关于抛物线的一个命题的推广

抛物线有一个有趣的命题：过定点M(2p,0)的动直线l与抛物线C：y2=2px(p＞0) 相交于P、Q两点,O为坐标原点,则∠POQ恒为直角.与其等价的命题是：过原点O作抛物线y2=2px(p＞0)的两条互相垂直的弦OP、OQ,则直线PQ恒过定点M(2p,0).文［１］给出此命题的一个推广,本文从另一角度给出此命题的推广.命题1 设M(x0,y0)为抛物线y2=2px上的一个定点,过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP,MQ,则直线PQ恒过定点M′(x0 2p,-y0)证 设PQ的方程为：x=my n(n≥0),代入y2=2px 得 y2-2pmy-2pn=0.由韦达定理得：y1 y2=2pm,y1y2=-2pn(1)其中y1,y2…     

圆锥曲线与定比有关的一个性质

性质1 已知抛物线y^2=2px（P〉0）,过点F（m,0）（m≠0）的直线交抛物线于点M、N,交Y轴于点P（如图1）,     

抛物线一个性质的推广

命题（抛物线的一个性质）：设抛物线y2—2px（P〉0）的焦点为F,过F点的直线交抛物线于A、B两点,BC//x轴。交抛物线的准线l于点C,则直线AC经过原点O．     

抛物线的一个性质与一组探索性问题

大家都知道抛物线的焦点弦有这样一条性质:过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交,设两个交点的纵坐标分别为y1,y2,则y1.y2=-p2.现对这个性质进行推广,得到抛物线的一条新性质:     

探究抛物线中的相交弦问题

抛物线中的相交弦问题经常出现在各地中考试题(或模拟试题)中,突出考查学生的运算能力和推理能力.本文探究抛物线的顶点在坐标原点的情形,得到了与相交弦有关的一系列性质.     

抛物线的一个性质与一组探索性问题

大家都知道抛物线的焦点弦有这样一条性质： 过抛物线y^2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交,设两个交点的纵坐标分别为y1,y2,则y1·y2=-P^2．     

圆锥曲线的又一性质——由抛物线的一个性质想到的

命题 设抛物线y^2=2px（P〉0）的焦点为F,过F点的直线交抛物线于A、B两点,BC／／x轴,交抛物线的准线l于点C,则直线AC经过原点O．     

直线与抛物线相切的一个性质及应用

定理设抛物线的焦点为F,直线l′过F且与直线l平行.过顶点的切线与l′,l分别相交于M′,M.则直线l与抛物线相切的充要条件是FM′→·FM→=0.证明设抛物线方程y2=2px(p>0),焦点Fp2,0.直线l:y=kx+m.直线l′:y=kx-p2.过顶点的切线是x=0.FM′→·FM→=-p2,-pk2·-p2,m=14(p2-2pkm).由y2=2pxy=kx+m消去x,得ky2-2py+2pm=0.Δ=4(p2-2pkm),于是有Δ=16FM′→·FM→.∴FM′→·FM→=0Δ=0直线l与抛物线相切.下面举例说明定理在解题中的应用.例1判定直线l:x-y+1=0与抛物线y2=4x是否相切?解∵F(1,0),直线l:y=x+1,直线l′:y=x-1,过顶点的切线x=0.…     

抛物线的一个黄金分割比

本文介绍抛物线的一个黄金分割比,供读者参考.定理经过抛物线y2=2px(p>0)的准线和对称轴的交点E作斜率为k的直线与抛物线的一个交点是P,F是抛物线的焦点,若∠EPF=90°,则     

抛物线的一个性质及应用

性质已知抛物线y=ax2(a≠0)内有一定点F(0,1/4a),直线l过点M(0,-1/4a)且与x轴平行.当动点P在该抛物线上运动时,点P到直线l的距离PP'等于点P到点F的距离.     

抛物线的一个几何性质

下面的定理 ,给出了抛物线一个有趣的几何性质 .此性质的证法很多 ,本文仅介绍一种较简捷的证法 .引理　设过点 (t,o) (t∈ R)的一条直线与抛物线 y2 =2 px(p >0 )相交于 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )两点 ,则 x1x2 =t2 ,y1y2 =- 2 pt.证明　依题意可设直线方程为 x =my t,代入 y2 =2 px,得 y2 - 2 pmy - 2 pt=0∴　 y1y2 =- 2 pt,x1x2 =y212 p.y222 p=(y1y2 ) 24 p2 =(- 2 pt) 24 p2 =t2定理　设 A是抛物线 y2 =2 px(p >0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,B是 A关于 y轴的对称点 .(1 )若过 A点引直线与这抛物线相交于 P、Q两点 (图 1 ) ,则∠…     

基于初高中衔接研发课例，促进学生深度思考——以中考“抛物线”微专题拓展教学为例

初、高中衔接课程不能只是在知识点上进行补充或拓展,还需要在解题策略、数学思想方法上进行拓展与训练.以“直线和抛物线相交问题”为例,可以体现初、高中衔接教学中的解题策略训练与思想方法的渗透,同时也能有效促进学生学会“深度思考”.     

相似抛物线的一组性质

文[1][2]分别讨论了相似椭圆和双曲线具有的性质,而所有的抛物线都是相似的,那么相似抛物线是否也具有类似的性质呢?笔者经过研究,发现相似抛物线也具有与文[2]中的定理3完全相同的性质.     

抛物线中与斜率有关的性质

在对抛物线的研究中,笔者得到了它涉及斜率的一个有趣性质,介绍如下.定理1给定抛物线E1：x2=2py（p〉0）,A、B是E1上的任意两点,线段AB的中点为M,过M作垂直于x轴的直线交E1于C,P     

一个抛物线问题的研究过程

本文以一次自己亲历的研究为例,暴露数学研究的思维过程,希望对大家开展数学研究有所启发与帮助.1研究的起点——好的特殊问题希尔伯特曾深情地称费马大定理是一只会下金蛋的母鸡,其意是指对一个好的数学问题,我们     

抛物线焦点弦的性质与应用

经过抛物线焦点且被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦.它引人注目,是一个非常重要的几何量,与其相关的问题是高考的一     

抛物线的一个黄金分割比

本文介绍抛物线的一个黄金分割比,供读者参考．     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…