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三垂线定理及其逆定理毛会文湖南平江二中【基本概念】三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．关于上述定理... 相似文献
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高中生非学三垂线定理及其逆定理不可吗 总被引：1，自引：0，他引：1
三垂线定理及其逆定理是现行高中立体几何教材中的两个十分重要的定理 .前者实际上是平面内一条直线和平面的一条斜线垂直的判定定理 ,后者实际上是平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直的性质定理 .这两个定理的实质是 :平面内的一条直线与平面的斜线及其在平面内的射影同时垂直 .它揭露了平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影和平面内的一条直线的某种位置关系的内在联系 .这两个定理历来是立体几何教材“直线和平面”一章的一个重点 .因此 ,历年高考试题时有涉及 .修订后的 2 0 0 0年 3月出版的《全日制普通高级中学数学教学大纲》也明… 相似文献
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１ 定理的本质功能高中立体几何的三垂线定理是立几中的重要定理之一,它在线线、线面、面面垂直中起到纽带作用．通常立体几何问题的处理,大多是将立几问题转化为平几问题来解决．唯有三垂线定理,在不同平面内直接判断线线垂直,这是三垂线定理的本质功能．２ 精读定理（１）有斜线要确定射影,必须牵涉到垂线．有了垂足和斜足,才能确定斜线的射影．所以涉及这一定理的有４条直线．（２）垂线、斜线及它的射影在同一平面内,射影与平面内一直线确定另一平面．（３）斜线与它的射影固定后,而平面内那条直线平行移动时,定理仍然成立．… 相似文献
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1 正确把握三垂线定理及逆定理图 1 三垂线定理示意图同学们知道 ,三垂线定理及逆定理都涉及到三条直线和一个平面 ,即平面、平面内的一条直线 ,平面的一条斜线、斜线在平面上的射影 .如图 1所示 ,这一图形就是三垂线定理的基本图形 ,从对图形处理角度来看 ,应用定理过程就是从已知图形中寻找、构造、分离出基本图形的过程 . 该定理反映的是斜线、斜线在平面内的射影与平面内一条直线垂直关系 .由于两定理结论都是线线垂直 ,因此凡涉及到有关线线垂直的问题都可以考虑用这两定理 .2 掌握三垂线定理应用程序应用三垂线定理程序为 :(1 )… 相似文献
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在立体几何中,空间向平面的化归是重要的思想方法,教学重点之一是空间角(异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角)的计算.所以在对空间角的教学中,培养学生由空间向平面的化归思想是重要途径.下面从线面角的教学谈化归思想的培养.1.在线面角概念教学中渗透化归思想空间直线与平面所成角(简称线面角)是转化为平面内两相交直线的夹角.斜线和它在平面上的射影所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.证明:设平面α的一条斜线l在α内的射影为l′,角θ是l与l′所成的角.直线OD是平面α内与l′不同的任意一条直线,过点… 相似文献
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三垂线定理及其逆定理是立体几何中的重要定理 ,应用十分广泛 .学好三垂线定理及其逆定理 ,首先要弄清该定理中涉及的面及各条线之间的关系 .图 1无论三垂线定理还是逆定理 ,其结构都是“一面四线” ,如图 1所示 :平面α ,斜线PA ,射影AO ,垂线PO ,平面内直线l.其中一面是指α ,三垂线是指 :PO ,OA ,l .共涉及四个垂直关系 :PO⊥OA ,PO⊥l,AO⊥l ,PA⊥l.为了更好地帮助同学们认清定理的本质 ,消除模糊认识 ,配与以下例题 .例 1 判定下列命题是否正确 :①若a是平面α的斜线 ,直线b垂直于a在α内的射影 ,则a⊥b .②若a是平面α的斜线… 相似文献
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一个平面的斜线和它在这个平面内的射线的夹角,叫做斜线和平面所成的角(本文简称为“线面角”),一般说来,求解“线面角”的问题遵循“构造-证明-计算”的步骤进行,求解此问题的关键是确定斜线在平面内的射影,确定斜线在平面内的射影主要有两种方法.(1)“立竿见影”:过斜线上不同于斜足的某特殊点作平面的垂线段,垂足和斜足的连线即为斜线在平面内的射影,此时“线面角”是一个直角三角形的锐角.(2)“垂面见影”:过斜线作与已知平面垂直的平面,则两个平面的交线即为斜线在平面内的射影(重要的结论).此时“线面角”是一个三角形的内角.事实上,并不是所有的求解“线面角”的问题都可以应用以上两个办法顺利求解,有些问题利用所给的条件不易或很难确定斜线在平面内的射影,面对“无影”这一障碍和困难,又将如何求解呢?本文以一道2011年一道高考题第二问为例加以说明. 相似文献
