论数学和物理教学的联系(续)

在所引的例题中给代数式中的字母不是一个数值,而是几个数值.这就引导学生惯于把代数式看作它的字母的函数(而不仅是对象的恆等变换).在复习所讲过的教材时,练习题可以这样选择,使它给出来的任意值不是一个字母而是两个或几个字母.扩充练习的题目也是有用的.像在学年终了时,可以向学生提出,     

通过做题学命题

认真地多做练习题 ,是学习数学的一个重要环节 .在学习并掌握好数学理论之后 ,再多做些习题 ,能加深对理论的认识 ,领会解题的技巧 ,这一点 ,大多数学生也许都能认识到 .但是 ,如果还能往前深入一步 :在做习题的同时 ,再思考一下 :这些题目有没有进一步推广的可能性 ?即有没有可能命出一些相关的新题目来 ?这比做已有的习题更具有挑战性 ,因为这是一种创新 ,而创新能带来更大的乐趣 .下面用两个例子来说明我们是怎样进行思考的 .例 1　求证 :不等式 ∫10 (1 - x2 ) ndx≥ 23 n (1 )对 n=1 ,2 ,3 ,…成立 .这个问题来源于 Rudin的著名教程《…     

α~m除以P的余数

先看两个题目:(1)求数7~9~9~9的最后两位数字,(2)今天是星期日,求10~(10)~(10)天后是星期几. 这类题目都是求α~m除以p的余数问题:(1)是求原数除以100的余数,(2)是求原数除以7的余数.这类问题是有一般解法的.     

排列組合应用問題教学中的一点体会

在高中代数中,排列、組合是同学感到較难接受的課題。其主要原因是:(1)排列、組合和前面所学的內容在性貭和方法上都截然不同;(2)比較抽象;(3)答数一般都較大,难于检驗。这里,我提出个人在排列、組合应用問題教学中的一些体会。 (一) 如果对同一題目能給出多种不相同的解法,这不但能丰富同学考虑問題的思路和提高其解題的技能、技巧,而且能激起同学积极思考,取得良好的教学效果。例1.用0到9这10个数字可以組成多少个沒有重复数字的三位数?(課本中的例5) 解題之前,可在黑板上記下符号×△△,用以表示3个位置,根据題意可知数字0不能排在位置×上。解法1.从0以外的9个数字中,每次取出1个排在位置×上有A_9~1种方法,再从剩下的9个数字中每次取出2个排在位置△上有A_9~2种方法,故可組成A_9~1A_9~2个沒有重复数字的三位数。解法2.从这10个数字中每次取出3个排在这3个位置上,有A_10~3种排法,其中数字0排在位置×上,再从剩下的9个数字中每次取出2个排在位置△上的排法有A_9~2种,故可組成A_(10)~3-A_9~3个沒有重复数字的三位数。解法3.从0以外的9个数字中,每次取出3个     

由“n~5-n”所想到的

3~(100)是几位数?它的末位数字是多少?末两位数字又是多少? 对于3~(100)是几位数,通过对数运算易知,它是一个48位数。至于它的末位数字,十位数字是多少,推到更一般n~k(n,k∈N)的个位数字是多少,十位数字又是多少,那就稍微困难一些,本文就来探讨这个问题。为此,我们先来证明: 定理1 n~5-n能被10整除。(n∈N) 证明:∵n~5-n=n(n~4-1)=n(n+1)(n-1)(n~2+1)     

关于“问题变换”教学的探讨

把一个数学问题加以改造、延伸或推广 ,得到一些新的题目 ,称为问题变换 .这些新题目 (变换题 )立意新颖 ,富有生命力 ,对巩固基础知识 ,启迪学生思维 ,提高能力是十分有益的 .问题变换不仅是命题者用来检查学生对知识是否理解和能否举一反三的手段 ,也是教师培养学生能力 ,使学生脱离题海 ,克服贪多求全的一个好方法 .1　“一般化”变换 ,就是把一个具体“数学题目”通过延伸 ,推广到一般形式 .例 1　解不等式ｌｏｇ13(ｘ2 - 3ｘ- 4) >ｌｏｇ13(2ｘ 1 0 )这是《代数》下册第 2 3页例 7,把它“一般化” ,即把数字底数改为字母底数 ,把对数…     

