不等式(a+m)/(b+m)>a/b的教学价值

本篇设计生动地说明了 ,一个小小的数学例题 ,在转变了教学理念 ,拓宽了视野后 ,会挖掘出那么多深邃的有价值的教学内涵 .但可能有人要问一句 :教学上需要这样做么 ?值么 ?     

用a b/2≥(ab)~(1/2)证a b c/3≥(abc)~(1/3)

本刊1987年第二期P39上给出了一种用二元均值不等式证明三元均值不等式的巧妙证法。它与教学参考书中给出的证法,就证明的基本思路来说完全类似(都是通过“添项”,使奇数项的和变为偶数项的和,从而使二元均值不等式的应用成为可能),只不过添凑的项不同而已(一个添加三个正数的几何平均数,另一个添加三个正数的算术平均数)。这种采用“添项”思想的证明方法,技巧性较强,学生难以想到。在下面笔者给出的新的证明中,除了注意到恒等     

用 a+b/2≥a~(1/2)证明 a+b+c/3bc~(1/3)

高中代数教材在证明平均值不等式a+b/2≥ab~(1/2)和a+b+c/3≥(abc)~(1/3)时,各自采用了独立的证法。我们为强调基础知识的作用,采用二元平均不等式证明三元平均不等式的方法。设a,b,c∈R~+,求证a~3+b~3+c~3≥3abc.     

(a+b)2=a2+b2现象与直觉模型的缺乏

(a+b) 2 =a2 +b2 现象 ,在历届初中学生中都有表现 ,类似的 ,学生还会写出sin(α+ β) =sinα+sinβ ,lg(a+b) =lga+lgb等 .对此 ,有些老师简单的一句“概念不清” ,然后 ,一味用正确的答案进行强化训练了事 .但是 ,模仿既不能避免这类错误的出现 ,也与“理解数学”的教育理念相去甚远 .应该说 ,这类问题产生的根源 ,在于学生的学和教师的教都只求知其然而不求知其所以然 .现在的问题是 :学生为什么会“概念不清” ?我们在教学中又应采取何种对策 ,才能从根本上解决这类问题 ?本文将以 (a+b) 2 =a2 +b2 为例探讨这些问题 .1　 (a+b) 2 =a2 +…     

a+b/2≥(ab)~(1/2)≥2/(1/a+1/b)的一个几何证明

(a+b)/2≥ab~(1/2)2/(1/a+1/b)(a>0,b>0)是平均数不等式——“算术平均最大,几何平均次之,调合平均最小”的最简单的情形。它有许多证法,在此介绍一个几何证法作圆,其圆心为A,从圆外一点O引切交OG,切点为G,OA的连线交圆于B、C两点,引GH⊥OB,垂足为H(如图) 令 OC=a,OB=b,则 OA=OC+BC/2=OC+(OB-OC)/2 =(OC+OB)/2=(A+B)/2; ∵ OG~2=OC·OB(切割线定理) ∴ OG=(OC·OB)~(1/2)=ab(1/2); 又 OG~2=OH·OA(射影定理) ∴OH=OG~2/OA=ab/((a+b)/2)=2/(1/a+1/b) 显然,在Rt△OGA中,OA>OG,即(a+b)/2>ab~(1/2);在Rt△OHG中,OG>OH,即ab~(1/2)     

arcsin(1-x~2)/(1 x~2) arccos(2x)/(1 x~2) 2arctg(2x)/(1-x~2)的构图

题目设,求的值此题通常是观察联想，应用万能公式作交换的典型题．然而，笔者通过构造直角三角形来求解，则更为简洁，令人叹服．解构造Rt凸ABC，使LC＝90”，AC一2，＊C一I－／，则＊B＝1＋’，如图．arcsin(1-x~2)/(1 x~2) arccos(2x)/(1 x~2) 2arctg(2x)/(1-x~2)的构图@毛晓峰$兰州铁路一中!73000     

158 不等式(a+m/b+m)>(a/b)的教学价值

[主持人按本篇设计生动地说明了,一个小小的数学例题,在转变了教学理念,拓宽了视野后,会挖掘出那么多深邃的有价值的教学内涵.但可能有人要问一句:教学上需要这样做么?值么?     

Quadratic differentials (A(z − a)(z − b)/(z − c)2) dz2 and algebraic Cauchy transform

We discuss the representability almost everywhere (a.e.) in C of an irreducible algebraic function as the Cauchy transform of a signed measure supported on a finite number of compact semi-analytic curves and a finite number of isolated points. This brings us to the study of trajectories of the particular family of quadratic differentials A(z ? a)(z ? b)×(z ? c)^?2 dz². More precisely, we give a necessary and sufficient condition on the complex numbers a and b for these quadratic differentials to have finite critical trajectories. We also discuss all possible configurations of critical graphs.     

关于不等式链√a2+b2/2≥a+b/2≥√ab≥2/1/a+1/b 的函数与几何模型

在新课程高中数学教材(必修5)中,对基本不等式a+b/2≥√ab (a,b>0)的教学,提出了"探索并了解基本不等式的证明过程"的要求.几种版本的教材(如北师大版,苏教版)对这个不等式都给出了形象的几何模型.     

