三角形五“心”向量形式的充要条件

利用向量的加法、减法和向量的数量积运算 ,解决几何问题显得简捷、明快 ,思路清晰 .本文就利用向量来研究三角形五“心”(外心、重心、垂心、内心、旁心 )向量形式的充要条件 .1　外心图 1　外心结论 1　若Ｏ是△ＡＢＣ所在平面上一点 ,则Ｏ是△ＡＢＣ的外心的充要条件是ＯＡ2 =ＯＢ2 =ＯＣ2 .证　由向量数量积的运算性质可得 ａ2 =| ａ| 2 ,∴　ＯＡ2 =ＯＢ2 =ＯＣ2 |ＯＡ| 2 =|ＯＢ| 2 =|ＯＣ| 2 |ＯＡ| =|ＯＢ| =|ＯＣ| Ｏ是△ＡＢＣ的外心 .2　重心图 2　重心结论 2　若Ｏ是△ＡＢＣ内一点 ,则Ｏ是△ＡＢＣ重心的充要条件是ＯＡ +ＯＢ…     

也谈三角形五“心”向量形式的充要条件

文 [1 ]给出了三角形五“心”向量形式的充要条件 ,文 [2 ]对内心和旁心的结论加以了改进 .本文先给出三角形所在平面上任意一点的向量形式 ,然后由此推得三角形五“心”向量形式的一组充要条件 ,这组充要条件不仅具有简捷、美观的特点 ,而且还有较强的实用性 .命题　 1若O是△ABC形内 (或周界上 )一点 ,则S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 ;2若O是△ABC形外一点且与A位于直线BC的两侧 ,则-S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 .图 1　三角形　　　　　　　图 2　三角形　　证　如图 1 ,以O为原点 ,OA所在直线…     

三角形“四心”的向量性质

三角形的外心、重心、垂心、内心是与三角形性质有密切关系的四个点.为了考查三角形的有关性质,向量与三角形四心的结合在各地考题中屡见不鲜.以下给出三角形四心的常用向量结论,并加以证明.     

三角形的四心在解析几何中的应用

三角形的内心、外心、重心、垂心,在平面几何中有着广泛的应用．如果把三角形的四心与解析几何有关图形的性质有机地结合,可拓宽应用的范围,使很多解析几何问题,获得明快的解决．     

三角形中的一个重要命题及其应用

在平面几何中，以三角形作为对象来研究的问题很多，下面介绍三角形中一个重要的命题，而且利用它可以处理三角形中许多复杂的数学问题．     

三角形“四心”问题的向量解法探析

在平面向量的复习中。很多学生对向量与三角形的“四心”这类问题不知从何人手．究其原因在于学生对三角形的“四心”定义的理解不深刻·对向量条件转化不娴熟，下面就通常出现的几类问题例析如下．     

三角形的“心＂的向量表示及应用

在“平面向量”这一章,用向量知识研究平面图形性质是本章的一个重要方面,这充分体现了向量知识与平面几何知识的联系,例如以向量为视角研究三角形的“各心”,可以得到三角形“各心”的向量表示,由于三角形的“各心”与向量之间有着密切的联系,这就为运用向量法解决这类“心”题提供了可能性,与三角形“各心”有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性,又具有相当深度和难度的重要题型,备受各级各类考试命题者的青睐,频频出现在各级各类考试中,凸现出较好的区分和选拔功能,是考查学生数学能力和素养的极好素材,下面撷取一些例子加以剖析,希望能起到抛砖引玉的效果.     

