Kippschwingungen und dynamische Kippstabilität der I-Träger bei Belastung durch Endmomente

Zusammenfassung Es wurde gezeigt, da\ ein in seiner Stegebene durch Endmomente mit oder ohne Axialkraft belasteter I-Träger (oder auch 'flanschloser Träger) fähig ist, zusammengesetzte Biege- und Torsionsschwingungen (Kippschwingungen) auszuführen. Im Falle zeitlich konstanter Belastung; also freier Kippschwingungen, sind jeder Schwingungsform zwei Eigenfrequenzen zugeordnet, von denen die eine verschwindet, sobald die Endmomente ihren kritischen Wert im Sinne der Stabilitätstheorie erreichen.Kommen zu konstanten Momenten harmonisch pulsierende Endmomente hinzu, so führt die Bestimmung der Verschiebungen als Funktionen der Zeit auf lineare Differentialgleichungen vierter Ordnung mit periodischen Koeffizienten, deren Lösungsformen auf eine Instabilität des Schwingungsvorganges in gewissen Bereichen der Erregerfrequenz schlie\en lassen. Diese Instabilität wird durch unbeschränktes Anwachsen der Schwingungsausschläge eines durch eine vorübergehende Störung aus seiner Mittellage ausgekippten Trägers gekennzeichnet.Da eine vollständige Auflösung der grundlegenden Differentialgleichung mit erheblichem Zeitaufwand verbunden ist, so wurden die Grenzen der Resonanzbereiche in einigen Sonderfällen nach einem vereinfachten Verfahren ermittelt. Im Falle harmonisch pulsierender MomenteM=M ₁ cos t bei konstanter Axialkraft haben sich lediglich die Resonanzbereiche gerader Ordnung (mit 'ganzperiodischer Resonanz) als von grö\erer praktischer Bedeutung erwiesen.Die Untersuchung mÚ\te zur Vereinfachung der Aufgabe auf sehr spezielle Voraussetzungen sowohl in bezug auf die Trägerbelastung (Endmomente) als auch in bezug auf die Randbedingungen (Lagerung in 'Gabeln) beschränkt werden. Es besteht jedoch kein Zweifel, da\ Kippschwingungen ähnlicher Art beliebig gelagerten I-Trägern eigen sind, und da\ auch die Voraussetzungen hinsichtlich der Verteilung der Querbelastung dabei sehr allgemein gehalten werden dürfen. Es ist insbesondere damit zu rechnen, da\ pulsierende Querlasten jeglicher Art in gewissen Bereichen ihrer Frequenz zu mehr oder weniger ausgeprägten, mit dem Auskippen des Trägers verknüpften Resonanzerscheinungen führen müssen.     

Auftrieb eines Flügels,der ein Gebiet erhöhter Geschwindigkeit schneidet

Zusammenfassung Es wird die Auftriebs- und Zirkulationsverteilung eines unendlich langen Flügels konstanter Tiefe berechnet, der sich in einer Grundströmung mit einer einzelnen oder zwei parallelen ebenen Unstetigkeitsflächen befindet, die zum Flügel senkrecht sind. Die Druckbedingung auf den Unstetigkeitsflächen wird hierbei für kleine relative Geschwindigkeitsunterschiede in der Grundströmung erfüllt. Für Auftrieb und Zirkulation ergeben sich geschlossene Ausdrücke. An den Durchstoßpunkten des Flügels durch die Unstetigkeitsflächcn ändert sich die Zirkulation unstetig, der Auftrieb dagegen stetig. Beide haben an diesen Stellen eine Singularität von der Form lim log und daher eine senkrechte Tangente. Im zweiten+0 Falle eines von zwei parallelen Ebenen begrenzten Streifens erhöhter Geschwindigkeit weisen die berechneten Verteilungen nur geringe Unterschiede gegen die vonC. Koning numerisch für den Kreisstrahl berechneten auf, sie sind daher gleichfalls als Auftriebs- und Zirkulationsverteilung eines Tragflügels im Schraubenstrahl brauchbar. In dem besonderen Fall, daß die kleinere der beiden Geschwindigkeiten der Grundströmung Null ist, erhält man den vonJ. Stüper behandelten Fall des durch einen Freistrahl hindurchgesteckten Tragflügels. Dieser Fall entspricht jedoch nicht mehr der gemachten Voraussetzung, daß der Geschwindigkeitssprung klein gegenüber der mittleren Geschwindigkeit sein soll. Im Falle einer einzelnen Unstetigkeitsfläche sind aber die Ergebnisse unabhängig von dieser Voraussetzung, so daß sie hierfür in die vonStüper gefundenen übergehen.     

