求解特征值问题的无限元方法

本文讨论在带有大钝角的多角形区域Ω上Laplace方程特征值问题的数值解。由于区域Ω有带大钝角的角点,在此角点上特征函数具有某种奇性,因此用通常的有限元方法求出的近似解精度很差。本文应用无限元方法克服了这个困难。办法是把Ω剖分为无限多个相似的三角形单元,将原问题离散化为一个无限维的矩阵束的特征值问题。本文给出了求解这一矩阵束特征值问题的近似方法。至于无限元近似解的误差估计,已在[11]中给出。     

线性插值误差的精细估计及在有限元方法中的应用

本文考虑到三角形区域的特殊性，给出了三角形区域上线性插值以及整个区域Ω上分片线性插值误差的精细估计，有别于一般Soblev空间插值估计，估计中的常系数不仅是存在的，而且具体给了出来，为有限元计算单元剖分提供了依据，并且这种方法可推广到高次多项式插值估计。     

计算应力强度因子的无限相似单元法

为了计算应力强度因子,将平面弹性体所占的区域作三角形单元剖分。在裂纹尖端附近,三角形单元为可数无穷多个,且具有相似性,它们组成组合单元体。用矩阵方法求出组合单元体的组合刚度矩阵,从而得到问题的解。与有限单元法比较,无限相似单元法更好地反映了解的奇性,因此提高了精确度。同时,由于组合刚度矩阵的求得,使代数方程组的阶数大为降低。     

抛物型方程有限元解的长时间渐近性态

1引言设Ω为R2中有界凸多边形区域，f(x)∈L2（Ω），λ为非负常数，面为LaPlace算子，考虑下面定解问题：我们在空间区域采用有限元剖分，在时间轴上采用［1］提出的一类差分格式，本文证明（1．1）的有限元解当L、co时收敛到下面椭圆方程（1．2）的有限元解：从而可应用［2］提出的具有并行本性的差分格式得到椭圆问题（1．幻的有限元解．2．预备知识设J为o上的拟一致三角剖分，vnCHI（n）为相应于J的线性协调元空间，7T：H‘（m、K为插值算子，使对J的任意节点P，7T。（P）＝。（P）·我们用下述格式求解（1．1）：求。h＋IEVh…     

四边形等参有限元法的误差渐近展开

利用外推法可以提高有限元解精度,这已是众所周知的了.特别是关于三角形线性元的讨论已有大量的文献,例如[1,2,5—7].用外推法提高精度的前提是误差表达式u~h(z)=u(z)+ch~2+o(h~2) (1.1)成立.外推精度的好坏,除了原问题解的光滑性外,还依赖于建立有限元方法的单元剖分,剖分越均匀,精度也越好,如文[1]在分块均匀三角形网格的结点上得到了     

有限元方法的渐近展开及其外推

首先将 Ω 剖分成大三角形域 Ω_k,Ω_k 走的顶点亦为Ω的角点.对诸Ω_k 进行一致剖分(参看下页图),设Ω_k~h={τ_(kl)},Ω~h=(?)Ω_k~h={τ_(kl)}k,l;h_k 表示Ω_k~h 中单元的直径,h=(?)(h_k),S_0~h(Ω~h)表示线性有限元空间;u~h 和 u~l 分别表示问题 (P) 的解 u 在 S_0~k(Ω~h)上的 Ritz 投影及其线性插值,G_(z_(?))~h(z) 表示问题 (P) 的 Green 函数 G_(z_0)(z) 在 S_0~h(Ω~h)上的 Ritz 投影.由[3]知     

数值求积与有限元外推

其中 Ω是 R~2中的有界区域.设(?)={T}是对Ω的单元剖分网格,V_h 是相应的有限元空间.问题(1.1)的标准有限元方法,是寻求 Ritz 投影 u~h∈V~h 满足     

有限元方法(二)

§2. 剖分插值 本节讨论平面区域的几何剖分和相应的分片插值方法.对区域进行剖分时,基本单元可以取为三角形、矩形、四边形等等.插值函数可以取为一次(线性)或高次多项式等等.其中以三角剖分和相应的三顶点线性插值最简单,最常用,故主要讨论这一情况.为了尽快进入有限元离散化,可以只读这里的§§2.1-3而转至§3.     

抛物型问题半离散Galerkin近似解的L_∞估计

考察典型的抛物型问题:其中Ω为平面有界区域.设S_h?H_1~0(Ω)是在正规剖分上由分片m-1次多项式构成的有限元空间,其半离散Galerkin逼近可由下式确定:     

相似单元的通解和有限相似单元法

在有限元方法中,将区域剖分为有限个或者无限个相似单元而构成一个组合单元,用这个方法可以计算椭圆型微分方程边值问题解的奇性和在无界区域上求解它们。在这篇文章中我们得到了问题的通解,给出了计算组合刚度矩阵的公式,这些结果适用于包括拉普拉斯方程和线性弹性力学方程组在内的一类椭圆型微分方程和方程组,而对区域的剖分除去相似性之外没有任何限制。     

三角形二次插值系数有限元法解半线性椭圆问题的超收敛性

基于均匀三角形的剖分求解一类二阶半线性椭圆问题,用插值系数有限元方法比经典有限元法更容易实现,与经典二次有限元一样,二次插值系数有限元方法在对称点处也有四阶超收敛精度,数值计算表明这些结论是正确的.     

