为什么51/2是无理数:七年级学生的证明

1引言实数的概念是沪教版初中数学七上第12章第1节的内容,在这一节,学生第一次遇到无理数这一全新的概念.以往的教学实践表明,许多学生初学无理数概念之后,对有理数与无理数的本质区别依然不甚了解,甚至有学生将（22）/7看作无理数,(3^1/2)/2看作有理数,要让学生真正接受无理数,深刻理解无理数与有理数的区别,就需要让学生看到一个无理数不是     

π是无理数的一个证明

为了证明二是无理数,先介绍两个预备知识. 预备知识一设了。(“)=x.(1一x)’/nl(易知当。<二<1时,有。<了。(“)Zn时,f(‘)(o)=o,并且............……f二’“)(o)=(2。)(2。一z)…(n+z)C:。. 这里右边的数都是整数.因此对于所有…     

证明三个数是无理数

<正>《中学生数学》(2014年2月下)罗昕同学提出的问题很有意思.数学的发展是没有止境的,需要我们像罗昕同学那样善于发现问题、提出问题、研究问题.无理数的出现经历了艰难的历程,有关它的许多问题要用到高等的数学知识才能解决.下面对罗昕同学的三个问题做一些粗浅的说明.     

分母含根号的不等式的证明

<正>不等式证明是中学数学的难点之一,不仅要熟悉各类著名不等式,如均值不等式、柯西不等式、琴生不等式、权方和不等式等,而且要针对具体情况灵活运用这些著名不等式.对于分母中含有根号的分式不等式,难度较大.本文针对这种不等式,利用赫尔德不等式给出一般的证明方法,并且根据不等号的方向分为两类,第一类相对简单,通过简单的模仿练习就     

反证法是证明无理数的通用方法吗?

罗昕同学在文中提出了一个他在学习中不能解决的问题:"反证法是证明无理数的通用方法吗?"并具体列出了三个他不知如何解的题,向诸位老师和同学们请教.我们想这可能也是许多同学曾经思考或将会思考的问题,因此将此文刊登出来,希望诸位老师和同学们帮助罗昕同学,解答他提出的问题,谢谢大家.     

带根号的分式不等式的证明

不等式的证明是数学竞赛题中的难点.纵观最近几年各类竞赛题,带有根号的分式不等式的 证明问题颇受命题者的青睐.若对这一类试题处理不当将会带来复杂的运算,甚至不能解决.本文介绍两种较易掌握的解题方法.     

Ⅱ.无理数的无理数次幂一定是无理数

题:无理数的无理数次方一定是无理数吗?为什么?这是一个判断题,则要求在事实的基础上加以判断。如果答案是否定的,则我们至少可以找出一个反例来,即至少可找出一个无理数的无理数之幂是有理数的情况来,我们有这样的反例吗?一个个地去找不就象大海捞针了?!鉴此,我们是否可以考虑问题的     

证明一类无理数的一般方法

众所周知,实数分为有理数和无理数,无理数又分为代数数和超越数。这是实数的一种划分法。实数集还可以分成代数数集和超越数集。如果一个实数是整系数的某个代数方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a(n-1)x+a~m=0的根,那么这个数叫做代数数。反之,不是任何整系数代数方程的根的实数称为超越数。因为全体有理数n/m是一次代数方程mx-n=0的根,所以有理数集是代数数集一个子数,因此超越数都是无理数。证明一个数a是无理数,统编高中《代数》课本用了反证法,但用反证法需要一定的技巧,学生往往不会使用。本文打算介绍证明代数数中无理数的一种一般方法、供教师们参考。这种方法要用到下列定理。这个定理在一般代数课本中都有、我们就不作证明了。定理:整系数代数方程a_0x~n+a_1~(n-1)+…+a(n-1)x+a_n=0有有理数根m/n(m、n互质)的必要条件是m是a_n的约数、r是a_0的约数。我们先举例说明如何用这个定理证明代数数中的无理数、然后总结这种方法的一般步骤。     

3~(1/2)是无理数的证明

一些同学对无理数的证明很感兴趣,并从不少的资料中也看到了2~(1/2)是无理数的详尽证明。然而又如何去证明3~(1/3)是无理数呢? 证明假设3~(1/3)是有理数,则存在互质数p、q使得3~(1/3)=q/p。两边平方得3=q2/p2,     