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现行高中数学教科书人教版第九章 (A,B)对直线与平面垂直的判定定理的证明 ,仍是沿用以往教材中的传统证法 ,而课程改革要求我们尽可能地运用新知识处理问题 ,尽可能地用简明的方法解决问题 .我在教学中发现另一种证明定理的方法 .现给出证明过程 ,供大家教学参考 .直线和平面垂直的判定定理 :如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 ,那么这条直线垂直于这个平面 .已知 :如图 1,m α,n α,m∩ n =B,l⊥ m,l⊥ n.求证 :l⊥α.证明 若 g是平面α内任意一条直线 ,设直线 l、m、n、g上分别有非零向量 l、m、n、g,由于 m、n是平面内… 相似文献
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如图 1 ,设Ｈ是欧氏平面上圆的弦ＡＢ的中点 ,过Ｈ的弦ＣＤ ,ＥＦ的端点连线ＣＦ与ＥＤ分别交ＡＢ于Ｉ,Ｇ ,则ＡＩ=ＧＢ .这就是平面几何中的蝴蝶定理 .它可以“纯平面几何”地证明 ,也可以用解析几何的方法证明 .运用射影几何的知识会使证明变得简单并且容易推广 .欧氏平面加上平面上所有直线的无穷远点 ,并把任意一组平行直线上的无穷远点看成同一点 .所有的无穷远点组成一条直线 ,叫无穷远直线 ,所得平面称为拓广欧氏平面 .假如对于拓广欧氏平面上的普通点与无穷远点不加区别就得到射影平面 .我们讨论的主要工具是射影映射与下面的Ｓｔｅ… 相似文献
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“三垂线定理”是立体几何中的一个重要定理,它不但联系着一系列主要概念(如平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影等),而且其证明中又包含有较为典型的证题方法(线面垂直与线线垂直证法),并且有着广泛的应用。因而这一定理是立几数学中的重点。又因其牵涉到的概念较多,故又是教学中的难点。下面就笔者在教学中的作法谈一点体会,以就教于同行诸君。一、引导学生发现矛盾,造成悬念,激发学 相似文献
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空间垂直问题通常涉及的线面较多,关系复杂,直接证明有一定难度.但是,如果反其道而行之,巧用逆推法,却能有效地找出解题思路.1.主要定理立体几何中与垂直相关的定理很多,但最关键最核心的定理有四个.(1)直线与平而垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面(线线垂直(→)线而垂直) 相似文献
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求直线与平面所成的角是学习立体几何中线面关系的重点,我们必须熟练地掌握它．在求直线与平面所成的角时,应注意先判断直线与平面的位置关系．当直线与平面斜交时,关键是确定斜线上某点在直线或平面上的射影．最常用的方法就是利用面面垂直的性质定理,即寻找一个经过这点且与已知平面垂直的平面,作出它们的交线,再由这点向交线作垂 相似文献
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本单元知识点及重要方法知识点 :直线与平面的位置关系 ;直线与平面平行、垂直的判定与性质 ;平面的垂线段和斜线段长定理 ;直线与平面所成的角 ;三垂线定理及其逆定理 ;其中运用直线和平面的平行与垂直关系的性质及判定进行论证和解决有关问题是本节的重点 ,三垂线定理及其逆定理的应用是难点 .重要方法 :1)各定理的证明思路 ,尤其是直线与平面垂直的判定定理的证明思路 .2 )线线与线面关系的相互转化及适当添加辅助线、面的方法 .3)有关距离与角度的求法及将立体几何问题转化成平面几何问题的方法 .习 题选择题1 下列命题不正确的是 (… 相似文献
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线面垂直的判定定理是立体几何中一个十分重要的定理 ,对于大多数同学来说 ,该定理的证明是一个很大的困难 .那么 ,能否从代数的角度来尝试证明呢 ?从下面的证明中 ,我们可以领略代数与几何密切的内在联系 .根据异面直线所成角的定义 ,线面垂直的判定定理实际上等价于以下定理 如果直线AB、直线AC 平面α ,直线PA⊥AB ,PA⊥AC ,那么 ,直线PA⊥平面α .证明 不妨设AD是平面α内过点A且不同于AB ,AC的任何一条直线 ,且B ,C ,D三点共线 .如图 ,下面我们只要证明PA⊥AD .为书写方便 ,记PA =a ,PB =b ,PC =c ,PD =d ,AB=x,AD … 相似文献
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点到平面的距离问题一直是立体几何高考热点问题之一 ,也是学生感到难以把握的一个问题 ,因此本文介绍此类问题的几种常用的求解策略 ,供同学们借鉴与参考 .1 射影法根据定义 ,直接找点在平面上的射影 ,下列结论常作为找点在平面上射影的依据 .1 ) (两平面垂直的性质定理 )如果两个平面垂直 ,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 .2 ) (高中数学新教材第二册 (下 )第 2 3页例 4 )如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等 ,那么这个点在平面内的射影在这个角的平分线上 .3) (高中数学教材第二册 (下 )第 2 5页第6题… 相似文献