Rheolineare Drehschwingungen in Kolbenmotoren

Zusammenfassung Die Berechnung der Drehschwingungen in den Kurbelwellen der Kolbenmotore führt in linearer Näherung für die Verdrehwinkel und Verdrehgeschwindigkeiten auf lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten, wenn man den Einfluß der hin- und hergehenden Triebwerkteile mitberücksichtigt. Dieses Differentialgleichungssystem ist inhomogen mit periodischen Störungsfunktionen auf Grund der äußeren Momente der Gaskräfte und als Folge des periodisch mit dem Verdrehwinkel schwankenden Einflusses der Triebwerkmassen. Die Lösung dieses Gleichungssystems setzt sich zusammen aus den erzwungenen Schwingungen als den speziellen Lösungen der vollständigen Gleichungen und den Lösungen der verkürzten Gleichungen, kurz freie Schwingungen genannt. Bei der Betrachtung dieser freien Schwingungen an dem Beispiel einer Vierzylinder-Zweitakt-Maschine ergeben sich zusätzliche kritische Drehgeschwindigkeiten auch wenn man den Dämpfungseinfluß mit den Zahlenwerten vonH. Holzer vereinfacht berücksichtigt. Ob diese neu berechneten kritischen Drehzahlen tatsächlich zu einer gefährlichen Laufunruhe im Betrieb der Maschinen führen, kann wohl nur experimentell beantwortet werden, da man rechnerisch eine nichtlineare Theorie mit Einschluß der Dämpfung heranziehen müßte, was derzeit kaum Aussicht auf Erfolg bietet.     

Die Entzerrung bei linearen physikalischen Systemen

Zusammenfassung Es wird allgemein der Zusammenhang zwischen der Erregung eines linear arbeitenden Meßinstruments und der zugehörigen Anzeige bei Einschwingvorgängen untersucht. Die Bestimmung der Erregung aus der Anzeige ist mit der Lösung einer linearen Volterraschen Integralgleichung gleichwertig, deren Kern eine Ableitung der Übergangsfunktion ist. Wegen der Linearität des Systems kann die ErregungE (t) auch als Faltung einer Entzerrungsfunktion mit einer Ableitung der AnzeigeA (t) gewonnen werden. Die sich aus der Trägheit des Systems ergebenden Schwierigkeiten, die bei der Bestimmung der Erregung auftreten, werden besprochen. Schließlich werden noch einige praktische Winke zur Berechnung von Faltungsintegralen gegeben.     

Schubspannungsverteilung im Querschnitt einer Schraubenfeder

Zusammenfassung Es werden die Verzerrungsgrößen für eine durch Zug oder Druck deformierte Schraubenfeder von kreisförmigem Querschnitt bei kleiner Formänderung ohne Vernachlässigung des Verhältnissesa/R (Querschnittsradius: Wicklungshalbmesser) aus der allgemeinen Theorie der Biegung und Drillung dünner Stäbe entnommen. Für den Sonderfall einer Einzelwindung, die zum Ringwulst deformiert wird, werden (unter Angabe des Gültigkeitsbereichs) die Drillungsspannungen bis zur Größenordnung (a/R)² genau berechnet. Es wird gezeigt, daß diese Lösung mindestens auf den Fall einer Schraubenfeder mit einer Steigung von höchstens a/R übernommen werden kann. Der Einfluß der Federkrümmung auf das Drillungsmoment ergibt sich als nur geringfügig. Dagegen zeigt die Spannungsverteilung eine erhebliche Abweichung von der beim gedrillten zylindrischen Stab auftretenden linearen Verteilung. Dies bedingt auch einen starken Einfluß auf den Zusammenhang zwischen maximaler Schubspannung und Drillungsmoment.     