证明3~(1/2)是无理数的方法推广

《中学生数学》的文[1]、[2]证明(1/2)~3是无理数的方法均带有特殊性．不易推广．本文将用反证法给出证明(1/2)~3是无理数方法的两种推广,供同学们参考．     

2~(1/2)是无理数的六个证明

“如何证明是无理数呢？”“那还不容易！设，可当m和n不全是偶数。由于，m对必为偶数，写作2k，则4k2=2n2，2k2=n2，故n亦是偶数，矛盾！”上述证明，只用到奇偶性质，来源已不可稽考。亚里士多德（Aristotle）在公元前330年左右把它（以几何形式）写下来，用作反证法的示范，可见在那个时候这回事已是众所周知了。不过由放这证明是如此简洁，很多数学史家都相信那不是这回事的发现经过，而是“事后孔明”的解释。在这个证明中，2并没有什么特别，换了是另一个质数，同样的思路仍可沿用，只是单凭奇偶性质并不足够，需要用到质因子唯一分…     

2~(1/2)是无理数的另一个简捷证明

<正>有许多方法可以证得2^(1/2)是无理数,这其中可能最著名且历史最悠久的要数欧几里得基于反证法的证明.然而在本文中我们对给出2(1/2)是无理数,这其中可能最著名且历史最悠久的要数欧几里得基于反证法的证明.然而在本文中我们对给出2^(1/2)是无理数的另一种简捷的证法,其实也只需要几句话就可以证明2(1/2)是无理数的另一种简捷的证法,其实也只需要几句话就可以证明2^(1/2)是无理数.证明方法如下:如果2(1/2)是无理数.证明方法如下:如果2^(1/2)是有理数,那么它必然可以写成两个整数的比的形式,对分子分母约分,一定可     

七年级学生方程思想的培养路径

数学思想是支持数学教学行走的脊柱,是教学中的主线,是数学的精髓,学生只有将数学思想和方法融会贯通,方能打通解题技巧的“任督二脉”,才能获得适应未来社会生活和进一步发展的必需品.“方程思想是一座桥梁,一座联系已知和未知的桥梁”,方程思想是建立有效模型的一种数学思想.那么,对于刚进入初中的学生来说,他们了解方程吗?形成方程解题的思想和意识了吗?又要如何促进他们养成这些思想呢?本文将对上述问题予以回答.     

七年级学生数学学习习惯的培养

《数学课程标准》中明确提出了培养学生良好的数学自主学习习惯的要求．在新课程的理念下,如何通过数学教学促进每一位学生的发展,培养学生良好的数学学习习惯,是广大数学教育工作者的新任务．     

(P~2+k)~(1/2)是无理数的证明

<正>定理若p为正整数,k为半偶数,则(p²+k)(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如(22+k)(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如(2²+12)(1/2)=16不是无理数,原因为12不是半偶数.下面用穷举反证法分两部分证明定理.     

从证明“2~(1/2)”是无理数所想到的

一般数学资料上在谈到实数分类时,都讲到无理数,但往往所举之例多是证明2~(1/2)为无理数,以及用几何方法在数轴上作表示2~(1/2)的点。其证明都是采用反证法,首先假设它是有理数,按反设—推演—矛盾—结论的步骤证明,那么形如3~(1/2)、5~(1/2)、7~(1/2)、……等等无理数是否可以采用同样的方法证明呢?我请教了数学老师,他们都隐约给我提了些线索让我思考,并指点了     

无理数指数幂的底为什么要大于零?

问题的提出经浙江省中小学教材审定委员会审查通过,由浙江教育出版社出版,与人教版普通高中课程标准实验教科书《数学1》相配套的《作业本》第26页,有如下题目:     

与七年级学生谈“设元”

设元是七年级学生必须掌握的一种基本技能,也是列方程解应用题的关键步骤之一．恰当地设元,往往能收到事半功倍的神奇效果．设什么元,需要根据具体问题的条件确定．下面通过例题简要说明列方程解应用题中常见的四种设元方法．     

用“最小数原理”证明2~(1/2)是无理数

《中学生数学》2004年3月(上)和2004年8 月(上)分别给出了3~(1/2)是无理数的两种证明,开阔 了同学们的视野．本文用最小数原理证明2~(1/2)是无 理数． “在任何一个自然数集合里．必定存在一个 最小的数．”这就是最小数原理． 下面证明2~(1/2)是无理数． 证明 只须证n·2~(1/2)对任何正整数n都不 是整数． 设S是所有使n·2~(1/2)为整数的正整数n的