九点圆定理在三维空间的推广

众所周知,关于三角形有如下命题:九点圆定理在三角形中,以它的外心与垂心连线的中点为圆心,外接圆半径的一半为半径的圆,必通过9个特殊点,即:3个顶点与垂心连线的中点,3条边的中点,以及3条高的垂足.本文拟应用向量方法,将这个定理推广到三维空间的“共球有限点集”中.为此,我们     

欧拉线的共轭线

概念位于三角形的各边上，且将周长两等分的点叫周界中点，顶点和周界中点的连线叫周界中线，三条周界中线交于一点，这点叫三角形的界心．大家知道欧拉线，即三角形的垂心、重心和外心共线，且重心到垂心的距离等于重心到外心距离的两倍，与此极其相似的是定理三角形的界心、重心和内心共线，且重心到界心的距离等于重心到内心距离的两倍．引理1三角殂一边上的周界中线平行于内心与这边中点的连线证明如图1，△ABC中，三边为a、b、C，AD是BC上的周界中线，M是BC的中点，AE平分LA，I是AABC的内心．引理2三角形的界心到一个顶点的距…     

有关三角形外心的一个定理的再推广

文[1]对有关三角形外心的一个命题进行了推广,得到了 定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP、BP、CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,使AP/PD BP/PE CP/PF=3成立的充要条件是P点落在以线段OG的中点为圆心,以1/2OG为半径的圆上.     

别忘了让平面向量与三角形谈“心”

<正>平面向量与三角形综合题目经常见,但根据平面内有一点满足一定的平面向量的条件式,判断该点是三角形的什么"心"的问题不太多,但也不能忽视,下面举例说明,以供参考.一、平面向量与三角形谈"外心"三角形的外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点,这点叫做三角形外接圆的圆心,简称外心.     

三角形中常见的“四心”问题

在初中，有关重心、垂心、内心、外心等三角形问题很常见．为此，我们简称为“四心”问题．重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点，内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心．     

三角形的四心性质在竞赛中的应用

<正>三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形的重要概念.重心:中线的交点,重心将中线长度分成2∶1;垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.利用三角形的四心的性质去解题是初中数学竞赛热点.     

圆的教与学研究

７．１　圆（精讲式）一、精讲点拨填空：（１）圆是平面内到的距离等于的点的集合．决定圆的位置,决定圆的大小．（２）经过的三个点,确定一个圆．（３）三角形的的圆心,叫做三角形的外心,它是三角形的交点,外心到三角形的距离相等．（４）设圆Ｏ的半径Ｒ,点Ｐ到圆心Ｏ的距离为ｄ,若点Ｐ在圆内,则ｄ＜ｒ;若点Ｐ在,则ｄ＝ｒ;若点Ｐ在圆外,则．二、议练活动１．填空（１）如果一个直角三角形的两条直角边分别是３ｃｍ、４ｃｍ,那么它的外心是斜边的,外接圆半径是ｃｍ．（２）直线ＡＢ与⊙Ｏ交于Ａ、Ｂ两点,且ＡＢ长为２２,点…     

三角形内外心连线的一个性质

平面几何中,关于三角形有不少著名的富有趣味性和启发性的定理,例如关于外心、重心和垂心共连(Euler线)的定理,关于三角形外接圆上的任意点在三边上的射影共线(Si mson线)的定理,等等[1,2].本文将要提出并证明的是关于三角形外心和内心的连线的一个特殊性质,见下面的定理1.定理1过不等边三角形外心和内心的直线是具有以下性质的点的轨迹:该点在三角形三边或其延长线上的射影将三边分为六段,其中相互间隔的三个有向线段的长度的代数和等于另外三个有向线段的长度的代数和.如图1所示,O、I分别为△ABC的外心和内心,P为△ABC所在平面内的一…     

三角形的五心初谈(二)

<正>3伴随三角形用塞瓦定理不能直接证明三角形的外心,原因是对一般的三角形来说,三边的中垂线并不一定过三角形的顶点,因此不一定是塞瓦线,所以不适合应用塞瓦定理.下面的转化关系是很有趣的.如图12,△ABC的中点三角形为△A_1B_1C_1,中点三角形的三条高线共点H,就是△ABC三边的中垂线共点.     

四面体的重心与垂心的性质

1 四面体的重心 由三角形的一个顶点与对边的中点为端点确定的线段称为三角形的中线,三角形的3条中线交于一点(此点称为三角形的重心),且这点是顶点与对边中点连线的3等分点(靠近对边的中点).类比三角形的中线与重心,遵循"点到棱、线到面、共点线到共点面"的类比原则,容易想到"由四面体的一条棱与对棱的中点确定的平面称为四面体的中面"这一新定义.     