三角形的四心在解析几何中的应用

三角形的内心、外心、重心、垂心,在平面几何中有着广泛的应用.如果把三角形的四心与解析几何有关图形的性质有机地结合,可拓宽应用的范围,使很多解析几何问题,获得明快的解决.一、内心三角形内切圆的圆心,称为内心,三角形     

复习课“向量共线的充要条件”教学案例

1 困境与初衷 全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（下）第五章“平面向量”第一单元教学完后，按照笔者过去的教法，拟以该单元主干知识为体例，选配若干典型例、习题来组织复习．然而，多年的复习教学经历，已给自己留下了一个铭刻在心的印象：在知识点小结时，学生在等我的归纳、记我的板书，例题讲授时，在等我的“帮助”和所谓的启发．时有这样的情形，就是当我提出一个相关的探索问题后，学生们不是很热情地思考、很主动地站起来发言，而是一脸无奈的表情和怕被抽到、被提问的模样，甚至在不得而已的的窘境下，最后免不了自己问自己答．一句话，就是缺少课堂内学生主动参与、自觉思索的教学氛围，难以激起学生对问题热情探究的兴致!     

从三角形的垂心谈起--向量方法的一个应用

本文将三角形的垂心概念推广到圆内接四边形和圆内接五边形当中去 ,并且同时给出关于垂心的一条重要性质 .本文主要应用向量方法 .首先给出两条简易的引理 ,本文不加证明 .引理 1　设M是线段AB的中点 ,O为任意一点 ,则有OM =12 (OA+ OB) .引理 2　设G是△ABC的重心 ,O为任意一点 (在或不在△ABC所决定的平面上 ) ,则有OG=13(OA+ OB+ OC) .现在从三角形的垂心谈起 .图 1设O是△ABC的外心 ,OP⊥BC ,P是BC的中点 ,AQ是BC边上的高 (图 1 ) .在高AQ所在直线上取一点H ,使AH =2 OP ,则有OH =OA +AH=OA + 2OP=OA+ OB+ OC…     

三角形四心的向量表达式

高中数学新教材中,利用定比分点的向量表达式,可以简捷地推导出三角形的重心、内心、垂心、外心的向量表达式. 如图,在△ABC中,F是AB上的一点,E是Ac上的一点,且AF/FB=m/l.AE/EC-n/l(通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数),连结CF、BE交于点D,求D点的坐标.     

三角形面积公式的向量形式及其应用举例

平面向量作为一种工具,在解题时有着广泛的应用．新课程高考考试大纲对此明确要求：会用向量方法解决某些简单的平面几何问题,会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．本文利用平面向量知识,推导三角形面积公式的向量形式,并举例说明其应用．     

平面向量中的“涉心”问题

本文拟对与三角形的外心、内心、重心及垂心相关的平面向量问题加以归纳，供同学们学习时参考． 1 课本原题     

三角形重心的向量形式及应用

定理 1　点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证　必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角…     

“三角形的心”与平面向量的运算

在“平面向量的运算”习题课上，由问题1入手逐步拓展，在平面向量与三角形的综合中，实现了较灵活地掌握平面向量的有关运算．具体做法如下：     

关于三角形“四心”距离的讨论

三角形的"四心"即重心、垂心、内心和外心.通过查阅近几年中学数学类杂志刊发的有关三角形"四心"的论文资料发现,已有的关于三角形"四心"的研究主要包括"四心"的判定方法、"四心"的向量形式等方面.本文拟在已有研究的基础上,探讨三角形"四心"的距离问题.     

三角形“四心”的向量表示及“奔驰定理”

数学探究活动往往强调的是发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路与方法.本文中从学生熟悉的三角形重心的向量表示入手,推导出三角形内心、外心的向量表示,然后由特殊到一般,猜想并证明“奔驰定理”,最后由一般到特殊,运用奔驰定理推导出三角形垂心的向量表示.     

三角形中常见的“四心”问题

在初中，有关重心、垂心、内心、外心等三角形问题很常见．为此，我们简称为“四心”问题．重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点，内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心．     

三角形重心的另一个向量性质及空间拓广

文[1]利用平面向量的知识探索出如下一个三角形重心性质并向空间拓广：     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出:要加强平面向量在平面几何中的应用.纵观近几年的高考题,我们已经体会到这种命题思想的变化.在平面向量在平面几何中的应用问题中,又以涉及三角形“四心”的试题为热点.由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系,这就为运用向量解决这类“心