne variabili e ripetute. Il procedimento richiede una singola soluzione olonoma della struttura sotto carichi fittizi, ottenuta sostituendo l'effettiva risposta elastica in termini di sforzi, variabile nel tempo, con il suo inviluppo. Si ottiene in tal modo una stima, spesso ragionevole, della soluzione. Inoltre, su questa base si possono costruire delimitazioni, comparativamente buone, sia inferiori che superiori, su alcune funzioni delle deformazioni plastiche effettivamente sviluppate. Queste funzioni sono spesso correlate ad informazioni ingegneristicamente significative, il che conferisce interesse pratico al procedimento.

     

Boundary integral equations in quasisteady problems of capillary fluid mechanics Part 2: Application of the stress-stream function

In this paper planar viscous flows with a free boundary are further studied using the quasisteady approximation [1]. The introduction of the bianalytical stress-stream function provides an opportunity to adopt the theory of analytical functions. The mode of construction of the Fredholm boundary integral equations is here proposed through the explicit solutions of two Hilbert problems for holomorphic functions with the application of the conformal mappings. The stabiligy of the equilibrium of the annulus liquid layer is investigated by way of example.

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Sommario Si prosegue lo studio di flussi piani viscosi con frontiera libera applicando l'approssimazione quasistazionaria [1]. L'introduzione della funzione stress-stream bianalitica consente l'uso della teoria delle funzioni olomorfe. La costruzione delle equazioni integrali di Fredholm al contorno proposta qui si basa sulla risoluzione esplicita di due problemi di Hilbert per funzioni analitiche mediante applicazione della tecnica delle trasformazioni conformi. Come esempio si studia la stabilità dell'equilibrio di uno strato liquido anulare.

     

A quasi-elastoplastic rate-sensitive model for the yielding behaviour

Summary The authors present a mathematical model describing the typical behaviour of metallic materials at room temperature. The model is composed of parallel-connected elements, each following a highly nonlinear viscoelastic law, close to the elastoplastic limit.The constitutive law is generalized in a differential form suited for electronic processing together with the usual programs for nonlinear structural analysis, based on the displacement method and on step-by-step integration.The characteristic parameters of the material are obtained from an experimental, constant strain-rate, stress-strain diagram and from a simple relaxation test.The model reproduces the experimental curves and shows the strain-rate sensitivity, flow under constant load, relaxation, Bauschinger effect and return delay after unloading. A first confirmation of the model effectiveness is documented by bending tests on copper strips.

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Sommario Viene presentato un modello matematico atto a descrivere il tipico comportamento duttile dei materiali metallici nelle condizoni di temperatura ordinaria.Il modello, di tipo composito, è ottenuto connettendo in parallelo più elementi viscoelastici altamente nonlineari, prossimi al limite di perfetta elasto-plasticità.La legge costitutiva viene generalizzata in veste adatta all'implementazione su elaboratore elettronico con i programmi d'analisi non lineare delle strutture che siano fondati sul metodo delle deformazioni e sull'integrazione passo a passo. I parametri caratterizzanti il materiale si deducono agevolmente dal diagramma sperimentale sforzi-deformazioni ottenuto a velocità di deformazione costante e da una semplice prova di rilassamento.Il modello riproduce le curve sperimentali mettendo in evidenza la sensibilità alla velocità di deformazione, lo scorrimento a carico costante, il rilassamento, l'effetto Bauschinger e il ritardo del ritorno dopo lo scarico.Una prima conferma sperimentale della validità del modello viene documentata da prove di flessione eseguite su piattine di rame.

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A first version of this paper was presented at the 6th National A.I.M.E.T.A. Congress, held at Genoa, October 7–9, 1982.     

On design problems of grid shells

Summary The paper deals with some design problems for grid shells, i.e. spatial structures composed of beam elements whose shape is obtained with inversion of a suspended cable net. The method comes from the conviction that optimal shape of the grid shell is so obtained. The paper points the attention on the fact that the method in object doesn't lead to the optimal shape in case of multiple load conditions. Through an optimization computer procedure, using iterative perturbations of the initial net shape, under constraints of constructive type, the geometry of the cable net that leads to the real minimum weight of the shell structure is finally reached.

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Sommario La nota affronta alcuni problemi di progetto dei gusci grigliati, strutture spaziali discrete la cui geometria è ottenuta tramite l'inversione di una rete di funi sospesa. Questa metodologia deriva dal concetto per cui invertendo la forma di una rete sospesa si ottiene per il guscio grigliato corrispondente la forma ottimale. La nota vuol porre attenzione sul fatto che ciò non viene verificato quando le condizioni di carico che il guscio deve sostenere siano più d'una. Attraverso una procedura di calcolo automatizzata si arriva, con un succedersi di perturbazioni della forma iniziale della rete sospesa, a trovare la geometria che porta all'effettivo minimo di materiale per la struttura del guscio progettato. Questo avviene sotto alcuni vincoli di tipo costruttivo, per esempio lunghezza costante delle aste interne e sezioni trasversali delle aste del guscio scelte entro un «sagomario» prestabilito.

