包含伺服约束的非完整系统的对称性摄动与绝热不变量

建立包含伺服约束系统的运动微分方程,基于包含伺服约束系统对称性与不变量理论研究包含伺服约束系统的对称性摄动与绝热不变量 问题,提出了包含伺服约束系统的高阶绝热不变量概念,证明了精确不变量与绝热不变量存在的条件及形式,并举例说明结果的应用。     

一般动力学系统的精确不变量和绝热不变量

在增广相空间中研究一般动力学系统的精确不变量与绝热不变量，建立了该空间中力学系统的对称性与不变量之间的关系，提出了一般动力学系统的高阶绝热不变量的概念及其构造方法，揭示了高阶绝热不变量与无穷小对称变换之间的正反关系，讨论了ＶａｎｄｅｒＰｏｌ方程和Ｄｕｆｆｉｎｇ－ＶａｎｄｅｒＰｏｌ方程的一阶绝热不变量与相应的无穷小对称变换．     

非完整系统的Lie对称性与Noether对称性

研究非完整系统的Lie对称性与Noether对称性及其间的关系,具体研究了Chetaev型变量质量非完整系统和非Chetaev型非完整系统的Lie对称性与Noether对称性。给出Lie对称性导致Noether对称性及Noether对称性导致Lie对称性的条件。     

时间尺度上Hamilton系统的Noether理论

提出并研究时间尺度上Hamilton系统的Noether对称性与守恒量问题．建立了时间尺度上Hamilton原理,导出了相应的Hamilton正则方程．基于时间尺度上Hamilton作用量在群的无限小变换下的不变性,建立了时间尺度上Hamilton系统的Noether定理．定理的证明分成两步：第一步,在时间不变的无限小变换群下给出证明;第二步,利用时间重新参数化技术得到了一般无限小变换群下的定理．给出了经典和离散两种情况下Hamilton系统的Noether守恒量．文末举例说明结果的应用．     

分数阶Birkhoff系统Noether对称性的摄动与绝热不变量

20世纪90年代以来,分数阶微积分理论与方法已被广泛地应用到自然科学和社会科学的各个领域,动力学与控制是其中的一个重要应用领域.为了进一步研究分数阶力学系统,本文基于Riemann-Liouville分数阶导数,讨论了分数阶Birkhoff系统Noether对称性的摄动与绝热不变量问题.首先,给出分数阶Birkhoff系统的运动微分方程及精确不变量;其次,给出绝热不变量的定义,并研究分数阶Birkhoff系统的绝热不变量;文末举例说明结果的应用.     

关于Mei对称性与Noether对称性的关系——以Lagrange系统为例

文章以Lagrange系统为例研究Mei对称性与Noether对称性之间的关系.基于无限小生成元向量作用下Lagrange函数的变分问题,建立了其Euler-Lagrange方程,研究了该变分问题的Noether对称性与守恒量.研究表明:该变分问题的Euler-Lagrange方程,Noether等式和Noether守恒量分别与Lagrange系统Mei对称性的判据方程,结构方程和Mei守恒量完全一致.文末以著名的Emden方程为例说明结果的应用.     

时间尺度上Herglotz变分原理及其Noether定理

Herglotz变分原理的作用量是由微分方程定义的,不仅可以描述所有经典变分原理能够描述的动力学过程,还可以对经典变分原理不能适用的非保守系统或耗散系统进行变分描述．时间尺度上微积分理论提供了一种可同时研究离散系统和连续系统的有效方法．本文结合Herglotz变分原理和时间尺度微积分理论来研究时间尺度上的Herglotz变分原理及其Noether定理．首先,给出时间尺度上Lagrange系统的Herglotz变分原理．其次,根据Herglotz变分原理和Dubois-Reymond引理,推导出时间尺度上Lagrange系统的Herglotz变分问题的运动微分方程．再次,基于时间尺度上Hamilton-Herglotz作用量在群的无限小变换下的不变性,给出Noether对称性的定义并导出其Noether等式．最后,建立了时间尺度上Lagrange系统的Herglotz变分问题的Noether定理,给出了连续和离散两种情况下基于Herglotz变分问题的Noether守恒量．文末举例说明结果的应用．     

关于力学系统的对称性与不变量

本文综述了近10年来关于力学系统的对称性和不变量的研究所提出的新概念、新理论,主要包括经典Noether对称性的微分几何描述、高阶Noether对称性、Lie对称性,拟对称性和伴随对称性以及与之相应的不变量,关于非保守系统的高阶Noether对称性和Lie对称性的结果属首次公布。      

Birkhoff系统的一般Lie对称性和非Noether守恒量

研究Birkhoff系统的一般Lie对称性导致的非Noether守恒量。得到非Noether守恒量的存在定理,举例说明结果的应用。     

基于非标准Lagrange函数下非完整系统的广义Chaplygin方程

本文提出并研究基于非标准Lagrange指数函数和非标准Lagrange幂函数下非完整系统的广义Chaplygin方程．给出基于非标准Lagrange函数下非完整系统动力学的微分变分原理,建立相应非标准Lagrange函数下动力学系统受线性非完整约束和非线性非完整约束下的广义Chaplygin方程．并举例说明结果的应用．     