Sobolev型方程有限元的后处理方法

1 引言 考虑下述Sobolev型方程的混合问题 (a) (b) (c) 其中Ω为R~2中具有边界的矩形域,a,b,f,u_o。为适当光滑且有界的已知函数,a(x,t)有正下界a_*. Sobolev型方程是重要的数学物理方程之一,文[1]导出了问题(1.1)标准有限元方法的最优L_2(2≤P<∞)估计.本文研究矩形剖分上的双k次有限元方法,用插值算子对近似解进行后处理,仅增加极少工作量,使整体收敛性提高一阶.本文证明了误差及任意阶时间导 进行后处理,仅增加极少工作量,使整体收敛性提高一阶.本文证明了误差及任意阶时间导数的H~1,W~(1,∞),L_p和L_∞的超收敛估计.若采用文[2]的预处理方法构造最优剖分,可将本文结果推广到一般区域(仍超收敛1/2阶).这样,采用低次有限元可获得高阶精度,从而大大节省了计算量.     

双曲型方程变网格有限元法

§1.引言 用有限元法解波动方程时,一般对空间区域采用有限元法,对时间轴采用差分方法;而波的峰值随时间而变化,在峰值附近网格剖分要局部加密才能保证精度而不影响计算量.从而产生了用变网格有限元法来解波动方程的问题,本文对线性双曲型方程采用变网格有限元方法计算,得出的结论是:在一定条件下,这种变网格是收敛的,而且当网格变动次数M是同空间剖分参数h和时间剖分参数△t无关的常数时,误差的H~1模最优.     

基于改进位移模式的二维有限元线法超收敛算法

提出了基于改进位移模式的二维有限元线法超收敛算法．利用单元内部需满足平衡方程的条件,推导了超收敛计算的解析公式的显式,即将高阶有限元线法解的位移模式用常规有限元线法解的位移模式表示．用常规有限元线法解的位移模式与高阶有限元线法解的位移模式之和构造新的位移模式,基于线性形函数,采用变分形式推导了有限元线法求解的修正的常微分方程组．该算法在前和后处理同时使用超收敛计算公式,在原有试函数的基础上,增加了高阶试函数．使得单元内平衡方程的残差减少,从而达到提高精度的目标．对于二维Poisson方程问题,给出了有代表性的算例,结点和单元内的位移、导数的收敛精度得到了极大的提高．     

广义Ⅱ型三角剖分下二元样条函数空间S_2~1(■_(mn))的维数

<正>1引言假设Ω是平面上任一单连通的多边形区域,△是它的任一正规三角剖分,T表示△中所有三角形的集合.对满足0≤rd的非负整数d,r,定义二元d次r阶光滑样条函数空间     

最小二乘法及光滑问题不规则剖分上有限元解的超收敛分析

对有限元近似解提出一种通用的超收敛框架,该框架是对有限元解在另一有限维空间中作最小二乘逼近,中证明新构造的逼近解具有局部和整体上的超收敛,与所有已知的超收敛结果不同的是,该框架给出的超收敛结果对区域的有限元剖分没有附加任何一致性或对称性要求,这种得用小二乘作超收剑的技巧可以很简单地推广到混合有限元法,斯托克斯方程及重调方程的有限元法。     

数值积分对特征值有限元外推的影响

§1.引言在分片一致三角形剖分下,用线性有限元法解特征值问题求得近似特征值λ、λ~(h/2).[1]证明了对λ~h.λ~(h/2)作外推可提高收敛阶:     

在三维空间中光滑区域上二阶椭圆型问题的有限元分析

§1.引言设Ω是R~3中的有界光滑区域、本文要给出Ω的一个正确剖分,并构造一个有限元空间,用来近似求解齐次Dirichlet问题     

曲边区域非齐次Dirichlet问题的类Wilson元逼近

1.引 言 本文考虑用类Wilson元求解曲边区域Ω上的非齐次Dirichlet问题.对于曲边区域上的Dirichlet问题,常见的方法是将剖分加密,使近似求解区域Ωh尽可能地逼近Ω.并得     

用混合等参有限元法解重调和方程

§1 引言 有若干篇文章讨论用混合有限元法解重调和方程第一类边值问题 △~2u=f, 在Ω内, 在Γ上,上式中的Ω是R~2中的有界区域,且Γ充分光滑.[1]中提出的方法只适用于多角形区域.[2]中曾用等参有限元讨论上述问题的近似解.[3]和本文也是用等参有限元讨论上述问题的近似解.本文所得结论比[2]有改进.例如,对u的假设等可以放宽条件.需要注出,上面提到的三篇文章其误差估计都不是最佳的。