1993年亚太地区数学奥林匹克试题及解答

１９９３年亚太地区数学奥林匹克试题及解答１．四边形ＡＢＣＤ的边全相等，∠ＡＢＣ＝６０°直线ｌ过Ｄ且不与四边形相交（除Ｄ点外）．Ｅ、Ｆ分别为ｌ与直线ＡＢ、ＢＣ的交点．Ｍ为ＣＥ与ＡＦ的交点．证明ＣＡ２＝ＣＭ又因为∠ＥＡＣ＝∠ＡＣＦ＝１２０°，故，而ＺＡＣ...     

一类几何命题的统一构图证明

对于一类形如的几何问题证明方法五花八门,本文利用一个常见的构图,给出这一类问题的一个统一证明．１ 基本构图及其结论 命题 如图１,ＡＢ//ＥＦ//ＣＤ,则 略证２ 一组常见问题的统一解决及启示 问题 １ 如图 ２,△ＡＢＣ中,ＢＥ平分ＡＢＣ,ＥＦ//ＢＣ,则． 略证 过Ａ作ＡＤ//ＢＣ与ＢＥ的延长线交于Ｄ,则 ＡＤ=ＡＢ,结论显然成立． 问题２ 如图 ３,ＡＢＣ=１２０°,ＢＤ平分ＡＢＣ,点Ａ、Ｄ、Ｃ在一直线上,则 证明 过Ａ、Ｃ作ＢＤ的平行线与ＣＢ、ＡＢ 的延长线交于Ｅ、Ｆ,由ＡＥ＝ＡＢ,ＣＦ＝ＣＢ,结论成立． 一般的文…     

比的和为定值问题之探究

在初二几何中 ,求比的和为定值问题是一个难点 .许多同学对此知识点理解不透 ,解题时总是无法入手 ,这是由于分析问题能力和解决问题能力存在着不足 .下面就这一知识点是如何分析的 ,怎样解决的 ,简单谈谈 .例 1　如图 ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,∠Ｂ =∠Ｄ =90° ,点Ｍ在对角线ＡＣ上 ,ＭＥ⊥ＡＤ ,ＭＦ⊥ＢＣ .求证 :ＣＦＢＣ+ ＡＥＡＤ=1 .分析　这是求比的和为 1的问题 ,先看线段分布情况然后转化 ,再转化比 .原则是向同一条直线上转化 ,通常利用平行线来转化 .思路过程 :　 ＭＦ⊥ＢＣ ,∠Ｂ =90°　　ＭＥ⊥ＡＤ ,∠Ｄ =90°　　　　　↓…     

94 平行线分线段成比例定理

１　换一个视角,提出了猜想Ｔ：由我们学过的平行线等分线段定理知,如图１,直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３,直线ｌ４、ｌ５分别被ｌ１、ｌ２、ｌ３所截,如果ＡＢ＝ＢＣ,那么ＤＥ＝ＥＦ．换一个视角,对于图１,如果ＡＢＢＣ＝１,那么ＤＥＥＦ＝１;还有如果ＡＣＢＣ＝２,那么ＤＥＥＦ＝２;如果ＡＢＡＣ＝１２,那么ＤＥＤＦ＝１２．由此可以引出什么样的猜想呢？图１　　　　　　　　　图２如图２,直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３,直线ｌ４、ｌ５分别被ｌ１、ｌ２、ｌ３所截,那么有ＡＢＢＣ＝ＤＥＥＦ,ＡＢＡＣ＝ＤＥＤＦ．２　通过一个个图式、比…     

关于一道极值题的若干反思

这是一道看似寻常的最值问题：四面体ＡＢＣＤ中,ＡＤ、ＢＤ、ＣＤ三棱两两垂直,且ＡＤ＝１,ＢＤ＋ＣＤ＝４．求图１Ｓ△ＡＢＣ的最大值与最小值．从解题常规看,入手并不难．如图１所示,在平面ＡＢＣ内,作ＡＥ⊥ＢＣ,垂足为Ｅ,联ＤＥ．则ＤＥ⊥ＢＣ．设ＢＤ＝ｘ,易知　ＤＥ＝ＢＤ·ＣＤＢＣ＝ｘ·（４－ｘ）ｘ２＋（４－ｘ）２＝４ｘ－ｘ２２ｘ２－８ｘ＋１６　ＡＥ＝ＡＤ２＋ＤＥ２＝ｘ４－８ｘ３＋１８ｘ２－８ｘ＋１６２ｘ２－８ｘ＋１６而　Ｓ△ＡＢＣ＝１２ＡＥ·ＢＣ　＝１２ｘ４－８ｘ３＋１８ｘ２－８ｘ＋１６（１）面对这…     