数学问題解答

第9期问題解答(解答由提出人給出) 493.从調和級数 1/1+1/2+1/3+…+1/n+…里划去所有分母中含有数字9的那些項(例如1/9,1/199,…,1/1093等)之后,所組成的部分新級数是收斂到一个不超过80的数。 証.規定部分級数中,分母中各数仅由0,1,2,…,8这9个数字所組成。所以介于和之間所有各数之总数就相当于将9个元素每次取m个的所有可能的重复的选排列数即9~m那么多种可能。这样,包含在10~(m-1)-1与10~(m-1)之間而不含有数字9的非負数为9~m-9~(m-1)个。于是有那个新級数的全体为     

智蕙窗

<正>1趣换数字今年是本刊创立32周年,请将图中"祝本刊创立三十二周年"10个数字换成0⁹这10个数字,使这四层数字都能各自成为一个自然数的平方.(北京市海淀区世纪城三期时雨园11-2-8B(100097)胡怀志)2圆环填数你能把数字1至9分别填入三小一中一大五个圆环中的小圆圈内,使每个大小圆环上的三个数字之和都等于15.     

第四讲 数字谜

数字谜是逻辑推理中常见的一种竞赛题型。它以其独特的趣味性和严密的逻辑性成为一种风靡国内外的智力测试题,它涉及的知识不深主要是整数四则运算规律和严密的推理,而进位规律,尾数规律,整除性的规律往往在解题中起到“突破口”作用。常解这类题能培养观察能力,分析能力和逻辑思维能力。 解答数字谜一般遵循以下思路: (1)分析已知条件、读懂题目、理解题意、善于观察,分析。告诉什么,要求什么,这是解     

第六届美国数学邀请赛(AIME)试题及答案

1.一种能大批供应的锁,每个锁上有10个按钮,为了打开这锁必须按下5个正确的按钮,按的次序无关。如图所示的样品.{1,2,3,6,9}是正确的按钮组合。假定将这种锁重新设计,使得正确的按钮组合中的按钮数可以多到9也可以少到1,这使得增加的组合数是多少? 解:原有5个正确按钮的组合数为C_(10)~5。重新设计的正确按钮的组合数为C_(10)~1+C_(10)~2+C_(10)~3+…+C_(10)~9=2~(10)-2。     

巧解智力竞赛题二则

我们从一些智力竞赛题中不难发现,有些计算题或证明题是不能单从一般的演算,或由一、二个式子的推理就可解决的,而是要根据题目所提供的条件进行逻辑变换,合理分解,从而探索出其解题的技巧,最后求得题目所需要的答案或证明。现举二例如下: 例1 证明111~111+112~112+113~113能被10整除。本题如一个一个地乘方出来再求和来证明,恐怕费尽数小时也难以证出来的。因此,这类题的证明方法关键就是要注意一个“巧”字。请看下面的分析与证明:     

由f(sinx)求f(cosx)不必先求f(x)

笔者曾利用课外时间组织学生练习过一道有趣的题目: 设f(sinx)=cos3x(1)求证f(cosx)==-sin3x。此题抄出约10分钟,当堂几乎没有学生能够证出。经观察发现,原来学生们均企图由(1)式先求出f(x)的表达式,再求f(cosx)一一从而陷入了难以摆脱的困境。于是笔者启发学生:能否不求f(x),而将cosx用与它恒等的sib(π/2-x)代替?这时学生的思路由“山穷     

试论高中数学复习课的选例原则

复习课的目的是巩固和加深对所学知识的理解与记忆 ,弥补过去学习过程中的知识缺漏 ,使学生平时所学的零碎知识系统化、条理化、形成知识结构 ,并且通过复习获取新知 ,提高能力 .笔者认为要提高复习效率 ,精心选编复习课的例题至关重要 .复习课的例题选取应遵循以下七条原则 .一、典型性原则选例的典型性原则 ,即要求所选例题应是最具有代表性、最能说明问题的题目 ,它应能突出教材重点、反映新课程标准中最主要而又最基本的要求 .例 1　如图 1 ,三个相同的正方形相接 ,求证 :α+β=45°.图 1这是一个典型的三角问题 .通过这一最基本题目的…     

