The role of particle interactions in the rheology of dispersed systems

Summary Certain aspects of the rheological behaviour of dispersions cannot be understood unless attractive forces between the particles are assumed, resulting in the building-up of a network structure.A network model is postulated in which the particles are arranged in chains. During deformation these chains are stretched resulting in breakage of bonds between the particles. In this process and especially in what happens after that, an important question is whether the relative motion of a single particle with respect to the surrounding network is noticeable to only a few particles in the immediate vicinity or to a large number of particles over relatively large distances. The necessary information about the changing network structure during a large deformation at constant shear rate was derived from dielectric measurements in the case of water in oil emulsions and from super-imposed oscillatory shear experiments in the case of fat crystal dispersions.It is shown that the rheologieal behaviour of the water in oil emulsions may be characterized by motion of single particles, whereas in the fat-dispersions in oil collective displacements of large numbers of particles (aggregates) have to be taken into account.In the fat dispersions the magnitude of the forces acting in the network chains is explained in terms ofvan der Waals interaction. In the emulsions such forces determine the behaviour only at sufficiently low rates of shear. At higher shear rates the hydrodynamic interaction between single particles has to be taken into account.Among the quantities, which emerge from these network considerations is the characteristic time related with the motions of the particles or agglomerates. Therefore, time effects in dispersed systems are discussed more extensively.

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Zusammenfassung Bestimmte Aspekte des rheologischen Verhaltens von Dispersionen lassen sich nur unter der Voraussetzung von Anziehungskräften zwischen den Teilchen, die zur Bildung einer Netzwerkstruktur führen, erklären.Es wird ein Netzwerkmodell postuliert, in welchem die Teilchen kettenförmig angeordnet sind. Während der Deformation werden diese Ketten gedehnt, was zum Bruch der Bindungen zwischen den Teilchen führt. In bezug auf diesen Vorgang und besonders auf das, was nachher geschieht, erhebt sich die wichtige Frage, ob die relative Bewegung eines einzelnen Teilchens sich hinsichtlich des umgebenden Netzwerks nur auf einige benachbarte Teilchen auswirkt oder sich auf eine größere Anzahl weiter entfernter Teilchen erstreckt. Die benötigte Information über die Änderungen der Netzwerkstruktur während größerer Deformationen bei konstanter Schergeschwindigkeit wurde an Hand von dielektrischen Messungen für Wasser-in-Öl-Emulsionen und im Falle von Fettkristalldispersionen mit Hilfe von Versuchen mit überlagerter oszillierender Scherung ermittelt. Es zeigt sich, daß das rheologische Verhalten von Wasser-in-Öl-Emulsionen sich durch die Bewegung einzelner Teilchen charakterisieren läßt, während bei Dispersionen in Öl kollektive Bewegungen einer größeren Zahl von Teilchen (Aggregaten) berücksichtigt werden müssen. In den Fettdispersionen wird die Größe der in den Ketten des Netzwerkes ausgeübten Kräfte durchvan derWaalssche Wechselwirkungen erklärt. In den Emulsionen bestimmen derartige Kräfte das Verhalten nur bei genügend niedrigen Schergeschwindigkeiten. Bei höheren Schergeschwindigkeiten ist mit einer hydrodynamischen Wechselwirkung zwischen den einzelnen Teilchen zu rechnen.Unter den Größen, die sich aus diesen Betrachtungen der Netzwerkstruktur ableiten lassen, ist die mit den Bewegungen der Teilchen oder Agglomerate verbundene charakteristische Zeit. Aus diesem Grunde werden die Zeiteffekte in dispersen Systemen ausführlich besprochen.

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Eine Untersuchung der rheologisch bedingten Vorgänge in Kunststoff-Schneckenpressen

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wurde der Versuch unternommen, eine einheitliche Theorie aller Strömungsvorgänge im Extruder zu entwickeln, wobei von einer strukturviskosen bzw. pseudoplastischen Schmelze ausgegangen und daher die rheologischen Zustandsgleichungen vonRabinowitsch undOstwald-de Waele der Analyse der aus einer Schlepp- und einer Druckströmung überlagerten Strömungsform zugrunde gelegt wurden. Die Ergebnisse der Analyse wurden in zwei dimensionslosen Diagrammen zusammengefaßt. Die weitere Untersuchung ergab, daß nicht nur die Strömung in Richtung des Schneckenkanals, sondern auch die Leck- und die Querströmung mit den dimensionslosen Diagrammen erfaßt werden können. Als Anwendungsbeispiele der genannten Diagramme wurde der Druckgradientenverlauf, der Druckverlauf sowie die Schneckenkennlinie für eine beliebig variierbare Schneckenabmessung und einen beliebig gewählten Temperaturverlauf berechnet und mit den Versuchsergebnissen verglichen. Es wurde eine befriedigende Übereinstimmung gefunden.Es ist mir eine angenehme Pflicht, Herrn Prof. Dr.Mori für seinen wertvollen Rat bei der Durchführung dieser Untersuchungen meinen verbindlichen Dank auszusprechen.     

