Bourbaki und danach

Zusammenfassung. N. Bourbaki hat zwischen 1945 und 1965 gewirkt. Dieser Zeitabschnitt der Mathematikgeschichte ist einerseits dadurch gekennzeichnet, da? die wichtigsten mathematischen Theorien von Grund auf überarbeitet wurden, und andererseits durch den Zweiten Weltkrieg und den Aufstieg der angewandten Mathematik. Bourbaki trat mit dem Projekt an, die ganze Mathematik in einheitlicher Weise auf der Grundlage der axiomatischen Methode und des Strukturbegriffs darzustellen. Eingegangen am 3. Mai 2001 / Angenommen am 10. August 2001     

Primzahlen, Teilersummen und die Riemannsche Vermutung

Zusammenfassung. Wir betrachten die Arbeiten von Robin und Lagarias zum Wachstum der Teilersummenfunktion. Diese enthalten eine überraschend einfache Formulierung der Riemannschen Vermutung. Wir erl?utern wichtige grundlegende Ideen, insbesondere den Zusammenhang zwischen der Lage der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion und der Primzahlfunktion . Eingegangen am 19. Januar 2001 / Angenommen am 14. M?rz 2001     

Mathematik f"urs Leben am Beispiel der Computertomographie

Zusammenfassung. Computertomographie ist heutzutage ein fast ebenso bekanntes Hilfsmittel des Mediziners wie das klassische R?ntgen. Weit weniger bekannt ist jedoch, dass es insbesondere die Mathematik ist, die dieses Verfahren erst erm?glicht. Es erscheint immer wichtiger, Schülern und Studierenden neben der Mathematik selbst auch deren Bedeutung für Probleme aus dem Alltag nahe zu bringen. In dieser Arbeit vermitteln wir ein Grundverst?ndnis der Computertomographie. Hierzu geh?ren Nutzen und Einsatzm?glichkeiten in der Medizin, physikalischer Hintergrund und als zentrales Thema ein einfaches mathematisches Modell und dessen numerische L?sung. Die Arbeit kann als Grundlage für Projekte in Schule und Hochschule verwendet werden. Eingegangen am 17. September 2001 / Angenommen am 15. November 2001     

Bildgebende Verfahren und Aspekte der Bildverarbeitung

Zusammenfassung. Mit der Zunahme der Rechnerleistung moderner Computer hat die digitale Erstellung und Verarbeitung von Bildern eine überragende Bedeutung gewonnen. Zielrichtung der (digitalen) Bildverarbeitung ist es, Bilder zu speichern, zu transportieren und aus den Bildern wichtige Details zu extrahieren. Wir skizzieren die wesentlichen Bausteine einer Theorie der Bildverarbeitung und machen deutlich, welcher Rolle die Mathematik zukommt. Einige genauer diskutierte Verfahren der Bildgebung sollen erl?utern, wo Bildverarbeitung gewinnbringend eingesetzt werden kann. Eingegangen am 15. Oktober 2001 / Angenommen am 16. Januar 2002     

Eine Ergänzung zum Bericht über Geometrie der Kommission Kahane: das Beispiel der affinen Geometrie im Collège

Zusammenfassung. Der nachfolgende Artikel ist aus der Arbeit der Kommission Kahane hervorgegangen, die in den letzten Jahren im Auftrag der franz?sischen Regierung über Ver?nderungen des Mathematikunterrichts nachgedacht hat. Sein Gegenstand ist die Mittelstufengeometrie, die in Frankreich bisher vor allem durch eine Betonung des Abbildungsgedankens sowie durch frühe Verwendung von Vektoren gepr?gt war. Gezeigt wird, wie sich wichtige S?tze derselben (Strahlensatz, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, Ceva, Menelaos) mit Hilfe von vier fundamentalen Lemmata, die auf der affinen Semi-Invarianz des Fl?cheninhaltes beruhen, beweisen lassen. Die theoretischen Grundlagen dieser Semi-Invarianz werden im Sinne der Invariantentheorie im Anhang 1 entwickelt. Weiter wird die Theorie der Zerlegungs- und Erg?nzungsgleichheit, insbesondere der Satz von Bolyai-Gerwien, im Anhang 2 erl?utert. Eingegangen am 3. Mai 2001 / Angenommen am 10. September 2001     

Zur stochastischen Modellierung funktionaler Abhängigkeiten: Konzepte, Postulate, Fundamentale Ideen