时间尺度上Lagrange系统的Hojman守恒量

利用对称性和守恒律, 可以简化动力学问题甚至求解力学系统的精确解, 更好地理解其动力学行为. 时间尺度分析将连续和离散动力学模型统一并拓展到时间尺度框架, 既避免了重复研究又可揭示两者之区别和联系. 因此, 通过对称性来探寻在时间尺度的框架下新的守恒定律很有必要. 本文首先建立了时间尺度上Lagrange方程, 利用时间尺度微积分性质导出了时间尺度上Lagrange系统的两个重要关系式; 其次, 依据微分方程在单参数Lie变换群下的不变性, 建立了时间尺度上Lie对称性的定义和确定方程; 最后, 建立了时间尺度上Lie对称性定理并利用上述关系式给出了证明, 得到了时间尺度上Lagrange系统的新守恒量. 当时间尺度取为实数集时, 该守恒量退化为著名的Hojman守恒量. 文末考察了一个两自由度时间尺度Lagrange系统, 在3种不同时间尺度情形下得到了该系统的Hojman守恒量, 数值计算结果验证了定理的正确性.      

相空间中非保守系统的Herglotz广义变分原理及其Noether定理

与经典变分原理相比,基于由微分方程定义的作用量的Herglotz广义变分原理给出了非保守动力学系统的一个变分描述,它不仅能够描述所有采用经典变分原理能够描述的动力学过程,而且能够应用于经典变分原理不能适用的非保守或耗散系统.将Herglotz广义变分原理拓展到相空间,研究相空间中非保守力学系统的Herglotz广义变分原理与Noether定理及其逆定理.首先,提出相空间中Herglotz广义变分原理,给出相空间中非保守系统的变分描述,导出相应的Hamilton正则方程;其次,基于非等时变分与等时变分之间的关系,导出相空间中Hamilton-Herglotz作用量变分的两个基本公式;再次,给出Noether对称变换的定义和判据,提出并证明相空间中非保守系统基于Herglotz变分问题的Noether定理及其逆定理,揭示了相空间中力学系统的Noether对称性与守恒量之间的内在联系.在经典条件下,Herglotz广义变分原理退化为经典变分原理,与之相应的相空间中的Noether定理退化为经典Hamilton系统的Noether定理.文末以著名的Emden方程和平方阻尼振子为例说明上述方法和结果的有效性.     

Birkhoff系统的一类积分不变量的构造

分别建立了自由Birkhoff系统和约束Birkhoff系统的非等时变分方程,并且利用系统的Birkhoff方程及其非等时变分方程证明,可由第一积分直接构造该系统基于非等时变分的一类积分不变量。文中,举例说明结果的应用。     

事件空间中Herglotz型非保守Lagrange系统的Noether 定理

研究事件空间中Herglotz型非保守Lagrange系统的Noether定理．首先,将Herglotz广义变分原理推广到事件空间,并基于该原理导出事件空间中Herglotz型Lagrange方程;其次,引入无限小变换,研究HamiltonHerglotz作用量的不变性,建立事件空间中Herglotz型Noether对称性的定义,并给出其判据方程;第三,提出并证明事件空间中Herglotz型Noether定理和Noether逆定理．最后,以Emden方程和黏性阻尼振子为例介绍Herglotz型Noether定理的应用．     

特征值摄动法估计区间系统的最小H∞范数

系统的H∞范数表征其对外界干扰的抑制能力. 根据控制系统最小H∞范数与Hamilton微分系统两点边值问题一阶特征值之间的对应关系，利用微分方程特征值的摄动法估计由区间参数描述的不确定性系统的最小H∞范数.     

Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的准对称性与分数阶Noether定理

应用分数阶模型可以更准确地描述和研究复杂系统的动力学行为和物理过程,同时Birkhoff力学是Hamilton力学的推广,因此研究分数阶Birkhoff系统动力学具有重要意义.分数阶Noether定理揭示了Noether对称变换与分数阶守恒量之间的内在联系,但是当变换拓展为Noether准对称变换时,该定理的推广遇到了很大的困难.本文基于时间重新参数化方法提出并研究Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量.首先,将时间重新参数化方法应用于经典Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量研究,建立了相应的Noether定理;其次,基于分数阶Pfaff作用量分别在时间不变的和一般单参数无限小变换群下的不变性给出分数阶Birkhoff系统的Noether准对称变换的定义和判据,基于Frederico和Torres提出的分数阶守恒量定义,利用时间重新参数化方法建立了分数阶Birkhoff系统的Noether定理,从而揭示了分数阶Birkhoff系统的Noether准对称性与分数阶守恒量之间的内在联系.分数阶Birkhoff系统的Noether对称性定理和经典Birkhoff系统的Noether定理是其特例.最后以分数阶Hojman-Urrutia问题为例说明结果的应用.     

相空间中有二阶线性单面约束的非完整系统的Lie对称性与守恒量

研究相空间中有二阶线性单面约束的非完整系统的Lie对称性与守恒量.首先根据微分方程在无限小变换下的不变性建立Lie对称性所满足的确定方程和限制方程,给出结构方程和守恒量;其次讨论系统的Lie对称性逆问题;最后举一实例说明结果的应用.     

岩体系统渗流场与应力场耦合的广义双重介质模型的应用研究

本文通过实验资料分析, 提出了裂隙岩体应力与渗流之间的分形几何关系式。以研究区岩体系统结构为基础, 提出了岩体系统应力场与渗流场耦合的广义双重介质模型, 并将该模型应用于某水利水电工程的渗流与控制中, 对坝区岩体进行了应力场和渗流场的耦合分析, 取得了比较满意的结果。