Allgemeine Lösung der Knickungsaufgabe für rechteckige Platten

Zusammenfassung Zur bequemen Übersicht über die Größen der Knicklasten für die auf allen vier Seiten gleichmäßig gedrückte quadratische Platte mit verschiedenen Randbedingungen sind in der folgenden Tabelle die im vorigen Abschnitte vom Verfasser sowie früher von anderen berechneten numerischen Ergebnisse zusammengestellt.Die Werte in Klammern sind die den Fällen III, V und VI entsprechenden ersten Annäherungswerte von P₀, welche durch die Lösung der nur aus dem ersten Element der Determinante bestehenden Gleichung, d. h. aus I – K₁₁ =0 ermittelt werden. Es ist bemerkenswert, daß sie nur um die praktisch zu vernachlässigenden Fehler von ungefähr 0,3% bis 2,8% kleiner sind als die entsprechenden genauen Werte. Natürlich kann man noch nicht sagen, ob das im allgemeinen auch für die Platten mit ungleichen Seitenlängen zutrifft oder nicht. Der Verfasser hofft, die diesbezüglichen weiteren Rechnungen in kurzem fertigstellen zu können.     

Strömungen mit konstantem Geschwindigkeitsgradienten und die Bewegung von darin suspendierten Teilchen

Zusammenfassung Im Rahmen einer statistischen Rheologie der Suspensionen, Emulsionen und Lösungen ist es von Bedeutung, einen Überblick über die Gesamtmenge der Strömungen mit konstantem Geschwindigkeitsgradienten zu gewinnen. Deshalb werden die Lösungen der Differentialgleichung solcher Strömungen angegeben und diskutiert, insbesondere bezüglich des Einflusses des Deformations- und des Rotationsanteils des Geschwindigkeitsgradienten. Im Anschluß daran wird die Bewegung von starren Teilchen in diesen Strömungen analysiert. Sowohl die Strömungsformen selbst als auch die Bewegungsformen der suspendierten Teilchen lassen sich in zwei große Klassen einteilen: Bei überwiegendem Deformationseinfluß haben wir hyperbolisch-parabolische Strömungen sowie eine Einstellung der Teilchen in feste Richtungen, bei überwiegendem Rotationseinfluß dagegen elliptisch-spiralige Strömungen sowie eine ungleichmäßige Umlaufbewegung der Teilchen. Der Umschlag von der einen Bewegungsart in die andere ist hier indessen nicht nur von der Strömungsform, sondern ebenso von der Gestalt der Teilchen abhängig; der Deformationsanteil kommt um so stärker zur Geltung, je größer die Formanisotropie der Teilchen ist.     

Die 84-Minuten-Abstimmung beim Kreisel- und beim Raumkompaß

Zusammenfassung Bekanntlich muß bei allen Kreiselkompaßtypen zur Vermeidung von Beschleunigungseinflüssen auf die Kompaßanzeige bei Fahrt- und Kursänderungen die Meridianschwingungsdauer des Kreiselsystems auf 84 Minuten abgestimmt werden. Die diesbezügliche Bedingungsgleichung wird in Strenge für den schnellen Kreisel abgeleitet. Der Kreiseldrehimpuls ist danach durch das Schwererichtmoment vorgeschrieben, aber auch noch durch die geographische Breite, die Fahrtgeschwindigkeit und den Kurs. Wenn es gelingt, die Bedingungsgleichung exakt zu erfüllen, gelangt man zum sogenannten Raumkompaß, welcher nicht nur unter Beachtung des Fahrtfehlers die Nordrichtung, sondern auch den wahren Horizont bei beliebigen Fahrtbewegungen des Fahrzeuges auf der Erdoberfläche exakt anzeigt. Die Diskussion der Bedingungsgleichung führt über den bekannten Raumkompaß von Anschütz hinaus zu weiteren Verfahren, den Raumkonipaß zu verwirklichen. Es wird darauf hingewiesen, daß bei den handelsüblichen Kreiselkompassen die Fahrtgeschwindigkeitsabhängigkeit in der Bedingungsgleichung stets vernachlässigt wird und die Abhängigkeit von der geographischen Breite meistens nur für eine Breite erfüllt ist, und daß infolgedessen mit kleineren Fehlern für Azimut und Horizontlage bei den Fahrzeugmanövern zu rechnen ist. Schließlich wird darauf hingewiesen, daß mit der. Schaffung des Raumkompasses auch die Aufgabe der Inertial-Navigation, die Messung der Fahrt über Grund, im Prinzip zu lösen ist.     

