配对巧解三角题

不少三角题都是成对出现的,(指函数不同,但形式相同)。而这些成对出现的题目往往有一定的联系,相互依赖,利用三角函数的这一特性,采用“配对”的方法,可获得一些三角形的巧解。下面通过例题(大部分选自高中代数一册,不一一列举)说明配对在解题中的应用。     

巧构图形解三角题

在研究三角变换题目中的条件和结论时,挖掘其代数意义与几何意义,便可借助于图形在代数与几何的交汇点处寻求解题思路．     

巧解三角题一例

例设a,b,θ满足方程组:(选自《全国中学数学竞赛题解》1978科学普及出版社P44天津(复赛)第一题) 该《题解》的处理方法是把前二个等式变换后划去参数sinθ、cosθ、分别代入第三个等式及变形后的第三个等式,得到关于a、b的二元二次方程组。方程中项数少的有4项,多的则达6项,可以设想其计算量的多而且杂。倘若我们把sin0,cos0,a,b互相视为“参数”或用sinθ、cosθ代换(或部分代换)a、b,或求出sinθ,cosθ,或通过巧妙的变换,化二次为一次运算,通过成为简单的计算而得解。下解此题。     

用圆锥曲线巧解三角题

有些三角习题,若抓住已知式结构,挖掘出它的几何背景,巧妙地构造圆锥曲线模型,可以简捷地求得问题的解。 例1 已知α、β为锐角,且     

构造复数巧解一道三角题

题目已知α,β,θ,γ均为锐角,tgα=1/2, ,求α β γ θ的值. 王德发老师在2001年7月(上)期的《中学生数学》中给出了一个几何法的巧解,下面构造复数的解法也很简捷: 解由α,β,γ,θ是锐角,知它们分别是2 i,7 i,8 i,18 i的幅角主值,进而知(α β γ θ)是(2 i)(7 i)(8 i)(18 i)=1625(1 i)的幅角主值.故α β γ θ=π/4.     

构造法巧解三角题两例

例1设。<二<二，求函数y一 呈二凶丛的且a 月 y一汀，求证:SinZa>SinZ月>SinZy· BA 户。 5 InJ 最小值. 解由函数y一 2一COS了 Sln、之了 知y>。. 从而有cos二 ysinx一2. 设u=(Cos二，Sinx)，v~(l，夕)， 由Ju·vl镇]ul·1 vl得 }co、 ysi二}(丫cosZ， Sinzx·了1 犷， 2簇丫l     

巧构一元二次方程解三角求值题两例

有些较复杂的三角求值问题,有时可利用有关解几知识巧妙地构造一个一元二次方程,借助韦达定理来求解。下面列举两例加以说明。     

运用两个比例定理巧解三角题

在求解某些三角函数题时 ,通过揭示题目中的比例关系 ,运用等比定理和合分比定理可得到简捷巧妙的解决 .等比定理是指 :若 b1a1=b2a2 =b3a3=… =bnan =k ,则b1+b2 +b3+… +bna1+a2 +a3+… +an=k(其中a1+a2 +a3+…+an≠ 0 ) .合分比定理是指 :若 ba =dc ,则 a -ba +b=c -dc+d(其中a +b ,c +d≠ 0 )或 a +ba -b=c +dc-d(其中a -b ,c -d≠ 0 ) .下举几例以说明 .例 1　求证 :1) 1+sin2θ -cos2θ1+sin2θ +cos2θ=tanθ ;2 ) 1+secα +tanα1+secα -tanα=secα +tanα .证明　 1)因为tanθ =sinθcosθ=2sinθ·cosθ2cos2 θ =sin2θ1+cos2…     

用“平方法”巧解三角题

平方法是数学解题中一种重要的转化手段,某些三角题,通过平方升次,可以巧妙地利用恒等式sin2θ＋cos2θ=1,优化解题过程,现举几例加以说明.     

巧解2008年江苏数学高考三角题

题目（江苏省2008年高考13题）若AB=2,AC=√2BC,则S△ABC的最大值__．     

巧解三角问题

构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式,它没有固定的模式。在解题中要想用好它,需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力.应用好构造思想解题的关键有二:一是要有明确的方向,即为什么目的而构造;二是弄清条件的本质特点,以便重新进行逻辑组合.常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等,本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题,对构造的各种思维方式作一些探讨.     

一道三角求值题的巧解及变式

给出一道三角求值题的两个简解以及三个变式.     

用导数解初等数学题

对于某些较难的数学题 ,若想到运用导数解决 ,则能居高临下 ,往往能揭示题目之内核 ,且使得解题更容易操作 ,从而获得淡化复杂技巧的功效 .本文拟以数学竞赛题为主 ,就七个方面总结如下 .图 11　求切线的斜率例 1　 (《中等数学》)ＩＭＯ训练题 (6) .二(4) )如图 1 ,已知椭圆ｘ22 ｙ2 =1 ,ＤＡ⊥ＡＢ ,ＣＢ⊥ＡＢ且ＤＡ =3 2 ,ＣＢ= 2 ,动点Ｐ在ＡＢ上移动 ,则△ＰＣＤ的面积的最小值为 .解　易求直线ＣＤ :ｘ ｙ- 2 2 =0 .设切点Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,显见过Ｐ0 点与ＣＤ平行的切线ＥＦ和ＣＤ的距离为最小 .在ｘ轴上方 ,椭圆方程为ｙ= 1 - ｘ2…     

构造图形 巧解三角

<正>解(证)三角题的一般方法是通过三角函数的恒等变形来进行,这是基本的方法,也是很重要的方法,但不是唯一的方法.事实上,有些三角题还可以构造图形,用图形性质来解答,而且方法巧妙,值得一学.现举例说明.例1求tan20°+4sin20°的值.解由式子中角的特点,可构造直角三角形ABC,使∠C=90°,AB=2,BC=1(如图1),则CA=3^(1/2),∠A=30°,∠ABC=60°.作∠CBD=20°,则DB=sec20°,DC=tan20°.     

趣题巧解

有一美国人名叫阿达姆斯的,在十九世纪初用诗歌的形式写了一道数学趣题: 我赴圣地爱弗司, 路迂妇人数有七, 一人七袋手中携, 一袋七猫不差池, 一猫七子紧相随,     

巧解一题

题目（2005年全国理科）（1）设函数f（x）=xlog2x＋（1-x）log2（1-x）（0〈x〈1）,求,（x）的最小值;（2）设正数p1,p2,p3,…,p2^n满足p1＋p2＋p3＋…＋p2^n=1,求证：p1log2p1＋p2log2p2＋p3log2p3＋…＋p2^nlog2p2^n≥-n．     

巧解一题

在文[1]中周老师巧用特殊法解了一道关于三角形重心的问题．作为一道选择题,取特殊三角形确为妙法．笔者在阅览贵刊时,发现该题运用纯向量的常规解法也可化难为易．     

巧解一题

题目海岛A上有一座海拔1km的山,山顶设有一个观察站P,上午11:00,测得一轮船在岛北30°东、俯角为60°的B处,到11:10又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C处.(1)船的航行速度是每小时多少km?