Zur Berechnung der kritischen Geschwindigkeit der reibungs- und relaxationsfreien thermochemischen Gasströmung durch Rohr und Düse

Zusammenfassung Die kritische Geschwindigkeit der Rohr- bzw. Düsenströmung eines chemisch veränderlichen Gasgemisches wird unter den Annahmen des permanenten chemischen Gleichgewichts, der Reibungslosigkeit und stationärer Verhältnisse nach der Stromfadentheorie berechnet und mit der Schallgeschwindigkeit verglichen. Es zeigt sich, daß die kritischen Geschwindigkeiten mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit niederfrequenter Schallwellen über-einstimmen, in denen das chemische Gleichgewicht der Zustandsänderung ohne Verzögerung folgt.Die Rechnung wird am Beispiel der Strömung von CO₂ bei 2000° K und l Atm. unter Dissoziation in CO und O₂ erläutert. Hierbei ist die Schallgeschwindigkeit bei konstanter chemischer Zusammensetzung um etwa 0,5% höher als die kritische Strömungsgeschwindigkeit, was man mit dem höheren Wert der spezifischen Wärmen im Falle des Dissoziationsgleichgewichts erklären kann.     

Schwingungen rotierender und rollender Reifen

Zusammenfassung Es werden die Schwingungserscheinungen von rollenden und frei rotierenden Reifen mit und ohne Speichen untersucht. Es zeigt sich dabei, daß beim rollenden Reifen gewisse Resonanzdrehzahlen auftreten, bei denen der als Störungskraft wirkende Bodendruck den Reifen zu unendlich großen, bei Vorhandensein von Dämpfungskräften zu verhältnismäßig großen Schwingungen anregt. Die zugehörigen Eigenschwingungsformen sind die trigonometrischen Funktionen cosn bzw. sinn . Bei einem speichenlosen Reifen gehört die niedrigste Rsonanzdrehzahl zu dem Eigenwertn=2. Bei dem Reifen mit Speichen kann. sie auch einem Eigenwertn>2 zugeordnet sein.Neben den Rcsonanzdrchzahlen _nhat noch die sog. kritische Drehzahl _kBedeutung, oberhalb deren der Reifen auch ohne Vorhandensein äußerer Störungskräfte mit exponentiell anwachsenden Schwingungsamplitudcn ausknickt. Beim rollenden Reifen ist die kritische Drehzahl _ketwas kleiner als beim frei rotierenden. Nur die unterhalb _kliegenden Resonanzdrehzahlen _nhaben praktische Bedeutung. Die Drehzahl _zbei der der Reifen statisch infolge der durch die Fliehkräfte hervorgerufenen Zugspannungen zerreißt, kann wesentlich höher liegen als _k, Durch Druckvorspannung der Speichen lassen sich _kund die unterhalb _kliegenden _nerhöhen, während _zabsinkt. Bei geeigneter Wahl der Speichenvorspannung läßt sich also eine technisch günstigste Lösung erzielen, bei der _z, und _kdieselbe Größe haben.     

Über das Ausbeulen von rechteckigen,isotropen oder orthogonalanisotropen Platten bei Schubbeanspruchung

Zusammenfassung Für eine an den Rändern einspannungsfrei gestützte isotrope rechteckige Platte kann die kritische Schublastt _kr nach (13) berechnet werden. In dieser Gleichung bedeutetb die Plattenbreite,D die nach (6) zu berechnende Plattensteifigkeit undc _a einen Beiwert, der aus dem Schaubild Abb. 7 zu entnehmen ist. Für eine orthogonal-anisotrope Platte ist in entsprechender Weise (16a) anzuwenden; der in (16a) vorkommende Beiwertc _a ist in dem Schaubild Abb. 10 dargestellt. Die SteifigkeitenD ₁,D ₂ undD ₃ der orthogonal-anisotropen Platte sind durch die Gleichungen (1a) gegeben. Die Bestimmung der Beiwertec _a undc _b ist in Abschnitt6 gezeigt. Wenn der durch (3) gegebene Kennwert>1 ist, so empfiehlt es sich, Gleichung (16a) anzuwenden; für Kennwerte<1 dagegen ist Gleichung (16b) vorteilhafter.Wie durch eingehende Untersuchungen gezeigt wird, dürfte der in der vorliegenden Arbeit auf Grund einer Näherungstheorie berechnete Beiwertc _a der kritischen Schublast genügend genau sein (ein Fehler tritt wahrscheinlich erst in der zweiten Stelle nach dem Komma in Erscheinung), um so mehr, als die Voraussetzungen der Theorie praktisch niemals genau erfüllt sein werden; besonders groß scheint bei sehr dünnen Platten der störende Einfluß auch sehr geringer (praktisch nicht ganz vermeidbarer) anfänglicher Ausbeulungen zu sein, wie die Ergebnisse von durchgeführten Versuchen zeigten.Diese Versuchsergebnisse sowie Zahlenbeispiele zu der hier behandelten Aufgabe werden in einer weiteren Arbeit mitgeteilt werden.     