Zur Theorie der Plattenbeulung im plastischen Materialbereich

Zusammenfassung und Ausblick Die vorliegende Arbeit bringt eine Erweiterung der Theorie der Plattenbeulung für den plastischen Materialbereich, die von den einfachsten, in sich widerspruchfreien Spannungs-Deformationsgesetzen der mathematischen Plastizitätstheorie — den differentiellen Prandtl-Reu-Gesetzen — ausgeht. Mit dieser erweiterten Theorie wird es möglich, einer durch den Walzvorgang erzeugten, also von vornherein im Plattenmaterial vorhandenen Anisotropie auch im plastischen Bereich Rechnung zu tragen. Als Instabilitätskriterium wurde dabei die Shanleysche Hypothese zugrundegelegt. Angewendet wurde die Theorie auf die Berechnung der Beulspannungen dünner Rechteckplatten, die einen homogenen Normalspannungszustand an deren Rändern ausgesetzt sind. Damit sollte vor allem zur Beantwortung der bisher noch nicht endgültig geklärten Frage beigetragen werden, woher die beträchtlichen Abweichungen der mit den differentiellen Gesetzen errechneten Beulspannungen von den in Versuchen gemessenen stammen. Zu diesem Zweck wurden die Kollbrunnerschen Beulversuche mit Platten aus der Aluminiumlegierung Avional M-hart nach der erweiterten Theorie nachgerechnet, wobei die für dieses Material nicht bekannten Anisotropiekonstanten aus Versuchen abgeschätzt wurden, die Stüssi an Rohren aus einer ähnlichen Alummiumlegierung (Avional M-weich) vorgenommen hatte. Obwohl die Ergebnisse einer Rechnung, die auf derart abgeschätzten Anisotropiekonstanten basiert, natürlich unsicher sein müssen und daher auch nicht mitgeteilt werden konnten, soll erwähnt werden, daß die Anisotropie im Mittel eine Verringerung der Beulspannung um etwa 20% bewirkte: Die mit Berücksichtigung der Anisotropie errechneten Beulspannungen und Halbwellenzahlen stimmen daher mit den von Kollbrunner gemessenen wesentlich besser überein als die für isotropes Material berechneten. Die endgültige Entscheidung über die Frage, ob es genügt, die Diskrepanz zwischen Theorie und Versuch allein auf den Einfluß der Walzanisotropie zurückzuführen, oder ob es womöglich noch nötig sein wird, von einem komplizierteren, differentiellen Spannungs-Deformationsgesetz (z. B. nach Prager) auszugehen bzw. darüberhinaus den Einfluß einer geringen Abweichung der Plattenmittelfläche im unbelasteten Zustand von der Ebene zu berücksichtigen, muß allerdings weiteren experimentellen Untersuchungen vorbehalten bleiben, die erst nach genauer Bestimmung der Anisotropiekonstanten einen einwandfreien Vergleich zwischen Theorie und Versuch ermöglichen werden. Hierüber soll später noch berichtet werden.     

Ein Beitrag zur Stabilitätstheorie der Wirbelstraßen unter Berücksichtigung endlicher und zeitlich wachsender Wirbelkerndurchmesser

Zusammenfassung Nach dem Bericht über die bekannten Arbeiten über die Stabilitäts-theorie der Wirbelstraßen wird die Vermutung ausgesprochen und begründet, daß der in den bisherigen Theorien nicht berücksichtigte endliche Wirbelkerndurchmesser und seine zeitliche Veränderung einen neuen Einblick in das Stabilitätsproblem der Wirbelstraßen verspricht.Es werden für die einreihige Wirbelstraße Bewegungsgleichungen aufgestellt, linearisiert und durch eine unendliche Reihe gelöst. Die Stabilitätsdiskussion zeigt die Instabilität der einreihigen Wirbelstraße in Übereinstimmung mit der experimentellen Erfahrung.Im Anschluß hieran werden die Bewegungsgleichungen für die beiden Typen der zweireihigen Wirbelstraße angegeben, linearisiert und für den Fall, daß nur ein Wirbel gestört wird, gelöst. Die Diskussion der Lösungen ergibt, daß für die Wirbelstraße mit auf Lücke stehenden Wirbeln für endliche Zeiten ein Stabilitätsgebiet existiert. Es werden spezielle stabile Lösungen angegeben. Für verschwindende Zähigkeit schrumpft das Stabilitätsgebiet auf eine Gerade zusammen, die die alte Stabilitätsbedingung nach Th. v. Kármán darstellt.Die Diskussion der Wirbelstraße mit gegenüberstehenden Wirbeln zeigt das überraschende Ergebnis, daß neben der Instabilität dieser Anordnung für kleine Zeiten bzw. für große Werte des Parameters k=h/l auch ein Stabilitätsbereich existiert, der jedoch nur durch Instabilitätsgebiete hindurch erreicht werden kann.Zum Schluß werden einige Bemerkungen über die Gültigkeit der Theorie und über die Möglichkeiten der experimentellen Verifizierung gemacht.Gekürzte Fassung einer von der Fakultät für Maschinenwesen an der Technischen Universität Berlin-Charlottenburg genehmigten Dissertation (Berichter: Prof. Dr.-Ing. R. Wille, Prof. Dr. phil. E. Mohr).     