Zusammenfassung. Verschiedene Methoden zur stochastischen Modellierung im Streudiagramm werden betrachtet. Zentral ist die Idee, die funktionale Abh?ngigkeit zwischen Pr?diktor und Responz zu zerlegen in eine Summe eines von abh?ngigen gleitenden Lageparameters und einen stochastischen Term ohne Trend. Zur n?herungsweisen Rekonstruktion der Funktion aus den Daten werden paradigmatisch zwei Vorgehensweisen gegenübergestellt: das Modell mit a priori Spezifikation einer parametrischen Funktionenklasse und nichtparametrische Verfahren, die auf dem Konzept des gleitenden Mittelwertes bzw. der lokalen Linearit?t von basieren. Die Resultate – Kurven – sind in beiden F?llen anschaulich, einpr?gsam und in der Regel leicht interpretierbar. Eingegangen 6.11.1996 / Angenommen 12.2.1997     

Über die Fiktionalität mathematischer Objekte

Zusammenfassung. Die Frage nach der Seinsweise oder der Qualit?t mathematischer Gegenst?nde (Zahlen, Figuren, Funktionen, R?ume) ist so alt wie mathematisches Tun selbst. Auf diese Fragen wurden zu allen Zeiten die unterschiedlichsten Antworten versucht, über die zun?chst ein knapper und selektiver überblick angeboten wird. Die daran anschlie?end dargelegte Position ist sowohl dem Konstruktivismus wie dem Fiktionalismus verpflichtet. Mathematische Objekte werden somit als fiktiv und ideal angesehen in dem Sinne, dass sie im mathematischen Diskurs als sprachliche Tr?ger für die in der Mathematik eigentlich untersuchten Eigenschaften, Beziehungen und Operationen verwendet und postuliert werden. In einer solchen Sicht ist dann das Ph?nomen der Unentscheidbarkeit nicht mehr überraschend sonder eher zu erwarten. Eingegangen am 4. September 2000 / Angenommen am 17. Juli 2001     

Ungleiche Partner in der Mathematik im „Dritten Reich” Heinrich Behnke und Wilhelm Süss

Zusammenfassung. Im Mittelpunkt des Berichts stehen die Mathematiker Heinrich Behnke und Wilhelm Süss. Zun?chst werden die Positionen von Behnke und Süss im „Dritten Reich” skizziert. Zwischen den beiden entwickelte sich im Zweiten Weltkrieg eine ungleiche Partnerschaft, die anhand von zwei Beispielen dargestellt wird: der von Süss angestrebten Reorganisation des mathematischen Zeitschriftenwesens und Behnkes Unterstützung für seinen Freund und Kollegen Henri Cartan. Eingegangen am 20. Juli 2001 / Angenommen am 13. September 2001     

Über die abstandsverträglichen Abbildungen auf dem Kreis und auf der reellen Geraden

Zusammenfassung. Eine Abbildung zwischen metrischen R?umen hei?t abstandsvertr?glich, wenn der Abstand der Bilder zweier Punkte nur vom Abstand der Punkte selbst abh?ngt. Wir zeigen, dass eine Abbildung genau dann abstandsvertr?glich ist, wenn der Cauchyschen Funktionalgleichung genügt, also ein Endomorphismus der Gruppe ist. Ein entsprechendes Resultat gilt auch für die abstandsvertr?glichen Abbildungen des Kreises (mit der Multiplikation komplexer Zahlen als Gruppenverknüpfung). Damit kann man sowohl alle messbaren abstandsvertr?glichen Abbildungen von bzw. in sich angeben, als auch einen Nachweis für die Existenz nichtmessbarer abstandsvertr?glicher Abbildungen auf und erbringen. Eingegangen am 20. Juni 2001 / Angenommen am 13. September 2001     

Normen zur Charakterisierung der schwach*-Konvergenz beschränkter Folgen

Zusammenfassung. Wir zeigen, wie sich die schwach*-Konvergenz beschr?nkter Folgen eines Dualraums X' durch Normen charakterisieren l?sst, sofern der Pr?dualraum X separabel ist. Auf diese Weise lassen sich interessante Anwendungen der schwach*-Topologie bereits aus der Theorie normierter R?ume herleiten – ein Vorteil etwa für einführende Vorlesungen in die lineare Funktionalanalysis, in welcher lokalkonvexe R?ume nicht thematisiert werden k?nnen. Wir diskutieren die Anwendung des Satzes von Krein-Milman in seiner Fassung für normierte R?ume und geben elementare Beweise des Lemmas von Schur sowie einer Verallgemeinerung des Riemann-Lebesgue'schen Lemmas. Eingegangen am 16. Februar 2001 / Angenommen am 15. Mai 2001     