从不等式~(1/2)(a/(a 3b)) ~(1/2)(b/b 3a)≥1谈数学推广

1　从一个“形式推广”的案例说起1 .1　“形式推广”的案例文 [1 ]给出不等式 :例 1　 a,b∈ R ,求证 :　　 aa 3b bb 3a≥ 1 (1 )这个不等式简明深刻 ,其原证法的关键步骤是先证　　　　 aa 3b≥ a3 4a3 4 b3 41同理 bb 3a≥ b3 4a3 4 b3 4.相加即得所求 .文 [2 ]继续给出不等式 :例 2　 a,b>0 ,求证 :　 aa2 3b2 bb2 3a2 ≥ 1 (2 )文 [3]看到了这两个例子的共同结构 ,作出了如下的“指数推广”:例 3　 n∈ N,a,b∈ R ,则　　 anan 3bn bnbn 3an ≥ 1 (3)正如文 [3]的编者按所指出的 ,(3)也可以看成是 (1 )的特例而并不是…     

基本不等式a+b≥2(ab)~(1/2)的构造性证明

构造性方法也是中学数学一种很重要的思想方法,但往往因为需要一定的创造力才能构造出恰当的符合要求的模式而使学生望而生畏.但它对于培养学生的创造力和创新能力是非常有益的.在教学过程中应有意识结合问题进行这方面的引导和训练,在提高学生的创新能力的同时也巩固了以前学过的内容.下面以基本不等式a+b     

浅谈公式x~2 (a b)x ab=(x a)(x b)

浅谈公式ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）遂宁安居镇中学何旭东十字相乘法是因式分解的一种方法，其灵活性大，难度高。现行义务教材用它分解二次项系数为１和二次项系数不为１的二次三项式，但未提及双十字相乘法。现在我们用公式：ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＝...     

例谈形如(a/b)~(1/2)的二次根式的化简

<正>二次根式的化简是初中数学中的重要内容,也是学好实数运算的基础.初中数学中有两类二次根式需要化简,一类是被开放数含有能开得尽方的因数,如8^(1/2),(27)(1/2),(27)^(1/2),(48)(1/2),(48)^(1/2)等;一类是被开方数是分数     

基本不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2的应用

定理如果a,b是正数,那么(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时取=),这个定理适用的范围:a,b∈R~+;我们称(a+b)/2为a,b的算术平均数,称(ab)~(1/2)为a,b的几何平均数,即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均     

关于∑(a/(b c))~(1/2)的上界

设△ ABC的三边长为 a、b、c,则有∑ ab c>2 ,其中 2是最佳的 .本文将讨论 ∑ ab c的最佳上界 .定理　在△ ABC中 ,有∑ ab c<2 33 1 ,( * )且 2 33 1是最佳的 .证明　 ( * )式关于 a、b、c完全对称式不等式 ,故设 c =1 ,a≥ b≥ 1 ,a 相似文献   

(((i~2+b~3)/2))～(1/2)≥(a+b)/2≥(ab)～(1/2)≥2/(1/a+1/b)的一种几何证法

我们知道,((a~2+b~2)/2)~(1/2)、(a+b)/2、(ab)~(1/2)、2/(1/a+1/b)(a>0、b>0)分别为a、b的平方平均数、算术平均数,几何平均数、调和平均数。不等式(a~2+b~2/2)~(1/2)≥(a+b)/2≥(ab)~(1/2)≥2/(1/a+1/b)为平均不等式最简单的情形,这里给出它的一种几何证法。因为a、b是给定的,以a+b为直径作圆如右图,BD=a、DC=b,过D作AD垂直于BC交圆于A,连OA、OB、AC,则OA=OB=OC=BC/2。而且有 1°.四个三角形ABC、ABD、AOD、ADC都是直角三角形,     

公式(a+b/2)~2≤a~2+b~2/2的一个证法及其应用

公式〔蝉、“簇丝兰早兰兰(:)弓}自统编数学课 一’一’、2/一2’一’、·~?一”~,一本第三册尸66.5(3),一般是利用基本不等式a“+吞,》Za西(a、乙〔尺,当且仅当。=乙时取“=,,号)证明的。在此我们为了推广这一不等式而采用另一种证法。 证明:令f(x)=(x一a忿)+(x一的“(a拍〔R),则f(x)对任何实数x恒有厂(x)》0。故方程(x一a)“+(x一b)“二0当a沪b时只能有虚恨当‘=b时则二根相等。因而其判别式△(0. 方程的判别式 △=4(a+b)2一4 02·(aZ一卜西“)(0。即(e+舌)“(2(a:+乙“).(色华、么、21《趁土兰 2(当且仅当a=b时取“=”号)。公式(幻可以…     

∑(a/(b c))~(1/2)<1 2(3~(1/2)/3)的初等证明

本刊文 [1 ]中用导数方法证明了 :在△ ABC中 ,有　　 ∑ ab c<1 2 33 . (1 )本文给出一个初等的证明 .证明　由对称性 ,不妨设 a≥ b≥ c=1 ,易知 a b≥ 2 ,a 相似文献   

非线性灰色微分方程(dx)/(dt)+ax~(■a)=b 的拟合

本文给出了拟合非线性灰色微分方程 dx/dt+ax~(■a)=b 的计算方法,并讨论了它的性质及应用.