Über Effekte zweiter Ordnung bei Biegung und Torsion dünnwandiger Rohre elliptischen Querschnitts

Zusammenfassung Mittels einfacher Gleichgewichtsbetrachtungen wird gezeigt, daÜ bei der Biegung eines dünnwandigen Rohres von elliptischem Querschnitt neben den Längsspannungen der elementaren Biegungstheorie auch Biegungsspannungen auftreten, deren EinfluÜ bei geringer Wandstärke im Vergleich zu den Ellipsenachsen nicht zu vernachlässigen ist, vor allem wegen der Verformung des Querschnitts, den sie zur Folge haben. Diese Abplattung der Ellipse wird mit Hilfe des Castiglianoschen Satzes berechnet. Bei den zusätzlichen Biegungsspannungen und der zugeordneten Deformation handelt es sich um Effekte zweiter Ordnung, die eine Verminderung der Sicherheit gegen Einbeulen der Rohre verursachen. Entsprechende Betrachtungen werden für die Torsion angestellt, wobei gleichartige Ergebnisse erzielt werden. Die Aussage über die Herabsetzung der Instabilitätsgrenze ist nur qualitativer Art. Es wird eine einfache Anwendung auf das Bourdonsche Manometer gebracht und dabei die Erklärung der Tatsache gegeben, daÜ eine Röhrenfeder in den Endpunkten der groÜen Achse ihres Querschnittes zuerst aufreiÜt.Der Verfasser dankt Herrn Prof.L. Föppl für die Anregung dieser Arbeit, sowie für die überlassung der Gleichungen (25), (27), (36) aus unveröffentlichten Arbeiten.     

Integralgleichungen gerader Kippträger mit dünnwandigen,offenen und quasi-wölbfreien Profilen

Zusammenfassung Für den geraden Träger mit einfach-symmetrischem, offenem und quasiwölbfreiem Profil (der Wölbwiderstand ist Null) unter der Wirkung von linear und quadratisch verlaufendem Biegemoment werden die Kipp-Integralgleichungen für verschiedene Randbedingungen mitgeteilt. Für diese Integralgleichungen bestehen Programme, mit denen Kippwerte für bestimmte Parameter (Festwerte des Querschnittes und des Lastangriffes) mit Hilfe des elektronischen Rechenautomaten IBM 650 berechnet werden. Die numerischen Ergebnisse sind in Form von Kurven und Tabellen zusammengestellt. Es gelingt nicht, die Integralgleichungen des einfach-symmetrischen I-Profiles mit bekannten Funktionen darzustellen. Für solche Profile wird ein zeichnerisches Näherungsverfahren vorgeschlagen. Dessen Genauigkeit hängt von den näherungsweise numerisch ermittelten drei Stützwerten und von der individuellen Annahme des mutmaßlichen Kippwertverlaufes dazwischen ab.Mein Dank gilt den Herren Professoren Dr.-Ing. K. Marguerre und Dr. A. Walther für die freundliche Förderung und der Deutschen Forschungsgemeinschaft für die finanzielle Unterstützung dieser Arbeit.     

Isotropic composites with elastic or viscoelastic phases: General bounds for the moduli and solutions for special geometries

Summary General bounds on the moduli of isotropic composites of two isotropic and purely elastic phases have been obtained byHill, Hashin andShtriknan, andWalpole. It may be shown that, in most cases of importance, these are best possible bounds for arbitrary phase geometry. Bounds can also be found for the real and imaginary parts of the complex moduli of composites with viscoelastic phases. In all cases, however, the bounds are wide when the moduli of the phases are very different, so phase geometry must be taken into account in order to obtain results of practical value. Calculations of rigidity are therefore made for incompressible composites in which one phase forms spherical inclusions in the other. An exact formula is obtained for a case in which the size distribution of these inclusions is very wide, and approximate formulae for two cases of inclusions of uniform size (nearest-neighbour distance being a maximum in the one and a minimum in the other). These have been applied in a study of the frequency variation of the real part of the rigidity and the loss tangent of a composite of equal volumes of two viscoelastic phases, each having sharp loss-tangent peaks at different frequencies. The effect of variations in the spatial distribution and size distribution of the inclusions can be inferred from the results, as well as the effect of phase inversion.