Harmonische Interpolation

Zusammenfassung. In der Arbeit wird ein Interpolationsverfahren vorgestellt mit dem es gelingt, die Ecken eines Polygons ungerader Eckenzahl durch eine glatte geschlossene Kurve zu verbinden. Das Verfahren beruht auf dem Zusammenspiel gruppentheoretischer, geometrischer, kinematischer und differentialgeometrischer überlegungen. Dabei ergeben sich auch invariantentheoretische Aspekte. Aufgrund seiner Einfachheit und der günstigen Eigenschaften der interpolierenden Kurven erweist sich das Verfahren zugleich als praxistauglich. Eingegangen am 30. Oktober 2000 / Angenommen am 19. M?rz 2001     

Mathematische Spuren in der Philosophie

Zusammenfassung. Keine andere Wissenschaft hat in der Geschichte des abendl?ndischen Denkens auf die Philosophie so herausfordernd, stimulierend und innovativ gewirkt wie die Mathematik. Seit der Antike haben die ma?gebenden Philosophen vielf?ltige mathematische Spuren in ihrem philosophischen Werk hinterlassen. Diesen Spuren soll hier in dreifacher Hinsicht nachgegangen werden: Spurensuche – Spurensicherung – Spurendeutung. Exemplarisch wird an sieben Philosophen aufgezeigt, da? und wie jeweils ein subtiler Begründungszusammenhang besteht zwischen der Art und Weise des Zugriffs auf Mathematik sowie der Konzeption und Entfaltung des eigenen philosophischen Entwurfs. Eingegangen am 21.12.1998 / Angenommen am 26.02.1999     

Die (un-)berechenbare Angst des Mathematikers vor dem Fliegen

Zusammenfassung. Das Fliegen ist ein uralter Traum der Menschheit, der erst zu Anfang des 20. Jahrhunderts erfüllt werden konnte. In dieser Arbeit wird auf humorvolle Weise die Geschichte, die Physik und die Mathematik des Auftriebs, der Potentialstr?mungen und der viskosen Str?mungen beschrieben. Ausgehend von den klassischen Arbeiten von L. Euler, J. und D. Bernoulli, dem D'Alembertschen Paradoxon und den Potentialstr?mungen als Triumph der Reinen Mathematik gelangt man zu den Navier–Stokes-Gleichungen dreidimensionaler Str?mungen mit ihren offenen Problemen. Eingegangen am 28. Juli 1998 / Angenommen am 7. September 1998     

Was sollen und was sind Divisoren?

Zusammenfassung. Der von Leopold Kronecker (1823–1891) gepr?gte Begriff „Divisor” kann als Klammer für die Teilbarkeitstheorien von Kronecker, Richard Dedekind (1831–1916) und Egor Ivanovič Zolotarev (1847–1878) dienen. Die ausführliche Einleitung versucht, den Leserinnen und Lesern einen überblick über historiografische und mathematische Arbeiten etwa der letzten zwanzig Jahre zu einem allgemeinen, an Kronecker anknüpfenden Divisor-Begriff zu geben. Der erste Teil des vorliegenden Aufsatzes ist einem detaillierten Vergleich von Dedekind und Kronecker hinsichtlich der von ihnen benutzten Begriffe und der Rezeption ihrer Theorien gewidmet. Der zweite Teil entwickelt systematisch und fast lückenlos eine allgemeine Theorie von Integrit?tsringen mit zugeordneten gr?ssten gemeinsamen Teilern („Divisoren”) ihrer Elemente (die nicht notwendig im Ring selbst existieren). Die Darstellung ist in die kommutative Algebra einzuordnen, wird jedoch – abweichend von bestimmten einschl?gigen Teilen der rezenten Literatur – unter der Beschr?nkung ausgeführt, ?quivalente des Auswahlaxioms nicht zu benutzen, um alle überlegungen so konstruktiv wie m?glich zu gestalten. Eingegangen am 6. Mai 1999 / Angenommen am 24. September 2001     

Görtler vortices and boundary-layer transition

Zusammenfassung Auf Grund unserer Versuchsergebnisse sind wir zur Ansicht gekommen, dass der Einfluss der Görtler-Wirbel auf den Umschlag der Grenzschicht an konkaven Wänden mehrindirekt ist, da die Wirbel eine Veränderung der Grenzschichtdicke in der Spannweitenrichtung induzieren und die Entwicklung der instabilen Schwingungen (Tollmien-Schlichting-Wellen) modifizieren. Die Zerstörung der instabilen Schwingungen, die schliesslich zur Turbulenz führt, tritt zuerst an der Stelle auf, wo die Grenzschicht in der Querrichtung die grösste Dicke hat, und in etwas verschiedener Weise als bei den zweidimensionalen Grenzschichten an einer ebenen Platte.