Anwendungen des Adamsschen Integrationsverfahrens in der Ballistik

Zusammenfassung Zusammenfassend beurteilen wir jetzt die drei in Ziff. 3, 4, 5 entwickelten Verfahren nach der zu erzielenden Genauigkeit und der zu leistenden Rechenarbeit. Dabei gehen wir von einer Genauigkeitsforderung von etwa 1 v. Tsd. für die Ortskoordinatenx, y aus; eine höhere Genauigkeitsforderung ist wegen der Idealisierungen in den Voraussetzungen und insbesondere wegen der Unsicherheit derK (w)-Kurve physikalisch gegenstandslos.Aus dem groben Fehlerüberschlag in Ziff. 5 und der Gegenüberstellung der Ergebnisse in den Zahlentafeln 3 und 5 für das durchgerechnete Beispiel folgt:Für die Zeitstufen von zuersth=1 und späterh=2 [s] genügt das gemischte und im großen und ganzen auch das etwas weniger genaue extrapolative Verfahren der verlangten Genauigkeitsforderung von 1 v. Tsd. in denx, y. Bei dem noch wesentlich genaueren interpolativen Verfahren bleiben die Fehler auch für die doppelten Zeitstufenh=4 [s] und sogar im kritischen Gebiet innerhalb der zulässigen Grenzen.Der Rechenaufwand ist beim extrapolativen und beim gemischten Verfahren gleich groß. Beim interpolativen Verfahren genügt bei den Zeitstufen von zuersth=1 und späterh=2 [s] im allgemeinen eine einmalige Iteration; obwohl hierbei die zeitraubende Zwischenrechnung für und nicht wiederholt werden muß, wird trotzdem durch die nachträglichen Interpolationen der Rechengang empfindlich gestört und der Zeitaufwand gesteigert. Bei größeren Zeitstufen (vgl. Zahlentafel 2) sind mehrfache Iterationen und infolgedessen mehrmalige Wiederholungen der Zwischenrechnungen für und erforderlich; der Zeitaufwand wächst hierbei auf das 2–3fache und der Rechengang verliert an Zügigkeit und Übersichtlichkeit.Alles in allem kann daher das gemischte Verfahren als das für die praktische Rechnung vorteilhafteste bezeichnet werden unter Zugrundelegung der Zeitstufenh=1 undh=2 [s]. Der Einfluß der in den Rechnungen mitgeführten dritten Differenzen ³ ist hierbei belanglos, wird aber bei größeren Zeitstufen merkbar (vgl. Zahlentafel 2).     

Schubspannungsverteilung im Querschnitt eines gedrillten Ringstabs mit Anwendung auf Schraubenfedern

Zusammenfassung Die in der ersten Mitteilung Schubspannungsverteilung im Querschnitt einer Schraubenfeder für eine zum Ringwulst gedrillte Schraubenwindung kleiner Steigung aufgestellten Differentialgleichungen für die Spannungen und ihre näherungsweise Integration in erster und zweiter Ordnung werden auf den Fall eines Ringstabs mit elliptischem und mit rechteckigem Querschnitt angewandt. Dabei wird, statt mit der Querschnittsverwölbung selbst zu rechnen, von einer Spannungsfunktion Gebrauch gemacht. Es wird bewiesen, daß für einen Ringstab mit beliebigem Querschnitt, der aber eine Symmetrieachse parallel zur Ringstabachse besitzt, die Korrektion des Drillungsmomentes in erster (und jeder ungeraden) Ordnung verschwindet. In der Anwendung auf Schraubenfedern mit rechteckigem Querschnitt werden der Zusammenhang zwischen Federverlängerung und Zugkraft und die Frage der größten Schubspannung be trachtet.     

über die Knickung der Kreisringplatte von veränderlicher Dicke

Zusammenfassung Die Grundgleichung vonK. Federhofer für die Ausbiegung einer nur am Au\enrand gedrückten Kreisringplatte bei kräftefreiem Innenrand wird darauf hin untersucht, für welche Exponentenn des Plattenprofilsh=c r ⁿ eine Integration mit Hilfe der Whittakerschen Funktion möglich ist. Au\er den durch Zylinderfunktionen bereits behandelten Fällenn=0 undn=(5–)/6, ergibt sich je eine Schar von hyperbolischen und parabolischen Profilen, wobei der Exponentn von der Querdehnungszahl des Plattenwerkstoffs abhängt. Es werden die Lösungen der Federhoferschen Grundgleichung mit Hilfe der Whittakerschen Funktion explizit hingeschrieben, und in den Fällenn=0 undn=(5–)/6 die Zurückführung auf Zylinderfunktionen gezeigt. Die Knickbedingungen für die drei möglichen Auflagerungen bei querkraftfreiem Innenrand werden aufgestellt. Die numerische Auswertung soll später mitgeteilt werden.     