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Zusammenfassung Allgemeine Schranken für die Moduln isotroper Stoffsysteme, bestehend aus zwei isotropen, rein elastischen Phasen, wurden vonHill, Hashin undShtrikman, sowieWalpole angegeben. Es kann gezeigt werden, daß in den meisten wichtigen Fällen diese die besten möglichen Schranken darstellen, die für eine willkürliche Phasengeometrie erhalten werden können. Ebenfalls können Schranken für Real- und Imaginärteil der komplexen Moduln von zusammengesetzten viskoelastischen Phasen gewonnen werden. Indessen liegen diese Schranken weit auseinander, wenn die beiden Phasen sehr verschiedene Moduln haben. Daher muß in solchen Fällen die Phasengeometrie in die Betrachtung einbezogen werden, wenn man Ergebnisse von praktischer Bedeutung erhalten will. Es wird hier die Berechnung der Steifigkeit für inkompressible zusammengesetzte Stoffe durchgeführt, bei denen die eine Phase in Form von kugelförmigen Inklusionen in der andern vorliegt. Exakte Formeln werden für den Fall erhalten, daß die Größenverteilung der Inklusionen sehr weit ist, sowie Näherungsformeln für zwei Fälle von Inklusionen mit gleicher Größe — wobei der kleinste Abstand zwischen zwei Teilchen im ersten Fall maximal, im zweiten dagegen minimal gewählt wird. Diese Ergebnisse werden zur Untersuchung der Frequenzvariation des Realteils der Steifigkeit und der Dämpfung verwendet für eine Zusammensetzung gleicher Volumenanteile zweier viskoelastischer Phasen, die bei verschiedenen Frequenzen jeweils scharfe Dämpfungsmaxima besitzen. Die Auswirkung der Variation sowohl der räumlichen als auch der Größenverteilung der Inklusionen ebenso wie diejenige einer Phasenumkehr kann aus den Ergebnissen abgeleitet werden.

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With 4 figures     

Die Spannungsverhältnisse im Bereich B der Verfestigungskurve von Kadmiumeinkristallen

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befaßt sich mit der Orientierungsabhängigkeit der Einsatzspannung für den Bereich B der Verfestigungskurven von Zn- und Cd-Einkristallen. Es kann gezeigt werden, daß unter der Voraussetzung, daß die wirksame Spannung als die Summe der angelegten und der inneren Spannung (herrührend von Versetzungsstauungen) aufzufassen ist, Spannungswerte erreicht werden, die eine Aktivierung des Pyramidengleitsystems 2. Art ermöglichen. Versetzungen dieses Systems zusammen mit denen des Basisgleitsystems können unter Energiegewinn reagieren und Versetzungshindernisse bilden, die für die Orientierungsabhängigkeit der Verfestigung verantwortlich gemacht werden können.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin-Dahlem vom 7.–10. Juni 1966.Die Autoren möchten ihren Dank zum Ausdruck bringen für die freundliche Bereitschaft, mit der die Herren Dr.Täubert und Dr.Lehmann vom III. Physikalischen Institut der Humboldt-Universität in Berlin die Meßeinrichtungen für diese Arbeit zur Verfügung gestellt haben.     

Grundsätzliche Untersuchungen über die bei den Drehschwingungen von Kurbelwellen maßgebende Drehsteifigkeit