精彩题尝析

在直径为ＡＢ的半圆内,划出一块三角形区域,使三角形的一边为ＡＢ,顶点Ｃ在半圆周上,其它两边分别为６和８,现要建造一个内接于△ＡＢＣ的矩形水池ＤＥＦＮ,其中,ＤＥ在ＡＢ上,如图１９的设计方案是使ＡＣ＝８,ＢＣ＝６．（１）求△ＡＢＣ中ＡＢ边上的高ｈ．（２）设ＤＮ＝ｘ,当ｘ取何值时,水池ＤＥＦＮ的面积最大？（３）实际施工时,发现在ＡＢ上距Ｂ点１．８５的Ｍ处有一棵大树,问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．…     

数学问题解答

20 0 2年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 71　如图 ,凸四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ ,延长ＡＢ、ＤＣ得交点Ｅ ,延长ＢＣ、ＡＤ得交点Ｆ .Ｍ、Ｎ各是ＡＣ、ＢＤ的中点 .且ＡＣ >ＢＤ .求证 :ＭＮＥＦ =12 · ＡＣＢＤ-ＢＤＡＣ(安徽省怀宁江镇中学　黄全福　2 461 42 )证明　先注意下述两个引理 .引理 1　图形与相关条件与题目相同 ,设ＡＣ、ＢＤ相交于Ｐ .求证 :　ＯＰ⊥ＥＦ .证明　设⊙Ｏ半径为Ｒ .在射线ＦＰ上取一点Ｋ ,使得Ｂ、Ｋ、Ｐ、Ｃ四点共圆 .此时∠ＢＫＦ =∠ＢＫＰ =1 80°-∠ＢＣＰ=1 80°-∠ＢＣＡ=1 80° -∠ＢＤ…     

空间四边形的一个定理

定理　在空间四边形中 ,如果它的两组对边分别相等 ,那么连结两对角线中点的直线垂直于两对角线 ;反之 ,如果连结两对角线中点的直线垂直于两对角线 ,那么它的两组对边分别相等 .图 1已知 :空间四边形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ、Ｆ分别是两对角线ＡＣ和ＢＤ的中点 .求证 :(1 )若ＡＢ =ＣＤ ,ＢＣ =ＡＤ ,则ＥＦ⊥ＡＣ ,ＥＦ⊥ＢＤ ;(2 )若ＥＦ⊥ＡＣ ,ＥＦ⊥ＢＤ ,则ＡＢ=ＣＤ ,ＢＣ=ＡＤ .证明　如图 1 ,取ＡＢ的中点Ｐ ,ＢＣ的中点Ｍ ,ＡＤ的中点Ｎ ,连结ＰＥ、ＰＦ、ＰＭ、ＰＮ和ＥＭ、ＥＮ、ＦＭ、ＦＮ ,则ＥＭ =∥ 12 ＡＢ ,　ＦＮ =∥ 12 ＡＢ ,…     

1997年初中数学联赛试题

１９９７年初中数学联赛试题一、填空题１．已知ａ＞ｂ＞０且ａ２＋ｂ２＝６ａｂ，则ａ＋ｂａ－ｂ＝２．Ｄ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上一点，ＣＤ＝１３ＢＣ，Ｅ是ＡＤ的中点，ＢＥ的延长线交于ＡＣ于Ｆ，则ＡＦＡＣ＝。３．有收录机、钢笔和书包三种物品，若购买收录机３台，钢...     