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Paper prepared for dedication to ProfessorHenry Görtler on his sixtieth birthday     

Forced oscillations in a rotating liquid (I)

Zusammenfassung Der vorliegenden Analyse liegen die linearisierten Gleichungen für die achsensymmetrischen Störungen einer gleichförmig rotierenden Flüssigkeit zugrunde. Dabei wird aber keine Annahme hinsichtlich einer Zeitabhängigkeit der erzwungenen Bewegungen gemacht und die Entwicklung der Störungen vom Beginn der erzwungenen Bewegung an studiert. Ungeachtet der sich zeigenden analytischen Schwierigkeiten können über die allgemeinen Störbewegungen Aussagen gemacht werden.Für die relativ schnellen harmonischen Schwingungen (mit einer Störfrequenz grösser als die doppelte Rotationsfrequenz) findet man, nachdem die Einwirkung zeitlich genügend dauerte, dass die Bewegung der Flüssigkeit und jene des erzwungenen Mechanismus — wie in den früheren Arbeiten angenommen — überall phasengleich ist. Demgegenüber wird für Schwingungen mit kleinerer Relativfrequenz ein System fortschreitender Wellen vorausgesagt. Spezielle Aufmerksamkeit wird hier dem früheren Falle geschenkt; mit Hilfe einer Ähnlichkeitsbetrachtung kann die Analyse einer breiten Klasse der durch kleine harmonische Schwingungen erregten Bewegungen auf ein Problem der Potentialtheorie reduziert werden. Als Beispiele werden die axial schwingende und die radial pulsierende Kugel kurz erörtert.     

Thermally induced low-frequency oscillations

Summary This paper discusses nonlinear thermally induced oscillations in quasi-one dimensional flows in ducts. In practice such oscillations are frequently observed in furnaces and combustion chambers. The problem considered involves entropy disturbances which are convected through a nozzle at the end of a tube, thereby producing an acoustic wave which propagates upstream and leads to a modulation of the mass flow at the inlet of the tube. Alternatively, if the rate of heat addition (i. e. the rate of fuel addition in the case of a combustion chamber) responds only weakly or not at all to the oscillating pressure at the inlet, the modulated air flow produces an entropy oscillation (due to the oscillating equivalence ratio in the case of a combustor) downstream of the zone of heat addition (reaction zone). To obtain general stability limits for this kind of self-induced oscillation, a second-order analysis is developed which leads to a nonlinear wave equation. The convection of entropy disturbances introduces nonlinear memory effects which are responsible for a non-local character of the wave equation. The wave equation is solved with the help of a numerical evolution scheme, making use of a suitable scaling transformation which does not change the form of the equation.

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Zusammenfassung Es werden nichtlineare thermisch getriebene Schwingungen in quasieindimensionalen Rohren untersucht. In der Praxis kann dieser Schwingungstyp häufig in Feuerungsanlagen und Brennkammern beobachtet werden. Die betrachteten Schwingungen werden von Entropiestörungen angetrieben, welche die Austrittsdüse eines Rohres durchqueren und dabei Schall erzeugen. Eine der erzeugten Schallwellen läuft stromaufwärts und verursacht eine Massenstrommodulation am Eintritt des Rohres. Falls die Wärmezufuhrrate (Brennstoffzufuhrrate in einer Brennkammer) nur schwach oder gar nicht auf Druckschwankungen am Eintritt reagiert, dann verursacht die Luftmassenstromschwankung eine Entropieschwankung (aufgrund des schwankenden Brennstoff/LuftVerhältnisses) am Ende der Zone (Reaktionszone), in welcher Wärme zugeführt wird. Um allgemeine Stabilitätsgrenzen für solche selbsterregten Schwingungen zu ermitteln, wird eine Theorie zweiter Ordnung entwickelt, die zu einer nichtlinearen Wellengleichung führt. Die Konvektion von Entropiestörungen führt zu nichtlinearen Gedächtniseffekten, die für den nicht-lokalen Charakter der Wellengleichung verantworlich sind. Die Gleichung wird mit Hilfe eines numerischen Evolutionsschemas gelöst, wobei von einer Skalierungstransformation Gebrauch gemacht wird, welche die Form der Gleichung nicht verändert.