Zusammenfassung Nach einem Überblick über die bisherigen Arbeiten zur Klärung der bei den Drehschwingungen von Kurbelwellen maßgebenden Drehsteifigkeit wurde auf rechnerischem Wege nachgewiesen, daß zwischen den Drehsteifigkeitswerten nach Torsion erster Art und nach Torsion zweiter Art tatsächlich ein sehr enger innerer Zusammenhang besteht. Dieser Zusammenhang ist von weittragender Bedeutung, denn er gestattet, ohne weitere Rechnungen bereits sehr wichtige Schlüsse über den Einfluß der Torsionen auf das Schwingungsverhalten der Kurbelwelle zu ziehen.Durch die anschließenden allgemeinen Rechnungen über die nach den verschiedenen Torsionen ermittelten Eigenschwingungszahlen wurden die Eigenschwingungszahlen sowohl nach Torsion zweiter Art mit Nebentorsion als auch nach Torsion erster Art mit Hilfe der Störungsrechnung auf ein und derselben Bezugsschwingungszahl aufgebaut, so daß ein allgemeiner Vergleich der Ergebnisse möglich ist. Die nach den verschiedenen Torsionen ermittelten Eigenschwingungszahlen wurden schließlich noch für einige durchgerechnete Beispiele auch zahlenmäßig miteinander verglichen.Durch diese Überlegungen wurde die Frage, ob bei Kurbelwellen die nach der Torsion erster Art gewonnenen Drehsteifigkeiten der Drehschwingungsrechnung zugrunde gelegt werden dürfen, endgültig geklärt.Die Untersuchungen haben ergeben, 1. daß die Torsion zweiter Art unter Berücksichtigung der Nebentorsionen bei allen Schwingungsgraden grundsätzlich richtige Werte für die Eigenschwingungszahlen liefert, 2. daß die Schwingungsrechnung auf Grund der Torsion erster Art wenigstens für die tiefsten Schwingungsgrade (aber i. allg. nur für diese) ausreichend genaue Eigenschwingungszahlen liefert, so daß für die tiefen Schwingungsgrade das einfache bisherige Versuchsverfahren sowie die ebenfalls einfache bisherige Schwingungsrechnung beibehalten werden können. Die Güte der Näherung der Rechnung nach Torsion erster Art kann zur Sicherheit nachträglich immer an Hand der Schwingungsform beurteilt werden: die Näherung ist immer dann sehr gut, wenn innerhalb des homogenen Motorteils keine grobe Richtungsänderung in der Schwingungsform (im Sinne der Festlegung von Ziff.4) vorkommt. Mit zunehmendem Schwingungsgrad nimmt der Fehler der Rechnung nach Torsion erster Art mehr und mehr zu.Diese Untersuchungen wurden mit Unterstützung des Reichsluftfahrtministeriums im Forschungsinstitut für Kraftfahrwesen und Fahrzeugmotoren an der Technischen Hochschule Stuttgart (Prof. Dr.-Ing. W. Kamm) durchgeführt.     

Durchbiegungen der Halbkreisringplatte

Zusammenfassung Unter Benutzung des Funktionenvorrats der Kirchhoffschen Plattentheorie wurde das Problem der außen frei aufliegenden und sonst freien, gleichmäßig belasteten Halbkreisringplatte behandelt. Dabei wurde erkannt, daß mit den verwendeten Funktionen die wahre Lösung des Problems nur approximiert werden kann. Die Näherungslösung wurde unter Zuhilfenahme zweier Lösungen für Kreisringplatten konstruiert; und zwar einmal mit der Lösung für die außen frei aufgelagerte und innen freie, gleichmäßig belastete Kreisringplatte und zum anderen mit den Greenschen Funktionen der außen frei aufgelagerten und innen freien Kreisringplatte. Die Punktlasten der Greenschen Funktionen wurden außerhalb des betrachteten Halbkreisringgebietes aufgebracht und ihre Größe so ermittelt, daß die Randbedingungen an den Teilfugen des Problems möglichst gut befriedigt werden.Auf diese Weise kann die maximale Durchbiegungszunahme auf Grund der Teilung einer Kreisringplatte abgeschätzt werden.     

Weiterführung der Sobreroschen Theorie des ebenen Spannungszustandes

Zusammenfassung Wir gehen von der Sobreroschen Theorie der Beschreibung des ebenen Spannungszustandes mittels hyperkomplexer Funktionen aus. Während Sobrero sich auf die Anwendungsfälle beschränkt, bei denen Kräfte nur im Innern des Materials angreifen und die Ränder durchweg lastfrei sind, erweitern wir diese Theorie durch Einführung der hyperkomplexen Spannungsfunktion (12), (13) und behandeln damit auch belastete Ränder. Die hyperkomplexe Spannungsfunktion hebt die von den Belastungen herrührenden Unstetigkeiten am Rande auf und stellt somit die Gültigkeit des Cauchyschen Integralsatzes im ganzen Bereich wieder her. Ferner ist für das praktische Rechnen mit hyperkomplexen Funktionen die Zerlegungsformel (26), (27) und (28) von Bedeutung. Sie deckt den Zusammenhang der hyperkomplexen mit den komplexen Funktionen auf. In den Anwendungen wird gezeigt, daß man die üblichen Belastungsfälle des geraden Balken mit Hilfe von Polynomen lösen kann: (32) bis (37). Dabei ist es möglich, weitere bis jetzt unbekannte Fälle in das aufgestellte Schema einzuordnen und zu lösen. In dem Falle des Balkens mit parabelförmiger Belastung ist die Behandlung bis zu Ende durchgeführt: (49). Für die unendliche Halbebene mit Einzellast wird eine Ableitung angegeben, welche nur die Stetigkeit der Spannungsfunktion und das Verschwinden der Spannungen im Unendlichen benutzt: (57). Die Zerlegungsformel für die hyperkomplexe Funktion ermöglicht in einfacher Weise die Einführung orthogonaler, isometrischer Koordinaten in die Spannungsfunktion (63) und die Zerlegung in krummlinige Tensorkomponenten: (71).Auszug aus der gleichnamigen Dissertation des Verfassers, München 1953. Erster Berichterstatter Prof. Dr. G. Hettner, zweiter Berichterstatter Prof. Dr. L. Föppl.     