利用课本结论 巧证一道竞赛题

浙教版义务教育初级中学课本《数学》第五册（１９９６年３月第二版）第１５６页有这样一道习题：ＤＢ图一ＦＡＣＥ如图一,ＡＣ⊥ＡＢ,ＢＤ⊥ＡＢ,Ａ、Ｂ为垂足,ＡＤ和ＢＣ相交于点Ｅ,ＥＦ⊥ＡＢ于Ｆ;又ＡＣ＝ｐ,ＢＤ＝ｑ,ＦＥ＝ｒ,ＡＦ＝ｍ,ＦＢ＝ｎ．（１）用ｍ、ｎ表示ｒｐ．（２）用ｍ、ｎ表示ｒｑ．（３）证明：１ｐ＋１ｑ＝１ｒ．利用（１）、（２）过渡,可迅速得到（３）的证明（证略）;值得一提的是条件“ＡＣ、ＥＦ、ＢＤ都垂直于ＡＢ”可弱化为“ＡＣ∥ＤＢ∥ＥＦ”,此时结论仍成立,于是有：ＥＤＢ图二ＦＡ如图二,…     

直四面体中的角公式

读完《异面直线距离的公式求法》［１］一文，感觉可类比求出异面直线所成的角．如图图１１，α⊥β，ＡＢα，ＣＤβ，∠ＡＢＣ＝θ１，∠ＤＣＡ＝θ２．于是在平面β内过Ａ作ＡＥ∥ＤＣ，则∠ＥＡＣ＝θ２．异面直线ＡＢ，ＤＣ所成的角是∠ＢＡＥ．又α⊥β，∴∠Ｂ...     

两道赛题的联系、深化和推广

１两道联赛题 例 １ 给定一圆内接△ＡＢＣ,设 Ａ＇Ｂ＇和Ｃ＇分别是连结Ａ＇Ｃ＇Ａ＇Ｂ＇分别交ＡＢ、ＡＣ于Ｄ、Ｅ．求证：ＤＥ//ＢＣ,且ＤＥ经过△ＡＢＣ的内心． 这是全俄第五届（１９６５年）数学竞赛的一道试题［１］,现给一简明的证法如下． 证明 连结 Ａ＇Ｂ、ＢＣ＇,设Ｆ是ＢＣ与Ａ＇Ｃ＇的交点,如图１．Ａ＇Ｂ＝Ａ＇Ｉ．同理 Ｃ＇Ｂ＝Ｃ＇Ｉ, Ａ＇Ｃ是线段ＢＩ的中垂线． ＢＩ平分 Ｂ, ＢＩ是ＤＦ的垂直平分线, ＤＢＦＩ是菱形, ＤＩ//ＢＦ,即 ＤＩ//ＢＣ． 同理可证 ＩＥ//ＢＣ, 故 ＤＥ//ＢＣ,且ＤＥ过△ＡＢＣ的内…     

60°角思维体操

60°角是图形中的特殊角 ,含 60°角的三角形往往有许多美妙的性质 .怎样利用 60°角的条件呢 ?好 !下面让我们一起来做 60°角思维体操 .一利用 60°角构造直角三角形图 1例 1　如图 1,圆内接四边形ＡＢＣＤ中 ,∠Ａ =60° ,∠Ｂ =90° ,ＡＤ =3 ,ＣＤ =2 .(1)求ＢＣ的长 ;(2 )求四边形ＡＢＣＤ的面积 .(第十四届江苏省竞赛题 )解　延长ＡＢ、ＤＣ交于点Ｅ .∵　∠Ｄ =180° -∠ＡＢＣ =180° -90° =90°,∠Ａ = 60° ,∴　∠Ｅ =3 0°,ＡＥ =2ＡＤ =6,ＤＥ =3 3 .∴　ＥＣ =3 3 -2 .∴　ＢＣ =12 ＥＣ =32 3 -1.(2 )在Ｒｔ△ＢＣＥ中 ,Ｂ…     

数学问题解答

数学问题解答１９９５年３月号问题解答（解答由问题提供人给出）９４１在正六边形ＡＢＣＤＥＦ中，Ｍ；Ｎ为ＤＣ，ＤＥ上的点，且ＭＮ一ＥＭ＋ＥＮ，试求：／ＭＡＮ的大小·解设ＣＭ—ｍ，ＥＮ—ｎ，正六边形边长为１，连ＡＥ、ＡＣ，则ＡＣ—ＡＥ一在．另一方面，在乙Ｄ...     

