Optimale Quantisierung

Zusammenfassung. Optimale Quantisierungen oder – damit ?quivalent – minimale Summen von Momenten spielen in mehreren Zweigen der Mathematik und ihrer Anwendungen eine Rolle. Ausgehend von der Fejes Tóth'schen Ungleichung für Summen von Momenten in der euklidischen Ebene und einem zugeh?rigen Stabilit?tssatz, werden gewisse Erweiterungen auf normierte R?ume und riemannsche Mannigfaltigkeiten h?herer Dimension besprochen. Die Ergebnisse werden dann auf Probleme aus folgenden Bereichen angewendet: (i) Datenübertragung, (ii) Wahrscheinlichkeitstheorie, (iii) numerische Integration, (iv) Approximation konvexer K?rper und (v) isoperimetrische Probleme. Eingegangen am 29. Mai 2002 / Angenommen am 8. Juli 2002     

Optimale Sequenzwiederholungstests

Ohne Zusammenfassung     

Optimale Produktionsprogramme

Zusammenfassung Bei der Berechnung von optimalen Produktionsprogrammen müssen nicht nur die optimalen Losgrößen, sondern auch die Kapazität der Produktionsmittel berücksichtigt werden. An einem einfachen Beispiel wird die Auswahl eines geeigneten Produktionsrhythmus innerhalb eines bestimmten Bemessungszeitraumes erläutert. Bei nur drei Produktionssorten können sich bereits überraschend viele Möglichkeiten von zulässigen Produktionsprogrammen ergeben. Mit Hilfe programmgesteuerter elektronischer Rechenanlagen lassen sich optimale Lösungen erzielen.

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Summary When calculating optimal production programs, not only the optimal lot-sizes but also the capacity of the production materials will have to be considered. At a simple example the election of a suitable production rhythm within a certain rated period is explained. From only 3 production items there could already result extraodinary many possibilities of admissible production programs. Optimal results can be achieved with the aid of selective sequence electronic calculators.

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Résumé En supputant les programmes de production optima il faut tenir compte non seulement des grandeurs de lot optima, mais aussi de la capacité des moyens de production. La méthode de choisir le rythme de production approprié dans une période déderminée de production est commentée à un exemple très simple. Même avec trois articles de production seulement, on peut obtenir un nombre étonnant de possibilités pour des programmes de production permis. L'emploi des calculateurs électroniques assure des solutions optima.

     

Optimale Betriebsmatrizen

Zusammenfassung Bei vielen betriebswirtschaftlichen Problemen des Linear Programming sind die Schranken in den Nebenbedingungen häufigen Veränderungen unterworfen. Die optimalen Lösungen sind dann lineare Funktionen dieser Schranken und können unter Benutzung der Matrizenschreibweise in übersichtlicher Weise ermittelt und dargestellt werden. Grundsätzliche Fragen werden an einem einfachen Beispiel erläutert, anschließend wird ein praktisches Problem numerisch gelöst.

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Summary In many economic problems of linear programming the bounds in the side restrictions may often change. Hence the optimal solutions are in linear dependency of these bounds and can be computed and shown in a clear manner by using the calculus of matrices. Principal questions are illustrated by a simple example, then a practical problem is numerically solved.

     

Optimale Interpolations-und Approximationssysteme

Ohne Zusammenfassung     

Optimale Bewirtschaftung von Mehrzweckspeicher-Verbundsystemen

Zusammenfassung Es wird ein Modell vorgestellt, das generell für eine Optimierung der Real-Time- und der Langfristbewirtschaftung von Ein- und Mehrzweckspeichern sowie von Speicherverbund-systemen verwendet werden kann.Das implementierte Systemmodell erleichtert die Anwendung auf Speichersysteme unterschiedlicher Struktur.Die Anwendung der Diskreten Differentialen Dynamischen Programmierung und des Marquardt-Verfahrens, einem modifizierten Gauß-Newton-Verfahren, werden für die Optimierung der Bewirtschaftung untersucht. Bei der Diskreten Differentialen Dynamischen Programmierung wird das Dimensionsproblem der herkömmlichen Dynamischen Programmierung weitgehend umgangen. Systeme mit mehr als fünf Speichern können jedoch aufgrund des Rechenzeitbedarfs des Verfahrens nur bei einer Dekomposition in Subsysteme bearbeitet werden. Eine solche Dekomposition ist jedoch problematisch, weil sich abhängig von der gewählten Unterteilung unterschiedliche Auswirkungen auf die Ergebnisse ergeben können. Das Marquardt-Verfahren ist der Diskreten Differentialen Dynamischen Programmierung aufgrund des wesentlich geringeren Rechenzeitbedarfs überlegen, so daß auch größere Speichersysteme ohne eine Dekomposition untersucht werden können.Mit dem Modell wurde exemplarisch ein möglicher Ausbauzustand des Harz-Talsperren-Systems mit sieben Speichern, drei angeschlossenen Trinkwasserversorgungsnetzen und den Nutzungsarten Trinkwasserbereitstellung, Hochwasserschutz, Niedrigwasseraufhöhung und Freizeitnutzung untersucht.