über die Knickung der Kreisringplatte von veränderlicher Dicke

Zusammenfassung Die Grundgleichung vonK. Federhofer für die Ausbiegung einer nur am Au\enrand gedrückten Kreisringplatte bei kräftefreiem Innenrand wird darauf hin untersucht, für welche Exponentenn des Plattenprofilsh=c r ⁿ eine Integration mit Hilfe der Whittakerschen Funktion möglich ist. Au\er den durch Zylinderfunktionen bereits behandelten Fällenn=0 undn=(5–)/6, ergibt sich je eine Schar von hyperbolischen und parabolischen Profilen, wobei der Exponentn von der Querdehnungszahl des Plattenwerkstoffs abhängt. Es werden die Lösungen der Federhoferschen Grundgleichung mit Hilfe der Whittakerschen Funktion explizit hingeschrieben, und in den Fällenn=0 undn=(5–)/6 die Zurückführung auf Zylinderfunktionen gezeigt. Die Knickbedingungen für die drei möglichen Auflagerungen bei querkraftfreiem Innenrand werden aufgestellt. Die numerische Auswertung soll später mitgeteilt werden.     

Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten bei stationärer und periodischer Bewegung

Zusammenfassung Verschiedene Typen von Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten werden besprochen, und es werden vor allem experimentelle Realisierungen derselben mitgeteilt, wobei als Versuchsflüssigkeit wäßrige Lösungen von Polyacrylamid Verwendung finden.Aus der Klasse der stationären Bewegungen werden Strömungen in geradlinigen Rohren von beliebigem Querschnitt und in gekrümmten Rohren von kreisförmigem Querschnitt unter einem konstanten Druckgradienten, sowie Strömungen um drehsymmetrische Körper, die um ihre Symmetrieachse rotieren, behandelt. Für den letztgenannten Fall wird u. a. das Gegeneinanderwirken von Viskoelastizitäts- und Trägheitseinflüssen aufgezeigt.In der Klasse der periodischen Bewegungen wird zuerst kurz auf die Strömung in einem geradlinigen Rohr von beliebigem Querschnitt unter einem alternierenden Druckgradienten eingegangen. Anschließend wird die Strömung um drehsymmetrische Körper, welche um ihre Symmetrieachse Rotationsschwingungen ausführen, untersucht. Dabei wird nicht nur eine stationäre Sekundärströmung in der Meridianebene, sondern außerdem auch eine solche in azimutaler Richtung nachgewiesen und als Folge der Unsymmetrie der anregenden periodischen Bewegung einsichtig gemacht. Schließlich wird gezeigt, daß im Innern eines Zylinders mit freier Flüssigkeitsoberfläche, der um seine Achse Drehschwingungen vollführt, eine unter Umständen recht komplizierte stationäre Sekundärströmung auftritt, und es wird deren Abhängigkeit von der Frequenz und der Füllhöhe untersucht.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Bad Nauheim am 8. April 1965.Zum Schluß sei Herrn Prof. Dr.K. Weissenberg (The Royal Institution, London) herzlich für die Mitteilung seiner unveröffentlichten Ergebnisse gedankt, die zur Durchführung der zuletzt beschriebenen Versuche angeregt haben. Herrn Dipl.-Ing.K. Feldkamp (Technische Hochschule Braunschweig) sowie meinen Mitarbeitern HerrnH. Stollorz und HerrnH. Pickelin danke ich für ihre Hilfe bei Planung und Bau der Apparaturen und bei der Durchführung der Versuche, meinem Kollegen Herrn Dr.J. Pawlowski für manche anregende Diskussion sowie für die Messung der Fließkurven. Den Farbenfabriken Bayer AG., insbesondere Herrn Dr.W. Meskat gebührt schließlich mein Dank für die Förderung der vorliegenden Untersuchung.     

