阿波罗尼斯圆的变式应用

<正>人教A版必修2第140页利用"几何画板"探究了动点轨迹的形状:已知点P(2,0)、Q(8,0),点M与点P的距离是它到点Q距离的1/5,探究点M的轨迹,并给出轨迹的方程.得到点M的轨迹是圆,即阿波罗尼斯圆.阿波尼斯圆的定义:平面内,若动点P到两定点A、B的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),则动点P的轨迹是圆,称之为阿波罗尼斯圆.     

新题征展(108)

A题组新编1.(翁华木)(1)将边长为为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的外心O,如图1所示,则AO=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是.(用文字描述轨迹的形状,下同)图1(2)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的重心G,如图2所示,则AG=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图2(3)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的内心I,如图3所示,则AI=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图3图42.(王志海董云波)如图4所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足AM=2AP,NP·AM=0,点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线y=kx+k2+1与(1)中所求点N的轨迹E交于不同两点F、H,O是坐标原点,且...     

一道易错题的解析

例题已知平面内有一定点A与一定直线l,点P是平面上的动点,且点P到l的距离比到点A的距离小2,则点P的轨迹是().(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)无法确定许多同学都认为答案是(C),因为大家习惯上都会像图1那样在平面内任取一点P,然后将l向右平移2个单位,成为直线l′,则P就是到定点A与到定直线l′距离相等的点,根据定义,其轨迹是抛物线,这种解法看似无懈可击     

不能乱套公式

在圆锥曲线这一块,利用标准方程来处理 一些相关的题目往往事半功倍,能大大简化运 算过程.因此,遇到此类题目时,大家很容易不 假思索地采用标准方程.殊不知,有时会产生 意想不到的错误. 请看以下两个例子: 1.点P与定点(2,0)的距离和它到直线x =8的距离的比是1/2,求点P的轨迹方程,并说 明轨迹是什么图形. 2.点P与定点(2,0)的距离和它到直线x =8的距离的比是2~(1/2)/2,求点P的轨迹方程,并 说明轨迹是什么图形. 题1为人教版新教材103页题,大部分同 学解答如下:     

2023年新高考Ⅰ卷圆锥曲线解答题的解法探究

<正>圆锥曲线作为高中数学的重要知识点,主要考查数学运算和逻辑推理能力,2023年新高考Ⅰ卷第22题是一道圆锥曲线的证明题,我们一起来探究它的解法．1真题展示(2023年新高考Ⅰ卷第22题)在直角坐标系xO y中,点P到x轴的距离等于点P到点(0,1/2)的距离,记动点P的轨迹为W.     

十年热考,题根研究——阿波罗尼斯圆

<正>上教版高二年级下学期数学练习册22页第4题:已知A,B两点相距10厘米,动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍,求点P的轨迹.公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在?平面轨迹?一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.     

一道课本习题的错解及剖析

高中数学第二册 (上 ) (试验修订本·必修 )P1 0 3上有这样一道习题 :点P与一定点F( 2 ,0 )的距离和它到一定直线x =8的距离的比是 1∶2 ,求点P的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .常见解法 :由椭圆的第二定义及性质得 :c=2ca=12 a =4 b=2 3于是点P的轨迹是椭圆x21 6+y21 2 =1这种解法靠得住吗 ?不妨再看一例 :点P与一定点F( 1 ,0 )的距离和它到一定直线x =5的距离的比是 1∶ 3 ,求点P的轨迹方程 .错解 1 :同上例得所求的方程为x23 +y22 =1 .错解 2 :由椭圆的性质得c=1a2c=5 a2 =5,b2 =4.于是所求的方程为 x25+y24=1 .错解 3 :由椭圆的…     

犹抱琵琶半遮面 千呼万唤始出来——2023年新高考I卷压轴题

<正>1试题呈现(2023年新高考Ⅰ卷第22题)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点■的距离,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于■.2试题分析与思维导图2.1第(1)问的分析第(1)问难度较低,直接利用抛物线定义或者将题干直接“翻译”成数学符号语言就可以得出来.     