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A model is presented which can be applied generally to optimize both the real time and the long term operation of reservoir systems which may consist of singleor multi-purpose reservoirs as well as interconnected reservoirs. A system model is included to facilitate the application to reservoirs systems of different configurations.The application of Discrete Differential Dynamic Programming (DDDP) and of the Marquardt procedure which is a modified Gauß-Newton procedure, was investigated for the optimization of the operation. By using the DDDP the problem of dimensionality of the conventional Dynamic Programming is evaded to a large extent. But systems with more than five reservoirs can be investigated only by decomposition because of the requirements on computation time. A decomposition may cause problems because different effects on the results can be obtained depending on the chosen decomposition. The Marquardt procedure is better than the DDDP because of its essentially smaller requirements on computation time. Therefore larger reservoir systems can be investigated without any decomposition.A possible planning state of the Harz reservoir system with seven reservoirs, three connected networks for water supply and the purposes supply of potable water, flood protection, low flow augmentation and recreation was investigated exemplary.

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Optimale Lagerhaltung bei mehrstufigen Produktionsprozessen

Zusammenfassung Nach einigen Vorbemerkungen zu mehrstufigen Produktionsprozessen wird die Möglichkeit, das Problem der optimalen Zwischenlagerhaltung mit Hilfe des Losgrößenansatzes zu behandeln, diskutiert, schließlich aber verworfen. Im weiteren wird das Problem dann als linear ganzzahliges Programmierungsproblem formuliert. Die Ergebnisse zeigen, daß die optimalen Zwischenläger kompliziertere Formen aufweisen, als sie sich aus dem Losgrößenansatz ergeben. Abschließend wird der Ansatz durch die Möglichkeit variablen Absatzes sowie eines mehrstufigen Mehrproduktunternehmens erweitert.

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Summary After some introductory remarks on multistage production processes the optimization of in-process inventories by the economic lot-size approach is discussed and shown to be not optimal in a broader context of the problem. Then the problem is formulated as an integer linear programming problem. Some characteristics of the numerical results are described. In particular, it is shown that inventories follow more complex forms as assumed by the economic lot size formula. Finally the approach is extended to include variable demand and a multi-product firm.

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Vorgel. v.:H. Albach.     

Optimale hermite-interpolation differenzierbarer periodischer Funktionen

For the Favard class F_r in the space C_2π of continuous 2π-periodic functions we solve the following problem. Given x and knots x₀< x₁ < ··· < x_v−1., x_u− 2π we determine weights x_ki(0 k · n, 0 j < r) such that is minimal. The optimal weights are unique (except for a trivial case) and we obtain them from a system of periodic polynomial splines u_kj(0 k < n, 0 j< r): α_kj = u_kj(x). These splines induce an interpolation operator whose degree of approximation with respect to the class F_r is minimal if the knots are equidistant. Finally, we describe an efficient numerical procedure which shows how to compute the interpolation spline in the equidistant case.     

Optimale Rangstrategien in sequentiellen Auswahlprozessen

Zusammenfassung Es wird der Terminus sequentielle Auswahlprozesse eingeführt — ein verallgemeinerter Prozeß, der eine Anzahl bekannter Entscheidungsprozesse, auch innerhalb der Stoppregel-Prozesse umfaßt. In diesem Beitrag werden ausschließlich Auswahlprobleme behandelt, deren GrundlageRangmerkmale sind. Für diese verallgemeinerten Probleme wurden suboptimale und optimale Rangstrategien entwickelt. Es läßt sich zeigen, daß die allgemeinen Lösungen alle bisher in der Literatur angegebenen Lösungen dieser Probleme als Spezialfälle enthalten.Diese Ergebnisse bilden die Grundlage weiterer entscheidungstheoretischer Zielsetzungen, wie: die Behandlung von Problemen beiquantitativen Auswahlgrößen, wenn über die Verteilungen der Größen nur dürftige Informationen vorliegen [Henke], oder: die Verallgemeinerung bekannter stopping rule-Sätze.

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Summary The term sequential selection process is introduced — a generalized process containing many wellknown sequential decision processes, also most of the stopping rule processes. In this publication we only treat selection problems based onranks and develop suboptimal and optimal rank-policies. It can be shown, that the generalized solutions in this paper contain all the results for these problems given in literature, as special cases.These solutions are basic formulations for other targets, so dealing with problems based onquantitative selection variables, when distributions of the variables are unknown [Henke], or, extending known stopping rule theorems.

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Dieser Beitrag basiert z. T. auf Ergebnissen, die innerhalb eines DFG-Forschungsauftrages erarbeitet wurden, z. T. auf der Arbeit von [Henke]. Der Verfasser möchte den Leitern des DFG-Projekts: Prof.M. J. Beckmann und vor allem Prof.F. Ferschl für die wertvolle Unterstützung seinen besonderen Dank aussprechen.

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Vorgel. v.:F. Ferschl     

Optimale Quadraturformeln mit semidefiniten Peano-Kernen

Summary The remainder in numerical integration formulas can be represented asR(f)=cf ^(m) (), if and only if the associated Peano kernel is semidefinite. We investigate the question of optimal constantsc. Our existence theorems generalize a result of Schmeisser [12]. In addition we prove characterizing statements of optimal formulas. In particular we show: i) The Peano kernels have a maximal number of zeros. ii) The weights are positive and the inner knots have (implicitly) order two. iii) The formulas are of interpolatory type.     

Optimale Tests und ungünstigste Verteilungen

Ohne Zusammenfassung     

Optimale Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 2 und 3

Ohne ZusammenfassungWork performed in part under the auspices of the U. S. Atomic Energy Commission.