Indépendance algébrique sur les T-modules

We study the transcendence degree (of the values at algebraic points) of the coordinate functions of a given one parameter subgroup on a simple g dimensional T-module. In such a situation, we obtain a lower bound for this transcendence degree depending on g and on the growth order of the parameter subgroup. As a particular case, one gets the finite characteristic analogue of a result of Siegel on the algebraic independence for the values of the classical Bessel function.Résumé. Nous obtenons une minoration du degré de transcendance d'un ensemble de valeurs en des points algébriques des fonctions coordonnées d'un sous-groupe à un paramètre d'un T-module simple, en fonction de l'ordre de croissance de ces dernières et de la dimension du T-module. Un cas particulier de ce résultat permet d'obtenir en caractéristique finie un analogue d'un résultat de Siegel sur l'indépendance algébrique des valeurs de la fonction de Bessel usuelle.     

Mesures d’indépendance linéaire de logarithmes dans un groupe algébrique commutatif

This work falls within the theory of linear forms in logarithms over a connected and commutative algebraic group, defined over the field of algebraic numbers . Let G be such a group. Let W be a hyperplane of the tangent space at the origin of G, defined over , and u be a complex point of this tangent space, such that the image of u by the exponential map of the Lie group G(ℂ) is an algebraic point. Then we obtain a lower bound for the distance between u and W⊗ℂ, which improves the results known before and which is, in particular, the best possible for the height of the hyperplane W. The proof rests on Baker’s method and Hirata’s reduction as well as a new arithmetic argument (Chudnovsky’s process of variable change) which enables us to give a precise estimate of the ultrametric norms of some algebraic numbers built during the proof.

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Mathematics Subject Classification (2000) 11J86, 11J20, 14L10     

Formes linéaires de logarithmes de points algébriques sur les groupes algébriques

Dans ce papier, nous donnons des minorations de combinaisons linéaires à coefficients algébriques de logarithmes de points algébriques sur les groupes algébriques commutatifs: soitG un groupe algébrique commutatif connexe défini sur la clôture algébriqueQ de dans , et soitvT _G () un point de l'espace tangent dont l'image exp _G (v) par l'exponentielle deG appartient àG(Q). On cherche à minorer la distance du pointv aux hyperplansW deT _G (), rationnels surQ, qui ne passent pas parv. Cette minoration dépend, entre autres, d'un majorantB de la hauteur usuelle des coefficients d'une forme linéaire définissantW. LorsqueG est un groupe linéaire, il s'agit de minorer une combinaison linéaire de logarithmes de nombres algébriques, et la méthode de A. Baker permet d'obtenir une minoration

Propriétés d'indépendance algébrique de valeurs de séries de Hecke–Mahler

Here we characterize in a complete and explicit way the relations of algebraic dependence over $\mathbb{Q}$ of complex values of Hecke–Mahler series at algebraic points of the multiplicative group ${\mathbb{G}}_{\mathrm{m}}^2(\mathbb{C})$. Our result contains previous results of Loxton and van der Poorten, Mahler, and Masser. To cite this article: F. Pellarin, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).     

Sur les surfaces algébriques possédant un faisceau elliptique de courbes de genre deux

Sans résuméAddition à la Note Math. Ann. 72, p. 426.     

Sur les réseaux de courbes et de surfaces algébriques

Sans résumé     

Sur la détermination d'une courbe algébrique par des points donnés

Sans résumé     

Sur le polygone de Newton et les courbes algébriques planes

Sans résumé     

Sur les intégrales algébriques de différentielles algébriques

Sans résumé Les résultats obtenus parM. Humbert ont déjà été trouvés parM. Weierstrass bien des années auparavant et communiqués par lui dans son, cours sur les fonctions abéliennes. Mais la méthode suivie par les deux savants est tout à fait différente. ChezM. Weierstrass les conditions pour qu'une intégrale de la forme ∫R(x,y)dx soit une fonction algébrique dex découlent, comme simple corollaire, du théorème sur la réduction de chaque intégrale de la forme considérée à une somme d'intégrales normales de la première, de la seconde et de la troisième espèce. Pour effectuer cette réduction il faut et il suffit de conna?tre: 1^o les coefficients des puissances négatives det aux environs de tous les points analytiques pour lesquels le développement deR(x _t,y_t)dx_t/dt contient en général des puissances négatives det; 2^o la valeur deR(x, y) pourp points analytiques réguliers (a ₁, b₁), …, (t_p, b_p) choisis arbitrairement. Le, théorème deM. Weierstrass est cité, quoique sans démonstration, dans la thèse inaugurale deM. Hettner (Berlin, 1877).     

Extension dans un cadre algébrique d'une formule de Weil

Let R be a commutative A-algebra, and f=(f ₁,…,f _n ) a quasi-regular sequence such that P=R/(f) is finitely generated and projective over A. In the algebraic residue formalism due to J. Lipman, we propose the analog of an analytic Weil's formula. As applications, we first give some criterions for homomorphism from A[z] to A[z] to be finite when A is a n\oe therian ring, and then an algebraic proof of the usual analytic Weil's formula. Received: 27 April 1998     

Distances entre exponentielles et puissances d’éléments de certaines algèbres de Banach

Let A be a Banach algebra which does not contain any nonzero idempotent element, let γ > 0, and let . We show that if then . We also show, assuming a suitable spectral condition on x, that if , then Received: 12 July 2006 Revised: 31 January 2007     

Sur les critères d'équivalence en géométrie algébrique

Sans résumé     

Dualité de Spanier–Whitehead en géométrie algébrique

In this Note, we study finitely presented objects in the stable ${\mathbb{A}}^1$-homotopy category introduced by Morel and Voevodsky and we use a theorem by Voevodsky and Ayoub on the four functors to get Spanier–Whitehead duality in ${\mathbb{A}}^1$-homotopy theory. To cite this article: J. Riou, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).