     

Thermally driven acoustic oscillations,part V: Gas-liquid oscillations

Summary Thermally driven gas oscillations are considered which drive a liquid column at the cold open end. The frequency of the oscillations is lowered by the inertia of the liquid and the Stokes boundary layer is thick. Optimal conditions for thermal driving in the gas occur at correspondingly big tube radii. Experiments conducted inN ₂ confirm the theoretically calculated stability limits. With hot air driving a water column, a low critical temperature ratio for the oscillations of about 1.5 was observed.

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Zusammenfassung Thermisch getriebene akustische Schwingungen werden untersucht die eine Flüssigkeitssäule am kalten offenen Ende antreiben. Die Frequenz der Schwingungen wird durch die Trägheit der Flüssigkeit vermindert und die Stokes'sche Grenzschicht ist dick. Die optimalen Bedingungen für thermisch getriebene Schwingungen im Gas werden bei entsprechend höheren Rohr-Radien auftreten. Experimente mitN ₂ haben die theoretisch berechneten Stabilitätsgrenzen bestätigt. Bei einer Anordnung, in der heisse Luft eine Wassersäule angetrieben hat, wurde ein tiefes kritisches Temperaturverhältnis von etwa 1.5 beobachtet.

     

Die Entwicklung der Symbolik in der Logik und ihr philosophischer Hintergrund

Zusammenfassung. Die Entwicklung angemessener Symboliken ist für die Entwicklung der Mathematik und ihrer Teildisziplinen zu jeder Zeit eine wichtige Bedingung gewesen. Ein langer und schwieriger Weg führte zu den heute in der Logik gebr?uchlichen Symbolsystemen. Er begann mit Buchstaben als Abkürzungen für S?tze und Eigenschaften bei Aristoteles und für kategorische S?tze in der mittelalterlichen Syllogistik. In seiner „characteristica universalis” formulierte Leibniz Grunds?tze für eine exakte Zeichensprache, die er mit der Idee einer Algebra dieser Zeichen verband („mathesis universalis”). Erst Boole, der die Unabh?ngigkeit logischer Beziehungen von der Bedeutung der Symbole erkannte, begann mit der Verwirklichung dieser Idee. Frege schlie?lich gelang 1879 die Analyse des Satzes. Er schuf die erste umfassende formale Sprache. Ihre schwierige zweidimensionale Symbolik jedoch entsprach nur wenig der allgemeinen Intuition logischer Beziehungen und verdeckte für lange Zeit die epochale Bedeutung der Arbeiten Freges. Die heute verwendeten Symbolsysteme gehen zurück auf Arbeiten Peanos. In seinem Projekt „Formulario”, alle S?tze der Mathematik zu symbolisieren, sah Peano die Idee der „characteristica universalis” verwirklicht. Eingegangen am 9.10.1992, angenommen am 9.6.1993     

„ ... das Wesen der reinen Mathematik verherrlichen”

Zusammenfassung. C.G.J. Jacobi geh?rt zu den pr?genden Gestaltern der Mathematik in der ersten H?lfte des 19. Jahrhunderts. Dies gilt für seine Forschungs- und Lehrt?tigkeit, aber auch für sein Mathematikverst?ndnis allgemein. Mit seiner Konzeption der Mathematik als einer autonomen, reinen, d.h. erfahrungs- und anwendungsunabh?ngigen Mathematik grenzt er sich insbesondere explizit gegen die zeitgen?ssische franz?sische Tradition ab. Im Kontext dieser Wissenschaftsauffassung versucht er, Antworten auf die Fragen nach dem Grund des Fortschritts der Mathematik und ihrer Anwendbarkeit zur Beschreibung der Realit?t zu formulieren. Im vorliegenden Beitrag werden Jacobis diesbezügliche Anschauungen und ihre Ver?nderungen dargestellt und vor dem Hintergrund der zeitgen?ssischen Mathematik und Philosophie analysiert. Im Mittelpunkt steht dabei das ausführlichste von Jacobi erhaltene Dokument zum Themenkomplex: eine lateinische Rede, die er zum Eintritt in die K?nigsberger philosophische Fakult?t im Jahre 1832 hielt. Diese Rede wird hier erstmals in deutscher übersetzung wiedergegeben und ausführlich kommentiert. Eingegangen am 21.6.1994 / Angenommen am 14.10.1994