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Research financially supported by a grant of National Research Council of Italy.     

A large displacement formulation for anisotropic beam analysis

Summary The displacement of a beam can be conveniently resolved into a roto-translational section displacement and a section warping. The correct second order approximation of the strain is deduced accounting for large displacements and thus for large rotations. On the basis of displacement method, both linear and nonlinear formulations are given: the first one leads to the elastic section properties and to the correct characterization of section warping; the second one leads to the so-called geometric section stiffness, accounting for prestress. Both formulations are general with respect to elastic material properties, thus allowing to deal with aniso-tropic and unhomogeneous cross-sections. Elastic and geometric section rigidities here proposed can then be easily used in second order problems on beam frames: either initial buckling eigenvalue analyses, either large displacement incremental analyses.

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Sommario E' conveniente scomporre lo spostamento di un punto di una trave in una rototraslazione della sezione cui appartiene e in uno spostamento che deforma la sezione (in-gobbamento). Si deduce la corretta approssimazione al second'ordine della deformazione per grandi spostamenti e quindi grandi rotazioni. Vengono presentate sia la formulazione lineare che quella non lineare, basate sul metodo degli spostamenti: dalla prima si ottengono le caratteristiche elastiche della sezione e la corretta caratterizzazione dell'ingob-bamento; dalla seconda la cosiddetta rigidezza geometrica della sezione che tiene conto dello stato di presforzo. Entrambe le formulazioni sono generali per quanto riguarda le proprietà del materiale elastico, potendosi così considerare anche sezioni anisotrope e non omogenee. Le caratteristiche di rigidezza elastica e geometrica della sezione possono quindi facilmente essere usate in problemi del second'ordine su strutture a travi: sia analisi agli autovalori della stabilità, sia analisi incrementali con grandi spostamenti.

     

General Analytic Solutions and Complementary Variational Principles for Large Deformation Nonsmooth Mechanics

This paper presents a nonlinear dual transformation method and general complementary energy principle for solving large deformation theory of elastoplasticity governed by nonsmooth constitutive laws. It is shown that by using this method and principle, the nonconvex and nonsmooth total potential energy is dual to a smooth complementary energy functional, and fully nonlinear equilibrium equations in finite deformation problems can be converted into certain tensor equations. The algebraic relation between the first and the second Piola–Kirchhoff stresses are revealed. A closed form solution for general three-dimensional large deformation boundary value problems is obtained. The properties of this general solution are clarified by a triality extremum principle. This triality theory reveals an important phenomenon in nonconvex variational problems. Applications are illustrated by nonlinear, nonsmooth equilibrium problems in Hencky's plasticity, 3D cylindrical structures and post buckling analysis of elastoplastic bar with jumping and hardening effects. The idea and methods presented in this paper can be used and generalized to solve many nonlinear boundary value problems in finite deformation theory.Sommario. Il lavoro presenta un metodo di trasformazione duale nonlineare ed un principio generale di energia complementare per la soluzione di problemi di teoria elastoplastica in grandi deformazioni governati da leggi costitutive con discontinuità. Si mostra come, usando il metodo ed il principio proposti, l' energia potenziale totale discontinua e nonconvessa duale di un funzionale energia complementare continuo, e le equazioni di equilibrio nonlineare in problemi di deformazione finita, possano essere convertite in equazioni tensoriali. Vengono mostrate le relazioni algebriche fra il primo ed il secondo tensore delle tensioni di Piola–Kirchhoff. Si ottiene una soluzione in forma chiusa per problemi al contorno generali tridimensionali in grandi deformazioni. Le proprietà di tale soluzione generale vengono chiarite per mezzo di un principio estremale di trialità. La eoria della trialità evidenzia un fenomeno importante in problemi variazionali nonconvessi. Vengono presentate applicazioni a problemi di equilibrio nonlineare con discontinuità in situazioni di plasticità alla Hencky, strutture cilindriche in 3D, e nell'analisi postcritica di una barra elastoplastica con effetti hardening e di jumping. L'idea ed i metodi presentati in questo lavoro possono essere usati e generalizzati per risolvere molti problemi al contorno nonlineari nella teoria delle deformazioni finite.     

On the thermodynamics of viscoelastic continua

Summary The thermodynamic foundations of a theory of permanent deformations are considered: in the axioms, an appropriate definition of free enthalpy plays an essential rôle. Our developments are parallel (but in a certain sense dual) to those which occur in a theory of viscoelastic materials, due to Coleman and Noll.

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Sommario Si propone una trattazione dei fondamenti della teoria delle deformazioni permanenti (plastiche, dovute a scorrimento a caldo, ecc.), legata a certi postulati termomeccanici dove gioca ruolo essenziale una opportuna definizione di entalpia libera. La trattazione ha un carattere in certo senso duale di quella relativa ai continui viscoelastici di Coleman e Noll.