涉及三角形外心线的一类几何不等式

我们知道,三角形中涉及高线、内角平分线、中线等几何元素的几何不等式非常丰富(见[1]).本文通过引入三角形的一个新几何元素-三角形的外心线,并类比三角形中与高线、中线、内角平分线相关的几何不等式,建立了三角形中一类与外心线有关的新的几何不等式.这里,我们给出三角形外心线的定义如下.定义1过三角形的一个顶点和它的外接圆的圆心的直线,与这个顶点的对边或其延长线相交于一点,该顶点与交点间的线段叫做三角形的     

三角形外心的一个性质

定理三角形的外心和各顶点连线的中点,与相应顶点对边中点所连成的三线共点,且该点恰在三角形的欧拉线上.证明设O是△ABC的外心,OA、OB、OC中点分别为A1、B1、C1,BC、CA、AB边的中点依次为A0、B0、C0(如图1).图1设H是△ABC的垂心,HA、HB、HC的中点分别为A2、B2、C2,则知:直线OH就是△ABC的欧拉线.连接A0B1、A0C1,B0C1、B0A1,C0A1、C0B1,易知有A0B1=∥12CO,B0A1∥=21CO,从而,有A0B1=∥B0A1,所以四边形A0B0A1B1是平行四边形.不妨设,A0B0A1B1的对角线A0A1与B0B1相交于点K.于是,有A0K=A1K,B0K=B1K.同理B0C0…     

第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答

试题 　　1.已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A1,A2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B1,B2;以边AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C1,C2,证明:六点A1,A2,B1,B2,C1,C2共圆.(俄罗斯提供)……     

一道第49届IMO试题的解题分析

第49届IMO第一题是一道平面几何题:已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A_1,A_2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B_1,B_2;以边.AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C_1,C_2.证明:六点A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2共圆.     

三角形的四心在解析几何中的应用

三角形的内心、外心、重心、垂心,在平面几何中有着广泛的应用.如果把三角形的四心与解析几何有关图形的性质有机地结合,可拓宽应用的范围,使很多解析几何问题,获得明快的解决.一、内心三角形内切圆的圆心,称为内心,三角形     

活用三角形外心向量性质解向量问题

对于三角形的外心,有如下优美的向量性质：性质如图1,O为△ABC的外接圆的圆心,则→AO·→AC,1/2→AC,→CO·→CB=1/2→CB2,→BO·→BA→=1/2→BA2证明过点O作OD⊥AC于点D,则D为线段AC的中点.于是→AO·→AC =｜→AO｜·｜→AC｜cos∠OAC= （｜→AO｜·cos∠OAC）·｜→AC｜     

三角形的“旁外心”的几个性质

<正>文[1]给出了三角形的"旁外心"的定义如下:定义过三角形的三个顶点分别作三角形外接圆的切线,其交点称为三角形的旁外心.注在直角三角形中,直角所对的旁外心可看作在无穷远处.性质1如图1,在△ABC中,∠B非直角,O_B是∠B所对的旁外心,O_BD⊥BC于点D,O_BE⊥AB于点E,O_BF⊥AC于点F,则四边形DO_BEF是平行四边形.证明∵O_B是△ABC的旁外心,由旁外心的定义知O_BA是△ABC外接圆的切线,     

一道高三检测题的解法探究

近几年,由于教材中向量的加入,高考中经常用平面向量结合三角形知识在三角形的“四心”方面做文章．常考查三角形本身的性质、“四心”的定义及性质、平面向量的运算性质及几何意义的灵活运用,三角形的“心”贯穿高考的始终．尤其是“外心”,由于它是三边中垂线的交点,体现了“中”和“垂”两个特点,又是三角形外接圆的圆心,故涉及到三角形外心的试题格外精彩．下面以一道高考模拟测试题为例来领略它的精彩．     

欧拉定理 费尔巴哈定理及相关命题的统一证明

欧拉定理　费尔巴哈定理及相关命题的统一证明刘裕文（四川省彭州市中学６１１９３０）三角形之外心Ｏ、重心Ｇ、垂心Ｈ三心共线，且ＯＧ：ＧＨ＝１：２；三角形三边之中点、三高之足、垂心至顶点连线之三中点，凡九点共圆．此乃欧氏几何中著名的欧拉定理与费尔巴哈定理．...     

不等边三角形若干"心"的一个性质

笔者发现三角形“心”有如下性质:定理不等边三角形的内心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四边形的四个顶点.为了证明该定理,先给出如下几个引理:引理1△ABC中AD、BE、CF为三边上的高,垂心为H,则该三角形三边之中点,三个垂足D、E、F,三线段H A、H B、H C之中点九点