三角形内的一个不等式及其推广

三角形内的一个不等式及其推广洪凰翔，何琴（湖北武穴师范４３６４００）在三角形内，发现下述一个新不等式：命题１Ｐ在△ＡＢＣ的边ＡＣ上（图ｌ）Ｄ和Ｅ在边ＢＣ上，且ＢＤ＝ＤＥ＝ＥＣ；ＢＡＤ与ＡＥ分别与ＢＰ交于Ｆ、Ｇ，则证明整理得Ｓ２△ＡＢＰ≥９Ｓ２△ＡＦＧ...     

数学问题解答

20 0 2年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 361　如图 ,Ｃ为半圆上一点 ,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ ,ＡＢ为直径 ,Ｇ、Ｈ分别为 △ ＡＣＤ、△ ＢＣＤ的内心 ,过Ｇ、Ｈ作直线交ＡＣ、ＢＣ于Ｅ、Ｆ ,求证 :ＣＥ =ＣＦ .(安徽省肥西中学　刘运谊　 2 31 2 0 0 )证明　连结ＤＧ并延长ＡＣ于Ｍ ,连结ＤＨ并延长ＣＢ于Ｎ ,再连结ＭＮ、ＡＧ、ＢＮ .因为ＣＤ⊥ＡＢ所以∠ＣＤＡ=∠ＣＤＢ =90°而Ｇ、Ｈ分别为 △ＡＣＤ、△ＢＣＤ的内心所以ＤＭ、ＤＮ分别是∠ＣＤＡ =∠ＣＤＢ的平分线所以∠ＭＤＣ =∠ＭＤＡ=∠ＮＤＣ =∠ＮＤＢ= 45°在 △ ＭＡＤ和…     

三角形外心的一个性质

定理 若点 Ｄ在△ＡＢＣ的边 ＡＢ上,且∠ＣＤＢ＝α,Ｍ１、Ｍ２、Ｍ 分别 为 △ＡＤＣ、△ＤＢＣ、△ＡＢＣ的外心则 证明（１）建如图１所示的平面直角坐标系．设Ａ（α,０）,Ｄ（ｄ,０）,Ｂ（ｂ,０）,Ｃ（０,ｃ）,则线段ＡＤ、ＤＢＪＢ的垂直平分线方程分别 易得线段ＡＣ书Ｃ的垂直平分线方程分 ０ＭＩ和ＯＭ;的连心线ＭＩＭＺ垂直平分其公共弦ＣＤ．三角形外心的一个性质@胡斌$山东省惠民师范学校!251700     

φ－满射环上GL_n（R）中元素的三角分解

本文结果是：设Ａ是φ－满射环Ｒ上的非拟纯量可逆ｎ×ｎ矩阵，βｊ，γｊ（尔≤ｊ≤ｎ）是Ｒ中任意元素，它们满足Πｎｊ＝１βｊγｊ＝ｄｅｔＡ，则存在ｎ阶阵Ｂ和Ｃ满足ＰＡＰ－１＝ＢＣ，其中Ｂ是下三角阵，Ｃ是上三角阵，Ｐ∈ＧＬｎ（Ｒ）．进一步，可以取Ｂ使βｊ（１≤ｊ≤ｎ）位于Ｂ的主对角线上，同时可以取Ｃ使γｊ（１≤ｊ≤ｎ）位于Ｃ的主对角线上．     

有关线段成比例问题的两种模型

在平面几何中,合理添加辅助线,构造恰当模型,往往成为顺利解题的关键,而在证明有关线段成比例的定理中,常用的有两个,下面用模型表示：图１１°　若ＤＥ∥ＢＣ,则ＤＡＡＣ＝ＥＡＡＢ,△ＤＡＥ∽△ＣＡＢ．２°　若ＤＥ∥ＢＣ,则ＡＤＡＢ＝ＡＥＡＣ,ＡＤＤＢ＝ＡＥＥＣ,△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ．我们不妨把１°的模型叫Ｘ型,２°的模型叫Ａ型,这两种模型在证明有关线段成比例的问题上,能帮助我们快速、有效地作出辅助线．下面结合一道命题对此作出阐述．命题　过△ＡＢＣ的顶点Ｃ任意作一条直线,与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于Ｆ、Ｅ…     

一道高中数学联赛题的解法探讨

20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1　三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1　 (直接法 )　 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同…