争鸣

问题　　 问题 85　1　人教版数学 (必修 )第二册 (上 )的P72 的习题 7.5的第 7题 :求与点O( 0 ,0 )与A(c,0 )的距离的平方差为常数c的点的轨迹方程 .在其配套的人教版数学 (必修 )第二册 (上 )教师教学用书的P50 给出了答案 :当c≠ 0时 ,轨迹方程为x =c± 12 ;当c=0时 ,轨迹为整个坐标平面 .显然 ,在本题中 ,若设动点为M ,答案的意思就是 :当c≠ 0时 ,|MO| 2 - |MA| 2 =c或 |MA| 2 - |MO| 2 =c,即认为点O ,点A无先后顺序之分 .2　人教版数学 (必修 )第二册 (上 )的P78的例5 :已知一曲线是与两个定点O( 0 ,0 ) ,A( 3,0 )距离的比为 …     

对新课标选修教材中两个易错问题的辨析

问题1 平面内到定点F的距离比到定直线l的距离大(小)d的轨迹一定是以定点F为焦点的抛物线吗? 　　北师大版新课标教材<数学(选修2-1)>(以下简称新教材)第73页练习2第4题: 　　平面上动点M到点F(3,0)的距离比M到y轴的距离大3,求动点M满足的方程.……     

赏析和拓广2009年高考数学湖南卷第20题

题目在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d.当点P运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和. 　　(Ⅰ)求点P的轨迹C; 　　(Ⅱ)设过点F的直线l与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值.……     

思想碰撞闪烁智慧火花 方法交流展示思维风采

题目已知点C(1,0),点A,B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足AC·BC=0,设P为弦AB的中点.(Ⅰ)求点P的轨迹T的方程;(Ⅱ)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.     

是在方程的曲线上还是在点的轨迹上

这是现行教材《平面解析几何》第63页的例2：点M与两条互相垂直的直线的距离积是常数k(k>0),求点M的轨迹方程。教材在导出方程     

降维法解一类空间轨迹问题

降维法是指将三维立体几何问题化归到 二维平面问题．本文将一类空间轨迹回归求平 面曲线轨迹． 例1 (2004重庆市高考题)在四面体 ABCD的面ABC内有一点P,P到平面BCD 的距离等于P到AB的距离,则在平面ABC 内的P点轨迹为( )．     

到两定直线距离之和(差积商)为定值的点的轨迹

<正>平面上到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,这一轨迹概念有各种各样的推广.本文讨论了平面内到两相交直线距离之和、差、积、商为定值的点的轨迹,可供中学生及老师参考.为研究方便,不妨设两相交直线为l_1:y=kx,l_2:y=-kx(k>0),动点P(x,y)到l_1、l_2的距离分别记为d_1,d_2,且d_1与d_2之和(差、积、商)m为定值且不等于0.     

一次研究性学习的体验和感悟

在一节习题讲评课上,我讲评了一道习题:"已知动点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线L:x 6=0的距离小2,求动点P的轨迹方程".这道题大部分学生在作业中是直接根据题     

能这样求椭圆方程吗?

教材《平面解析几何》有这样一道习题: 点p与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1:2,求P点的轨迹方程。不少资料,以至不少的学生有这么一种解法:由圆锥曲线的统一定义可知点p的轨迹是一椭圆,由椭圆的性质得:于是点P的轨迹是椭圆x~2/16+y~2/12=1。这种解法靠得住吗?不妨再看一例。已知椭圆的离心率为1/3~(1/2)右焦点为(1,0),右准线为x=5,求其方程。解法1 由椭圆的性质得     

2010年高考数学四川卷理科(20)题解法探究

2010年高考数学四川卷理科(20)题:已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=(1)/(2),不在x轴上的动点P与点F的距离是它到定直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B,C两点,直线AB,AC分别交l于点M,N.     

浅析平面内常见曲线定义及性质的应用

平面内常见曲线有:线段的垂直平分线,角平分线,圆及圆锥曲线等.他们的定义分别如下:(1)线段的垂直平分线是平面内到两定点的距离相等的点的轨迹.(2)角平分线是平面内到角两边距离相等的点的轨迹.(3)圆是平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹.     

新题征展(108)

A 题组新编 　　1.(翁华木)(1)将边长为为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的外心O,如图1所示,则AO=_____;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是_____.(用文字描述轨迹的形状,下同)……