一题五解

<正>题目已知a,b为非负数,M=a4+b4,a+b=1,求M的最值.这是2006年清华大学自主招生考试中出现的题目.它有两个特征:(1)题目结构精巧,形式简洁清晰,立意新颖;(2)解题入口宽,能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力.下面笔者从解题方法的角度进行研究、评析.方法1(对称引参)     

浅谈培养学生复数运算的几种技能

培养学生具有正确、迅速的运算能力,是中学数学教学的重要目的之一。运算的合理化技能是正确、迅速运算的保证。下面以全日制十年制学校高中数学课本第三册中的若干练习题为例,谈谈培养学生复数运算的几种解题技能。一关于复数-1/2+3~(1/2)i/2的应用技能课本中把它记作ω =-1/2+3~(1/2)i/2,它的共轭虚数为ω=-1/2-3~(1/2)i/2,这一对共轭虚数的特点有: 1.ω~3=1,ω~3=1,即1的立方根是1,ω、ω; 2.ω·ω=1; 3.ω~2=ω,ω~2=ω; 4.1+ω+ω~2=0,1+ω~2+ω~2=0, 1+ω+ω~2=0,1+ω+ω=0。其应用举例如下: 例1 (课本P88,1(4)题),     

高中数学基础练习(一)

前言 这是近几年来,我区为帮助高三学生进行总复习的一套基础练习题。每周约用半小时给学生作两个练习。目的是配合课本,让学生经常地、较系统地和适当地进行综合练习,以巩固基础知识和提高基本技能、技巧。 从各类学校试用来看,收到一定效果。今     

运用联想证题一例

题目:设x、y∈R。求证(3x~2 3y~2-48x-18y 219)~(1/2) (3x~2 3y~2-12x 30y 87)~(1/2)>9 3~(1/2)。 本题条件单一,结论复杂。如果应用证明不等式的一般方法难以奏效。审察题目的表现形式,看不出有何特点。因此,可将题目的结论进行等价变形。     

奇妙的黄金数

在浩翰的数学大家庭中,有一个倍受宠爱的数字,它就是黄金数5~(1/2)-1/2,近似地为0.618.黄金数具有十分独特的性质,1被1.618除仍近似等于0.618,其它任何数字均无此规律. 黄金数与人们的日常生活有着千丝万缕的联系,     

几何证题教学四法

初二学生要学好几何证明,我认为应该把握十六字方针:“紧扣教材、图文结合、分类归纳、合理运动. ”一、“紧扣教材”要深刻理解教材中概念引入、例题分布以及关于定理的题目设计与结论,体会定理在练习题中的运用环境与范围.几何教材中,知识的安排遵循一条规律:命题→真命题→定理→定理应用(例题分布 )→应用(练习). 同学们只要把握好这个结构链,就会整体把握教材中知识点的安排,对每一个细节在教材中的地位有明确的理解.在学习的过程中,能有意识地建立知识框架,整体把握教材,对每一章每一节在教材中的地位做到心中有谱,就胸有成竹了.…     

数学演算中常見的一种錯誤——痕迹性錯誤

在中学学生的数学作业中,經常出現下面錯誤的等式: lg(a b)=lga lgb。发生这类錯誤的不是个別学生,有时甚至达到全班学生半数以上,并且在练习中会不止一次地以不同的形式重复出現。类似的錯誤还有: (a~(1/2) b~(1/2))~2=a b; (a-b x~(1/2))~2=a~2-b~2x; [c(a-b)~2]~n=c~na~(3n)-c~b~(2n); (x~2 y~2)~(1/2)=x y; 0.4~(1/2)=0.2; (-2~)(1/2)·-3~(1/2)=6~(1/2); lg(a/b)=lga/lgb; 1g 1.46=16.44;(正确答案:1g 1.46=0.1644) 从lgx=0.6351,得出x=1.4316;(正确答案:x=4.316) 从x~2/6=24,得出x~2=4。 x,x 1和x 3是三个連續的奇数(x是正整数); sin(A B)=sin A sin B。教师們详细地探討这类错誤产生的根源,分析它們形成的过程,进一步寻求預防和克服这类錯誤的办法,对学生学习质量的提高有着重大的意义。