Berechnung der kritischen Umlaufzahlen für die Welle eines Flugzeugmotors

Zusammenfassung Die kritischen Zustände rotierender Kurbelwellen liegen bei solchen Werten der Winkelgeschwindigkeit, für welche die periodischen Differential-gleichungen der Bewegung, in denen als Parameter vorkommt, periodische Lösungen der Periode 2 besitzen.Für die Aufsuchung der kritischen-Werte geht man folgendermaßen vor: Man ersetzt zunächst die periodischen Koeffizienten der Differentialgleichungen durch ihre Mittelwerte. Dadurch erhält man Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Nach bekannten Methoden ermittelt man als Ausgangsnäherung diejenigen-Werte, für welche die vereinfachten Gleichungen periodische Lösungen der Periode 2 haben. Diese Ausgangsnäherungen werden dann nach einer Rayleighschen Methode korrigiert. Diese besteht in folgendem: Man sieht die Abweichungen der periodischen Koeffizienten von ihrem Mittelwert, die Abweichungen der kritischen von der Ausgangsnäherung und die Abweichungen der Lösungen der ursprünglichen Gleichungen von denen der Näherungsgleichungen als klein an, vernachlässigt Glieder höherer Ordnung und bekommt so Gleichungen vom Typus der Gleichungen für erzwungene Schwingungen im Resonanzfalle. Die Bedingungen für die Existenz periodischer Lösungen liefern das Ergebnis, daß die Ausgangsnäherungen für die kritischen-Werte eine Aufspaltung in zwei benachbarte Werte erfahren.Diese Methode habe ich zur Berechnung der kritischen Zustände für die Kurbelwelle eines Sechszylinderflugmotors angewendet und die Ergebnisse mit den Ergebnissen der klassischen Methode verglichen.Herrn Professor Dr. Trefftz, der die Anregung zu dieser Arbeit gegeben hat, sei auch an dieser Stelle für die freundliche Unterstützung bei ihrer Ausführung mein verbindlichster Dank ausgesprochen.     

Über den Fahrzustand des Kraftwagens auf einer ebenen Kreisbahn ohne Überhöhung

Zusammenfassung Es wurde ein Verfahren für programmgesteuerte Rechenmaschinen angegeben, das es gestattet, die stationäre Kurvenlage des Kraftwagens und dessen Stabilität gegenüber kleinen Störungen zu bestimmen. Da die derzeit üblichen Fahrgestellkonstruktionen sehr verschiedenartige mechanische Eigenschaften aufweisen, ist von Anfang an angestrebt worden, eine allgemeine Methode zur exakten Berechnung zu entwickeln, ohne auf bauliche Einflüsse näher einzugehen, die vom jeweiligen Fahrzeugtyp zu sehr abhängen und in Form von Kennlinien eingeführt werden können. Auf diese Weise lassen sich auch erweiterte Fragestellungen, z. B. bezüglich Lenkungseigenschaften, behandeln.Die Bewegungsgleichungen des Kraftwagens wurden mittels eines Störungsansatzes in Gleichungen für die stationäre Kreisfahrt und in gewöhnliche lineare homogene Differentialgleichungen für die Störbewegung aufgespalten. Die sieben Gleichungen für den Stationärzustand sind nichtlinear, so daß der gesuchte Zustandsvektor mittels eines Iterationsprozesses berechnet werden muß. Die Untersuchung des Störungszustandes beschränkte sich auf die Bestimmung von Dämpfung und Frequenz der Bahnschwingung. Nick-, Wank- und Hubschwingungen des Wagenkastens blieben unberücksichtigt.Als Beispiel wurde die Fahrlage eines Rennwagens in einer gegebenen Kreisbahn berechnet. Die Variation der Fahrgeschwindigkeit erfolgte dabei von Null bis zur kritischen Geschwindigkeit. Durchgeführt wurden die Berechnungen mittels des digitalen Rechners ER 56 der Technischen Hochschule Stuttgart. Für einen Iterationsschritt benötigte das Programm eine Minute, die Durchrechung des ganzen Beispiels dauerte eineinhalb Stunden.     