Übertragungsmatrizen bei Schwingungen dünnwandiger Stäbe mit offenen Profilen bei Kopplung von Biegung und Drillung

Zusammenfassung Das Verfahren der Übertragungsmatrizen wird auf die Berechnung der erzwungenen, gekoppelten Biege- und Drillschwingungen von Stäben mit dünnwandigen, schwach stetig veränderlichen Querschnitten angewandt. Hierbei ist es nicht notwendig, die Übertragungsmatrizen explizit zu berechnen, vielmehr dient der Begriff der Übertragungsmatrix nur zur formelmäßigen Darstellung des Rechnungsganges (Gl. (14)). Die Zahlenrechnung selbst erfolgt durch zyklische Anwendung des Goussschen Algorithmus und eines Matrixproduktes. Abweichend von der sonst üblichen Betrachtungsweise wird nicht ein mechanisches Modell mit stückweise konstanten Querschnitten zugrundegelegt, sondern es wird der wirkliche Stab mit einer mathematischen Ersatzlösung behandelt, wobei die bekannten Lösungen des Problems für prismatische Stäbe als Näherungslösungen dienen. Dieses Verfahren hat gegenüber einer Behandlung als abgesetzter Stab den Vorteil, daß auch die Spannungen, die nach Gl. (16) und (18) direkt aus den Verschiebungsableitungen und den Querschnittskoordinaten berechnet werden, an den Intervallgrenzen stetig sind. Inwieweit zusätzliche Einflüsse, die hier nicht berücksichtigt werden konnten, bei stark verjüngten Stäben eine Rolle spielen, muß noch festgestellt werden. Über im Zusammenhang hiermit geplante experimentelle Untersuchungen soll später berichtet werden.Aus dem Institut für Mechanik (Prof. Dr.-Ing. K.-A. Reckling) der TU Berlin.     

Flattern von Drehflügeln im Standlauf

Zusammenfassung Es wird eine Methode angegeben für eine ausreichend genaue und rasche Abschätzung der Standlaufflattergrenze von Drehflügeln, die gelenkig an die Rotorwelle angeschlossen sind. Am Beispiel eines Drehflügels mit trapezförmigem Umriß wird das Ergebnis der Abschätzung verglichen mit der durch mehrfache Iteration gewonnenen genauen Lösung, wobei sich eine gute Übereinstimmung ergibt. Die Methode wird auch für den Fall der Seitenanströmung des Rotors angewendet, sie liefert dann jedoch wegen der nicht zutreffenden Voraussetzung stationärer Anströmung nur eine untere Grenze für die kritische Drehzahl, die der Bemessung zugrunde gelegt werden muß, soweit nicht durch Flugversuche eine höhere kritische Drehzahl erwiesen wird.     

Der Spannungszustand in der rotierenden spröden Scheibe

Zusammfassung Es wird mit dem neuen nichtlinearen Elastizitätsgesetz spröder Körper unter der Annahme, daß Lochrand und Außenrand der rotierenden Scheibe kräftefrei sind, die Differentialgleichung des Problems aufgestellt und durch eine Näherung gelöst. Verschiebung und Spannungen werden als Funktion des Radius berechnet sowie eine einfache Formel für die Abhängigkeit der am Lochrand auftretenden Tangentialspannung von der Umlaufsgeschwindigkeit angegeben. Die Bachsche Vermutung, daß die Sprengfestigkeit praktisch gleich der Zugfestigkeit ist, wird bestätigt. Die Umfangsgeschwindigkeit, bei der der Bruch erfolgt, berechnet sich nach (47).Wenn auch die entwickelte Näherungsmethode den Bach-Grüblerschen Gegensatz erklärt, so ist trotzdem zu fordern, daß sie einer Prüfung durch den Versuch unterzogen wird, da erst nach Messung der Empfindlichkeiten der in Frage kommenden Werkstoffe die Frage entschieden werden kann, ob eine Erhöhung der zulässigen Geschwindigkeit sich mit den Fragen der Betriebssicherheit in Einklang bringen läßt.Zum Schluß danke ich auch an dieser Stelle Herrn Prof.Prandtl und der Notgemeinschaft der deutschen Wissenschaft für die Möglichkeit, in dem Göttinger Institut für angewandte Mechanik arbeiten zu dürfen.     

The viscosity of polydisperse emulsions

Zusammenfassung Nach der gewöhnlichenEinstein-Taylorschen Formulierung der Fließeigenschaften disperser Systeme bleibt die Intrinsic-Viskosität unabhängig von der Teilchengröße oder der Teilchengrößenverteilung, während die Experimente eine geringe aber deutliche Abhängigkeit zeigen. Dieses Phänomen ist auf der Basis eines Modelles erklärbar, bei dem an der Teilchenoberfläche partielle Gleitung stattfindet. Eine solche Gleitung wird stattfinden in Gegenwart von oberflächenadsorbierbaren Substanzen. Auf einfache Weise, mit Hilfe derFröhlich-Sackschen Methode, wird eine quantitative Formel dieses Effektes abgeleitet. Emulsionen, die die monodispersen kleinen Teilchen enthalten, sind zäher als Systeme mit polydispersen großen Teilchen. Die gute Übereinstimmung mit den experimentellen Beobachtungen wird kritisch diskutiert.