Das Torsionsproblem für den exzentrischen Kreisring

Zusammenfassung Für das auf Torsion beanspruchte exzentrische Kreisrohr wurden Torsionsfunktionen, Drillungsmoment und größte Schubspannungen auf dem von A. und L. Föppl vorgeschlagenen Wege über nicht isometrische Dipolarkoordinaten bestimmt und zahlenmäßig diskutiert. In Hinsicht auf die von H. M. Macdonald erhaltenen Ergebnisse ist folgendes zu bemerken: Das Drillungsmoment, für das Macdonald nur die drei ersten Glieder der Entwicklung angibt, stimmt mit dem von uns gewonnenen Ausdruck, explizit geschrieben, überein. Bei den Schubspannungen, von denen bei Macdonald gleichfalls nur drei Glieder mitgeteilt sind, bestehen bereits im zweiten Term Abweichungen, die möglicherweise durch Druckfehler entstanden sind. Neben dieser Richtigstellung und der zahlenmäßigen Wiedergabe der Ergebnisse sind in der vorliegenden Mitteilung wesentlich neu die in Gleichung (17) und (21) eingeführten KoeffizientenR _n, S_n, T_n und die dafür angegebenen einfachen Rekursionsformeln, die eine mühelose Berechnung der Zahlenwerte erst ermöglicht haben.     

Turbulente Grenzschichten an gewölbten Flächen

Zusammenfassung Die Versuche hatten den Zweck, festzustellen, ob und wie die Vorgänge in turbulenten Grenzschichten durch eine Krümmung der Oberfläche beeinflußt werden. Von den ausgeführten Versuchsreihen wurden im wesentlichen nur die VersuchsreihenH undF, bei denen die innere und äußere Grenzschicht der gewölbten Flächen durch eine Schicht mit Potentialströmung getrennt waren, und teilweise die VersuchsreiheD ausgewertet. Eine theoretische Impulsbetrachtung lieferte Formeln, um aus den Messungsergebnissen die Schubspannungen und damit die Austauschgröße des Impulses (die scheinbare kinematische Zähigkeit) und die mit ihr zusammenhängende freie Weglängel der turbulenten Austauschbewegung zu berechnen. Ein Vergleich derl-Kurven mit denjenigen an einer ebenen Platte ergab an der Außenwand des Krümmers sehr viel größere Werte als bei der ebenen PlatteWenn auch die erhaltenen Resultate durch störende Nebeneinflüsse, die insbesondere am Anfang und Ende des Krümmers durch die dort herrschenden Druckverhältnisse hervorgerufen waren, etwas verschleiert wurden, so dürften sie doch in der Hauptsache auf die Krümmung zurückzuführen sein. Die mitgeteilten Ergebnisse sind in vieler Hinsicht noch mangelhaft, zeigen aber doch, daß den Grenzschichtvorgängen an gekrümmten Oberflächen mehr Bedeutung zukommt, als man bisher im allgemeinen annahm, indem an konkaven Flächen die Turbulenz sehr stark erhöht, an konvexen dagegen erniedrigt wird.Göttinger Dissertation. Referent: Prof. Dr. A. Betz, Korreferent: Prof. Dr. L. Prandtl.     

Über die Verwendung des Energiesatzes zur Lösung von Oberflächenwellenproblemen

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß im Falle der Wellenerrcgung durch stationär schwingende Erreger der Energiesatz auf rechnerisch einfachem Wege eine Näherungsbeziehung für die Amplitude der ins Unendliche abwandernden Oberflächenwellen ergibt. Die Näherung erweist sich dabei um so besser, je kleiner die Längenabmessungen des Wellenerregers gegenüber den sonst vorkommenden Längen (Eintauchtiefe, Wellenlänge) sind. Diese allgemein abgeleitete Näherungsbeziehung wird für zwei einfache Fällc der Wellenerregung durchgerechnet. Der erste Fall, die periodische Quelle führt auf ein einfaches Ergebnis, das in Übereinstimmung mit der für diesen Fall der Wellenerregung bereits vorhandenen strengen Theorie ist¹. Der zweite Fall, der Tauchschwingungen ausführende Quader führt ebenfalls auf eine einfache Beziehung für die erzeugte Wellenamplitude. Für den Grenzfall verschwindender Quaderbreite geht diese wieder in die Lösung für die periodische Quelle über. Für den Grenzfall verschwindender Eintauchtiefe wird der Vergleich mit einer schon vorhandenen Theorie durchgeführt. Endlich werden die beiden gerechneten Fälle mit am Tauchschwingungen ausführenden Quader durchgeführten Experimenten verglichen.Die vorstehende Arbeit wurde auf Veranlassung von Herrn ProfessorSchuler im Institut für angewandte Mechanik der Universität Göttingen durchgeführt. Herrn Prof.Schuler sowie Herrn Prof.Prandtl bin ich für die Förderung der Arbeit zu Dank verpflichtet.     

Über die freien Bewegungen einfacher Schwinger mit nicht gerader Kennlinie

Zusammenfassung Zur Bestimmung der Schwingzeit von Systemen mit nicht gerader Kennlinie hatte man bisher, falls die Aufgabe sich nicht streng lösen ließ, entweder die Methoden der graphischen oder numerischen Integration auf Einzelfälle angewendet oder nach Ersatz der gekrümmten Kennlinie durch einen Streckenzug auch ein graphisches, das ist auf den Einzelfall beschränktes, Verfahren benutzt; Ausdrücke, die, wenn auch nur angenähert, die Schwingzeit in allgemeinen Zeichen angaben, so daß auch der Einfluß der einzelnen Parameter erkennbar blieb, fehlten. Zwei Wege zu diesem Ziel werden aufgezeigt: Integration von Gleichung (3.4) nach der Simpsonschen Regel und Herstellung von rechnerischen Ausdrücken nach Ersatz der gekrümmten Kennlinie durch einen Streckenzug. Im ersten Fall erhält man nur einen Näherungswert, der aber, wie man allgemein weiß und wie das Beispiel zeigt, sehr genau ist (Fehler < I). Die Näherungen, die man auf dem zweiten Weg erhält, sind gröber, wenn man nicht viel Rechenarbeit aufwendet. Dafür kennt man allerdings die Richtung des Fehlers.     

Neue kritische Drehzahlen von einfach besetzten Wellen

Zusammenfassung Wird eine mit einer einzelnen Scheibe besetzte, masselose Welle mit einer periodischen Längskraft P ₀üP ₁ cos t oder mit einem periodischen Torsionsmoment W ₀üW ₁ cos t belastet, so ergibt es unter der Annahme, daß bei umlaufenden Wellen die Frequenz mit der Drehzahl der Welle gemäß der Beziehung = gekoppelt ist, auch bei konstantem und um so mehr bei rein harmonisch periodischem Antriebsmoment der Scheibe neben der kritischen Drehgeschwindigkeit erster Art = _k unendlich viele kritische Zustände zweiter Art bei den Drehgeschwindigkeiten = _k/¦ n±1¦ (n=1, 2, 3, ...), falls die Scheibe etwas exzentrisch auf die Welle gekeilt ist. Die Gefährlichkeit der kritischen Drehzahlen zweiter Art ist jedoch viel geringer als die der kritischen Drehzahl erster Art.Außer den genannten kritischen Drehzahlen ergeben sich ohne Dämpfung noch unendlich viele kritische Drehzahlbereiche in der Nähe des 2/m v-fachen der kritischen Drehzahl _k, in denen die mit der Scheibe besetzte Welle exponentiell mit der Zeit anwachsende Biegeschwingungen ausführt. Die Breite dieser Bereiche und die Ausweichgeschwindigkeit der Scheibe nehmen mit wachsendem P ₁ bzw. W ₁ zu. Da die Ausweichgeschwindigkeit exponentiell mit der Zeit anwächst, unterscheiden sich diese neuen kritischen Drehzahlen dritter Art wesentlich von den kritischen Drehzahlen erster und zweiter Art, bei denen die Scheibe ja mit konstanter Geschwindigkeit ausweicht. Dieser Unterschied kommt besonders dann zur Geltung, wenn man noch den Einfluß einer geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung berücksichtigt. Eine solche begrenzt bei den kritischen Zuständen erster und zweiter Art das seitliche Ausweichen der Scheibe, während bei den neu gefundenen kritischen Drehzahlen dritter Art die Amplitude der Biegeschwingung nach wie vor unbegrenzt anwächst. Allerdings fallen infolge der Dämpfung die Bereiche mit höheren Ordnungszahlen m weg, und die übrigen werden um so kleiner, je größer die dazugehörende Ordnungszahl m ist. In der Praxis müssen — wie an zwei Zahlenbeispielen gezeigt wurde — ein erster Linie die Instabilitätsbereiche beachtet werden, die in der Nähe von 2 _k/ und _k/ liegen.     

Über einen Energiesatz zur Berechnung laminarer Grenzschichten

Zusammenfassung Analog zur Impulsgleichung wird eine Energiegleichung für die Reibungsschicht bei stationärer, ebener und inkompressibler Strömung abgeleitet. Auf Grund dieser beiden Gleichungen wird dann ein zweiparametriges Rechenverfahren für laminare Grenzschichten entwickelt, wobei für die Geschwindigkeitsprofile ein Polynom elften Grades angesetzt wird. Da das Verfahren wenigstens mit diesem Ansatz nicht bereits vom Staupunkt ab angewandt werden kann, wird die Grenzschicht zweckmäßig nach dem sehr handlichen einparametrigen Verfahren von Walz bis in die Nähe des Druckminimums und erst von dort ab — im Gebiet des Druckanstieges — nach dem neuen Verfahren berechnet. Solange der Druck abfällt, entstehen nämlich bei dem einparametrigen Verfahren nur geringe Fehler; außerdem werden diese Fehler durch die zweiparametrige Rechnung zum größten Teil wieder korrigiert. Auf diese Weise wird vor allem das Gebiet der Ablösung mit derselben Genauigkeit wie bei den exakten Grenzschichtrechnungen erfaßt, wie an drei Beispielen gezeigt wird: Zur Durchführung eines Rechenschrittes ist schätzungsweise etwa folgende Zeit nötig: Bei den einparametrigen Verfahren 2–3 Minuten, bei dem vorgeschlagenen zweiparametrigen 6–8 Minuten, dagegen bei dem Differenzenverfahren nach Görtler etwa 1 Stunde.Habilitationsschrift, Göttingen 1945.     

Über Druckermittlung in der nichtstationären ebenen Strömung

Zusammenfassung Im experimentellen Teil wird die ebene Strömung um einen Kreiszylinder, an der Oberfläche durch aufgestreute Teilchen sichtbar gemacht, mit langen Belichtungszeiten kinematographisch aufgenommen. Aus den Weglängen der einzelnen Teilchen wird auf ihre Geschwindigkeit geschlossen, die KrÜmmungshalbmesser ihrer Bahnen werden ermittelt, die Drucke längs einer Stromlinie nach dem allgemeinen Satz vonBernoulli bestimmt quer zu den Stromlinien nach der Fliehkraftformel(p=p ₀ + v ² /r d s'). Die Druckverteilungskurven fÜr verschiedene Entwicklungsstadien des Wirbelpaares sowie fÜr einen Zustand der Wirbelstraße werden gezeigt, das Druckfeld ermittelt, das Absinken des Druckes hinter dem Zylinder betrachtet und die änderung des Druckwiderstandsbeiwertes mit der Zeit dargestellt. Dieser erreicht etwa den doppelten Wert wie im Beharrungszustand. FÜr einen Zustand der Wirbelstraße wird die unsymmetrische Druckverteilung am Zylinder gezeigt und die Kraft quer zur Strömungsrichtung ermittelt; sie beträgt in diesem Fall Über 40% des Widerstandes.Im theoretischen Teil ist der gewöhnlichen Potentialströmung eine Quellsenkenströmung Überlagert, deren Potential durch eine Reihenentwicklung gewonnen wird, woraus die Geschwindigkeitskomponenten abgeleitet werden. In der Beziehung fÜr den Druck wird die Zeitabhängigef (t)/a und ihre Ableitung aus der gemessenen Bewegung des freien Staupunktes bestimmt.Der Vergleich der rechnerischen und experimentellen Ergebnisse zeigt gute Übereinstimmung im Stromlinienbild. Auch die Annäherung des gerechneten an den experimentell gewonnenen Druckverlauf auf der Nullstromlinie fÜr einen frÜhen Entwicklungszustand des Wirbelpaares ist befriedigend; später zeigt die Rechnung starke Abweichungen vom Versuchsergebnis. Das rechnerische Bild des Druckfeldes wird mit dem experimentellen verglichen, der rechnerische Druckverlauf auf der Symmetrielinie hinter dem freien Staupunkt und der Abfall des Drucks in diesem abhängig von der Zeit in befriedigender Annäherung an das Versuchsergebnis erhalten.Es wird somit die Möglichkeit erwiesen, zeitlich veränderliche ebene Strömungen in ihren dynamischen Einzelheiten experimentell zu verfolgen und nötigenfalls auch analytisch darzustellen.