善做事后诸葛亮

在解 (证 )数学题的过程中 ,题目的条件有时难以“一眼望穿” .随着解题的深入和解题后的回顾反思 ,再对条件进行重新组配、挖掘 ,有利于我们选择最佳的逻辑通道、优化解法、现举例加以说明 .例 1　若ａ、ｂ、ｃ为互不相等的实数 ,且 ｘａ -ｂ=ｙｂ-ｃ=ｚｃ -ａ,求ｘ +ｙ +ｚ的值 .分析　由于 (ａ -ｂ) +(ｂ -ｃ) +(ｃ -ａ)≥ 0 ,故不能对条件用等比定理 ,可设 ｘａ -ｂ=ｙｂ-ｃ=ｚｃ-ａ=ｋ.则得ｘ=ｋ(ａ-ｂ) ,ｙ=ｋ(ｂ -ｃ) ,ｚ=ｋ(ｃ-ａ) .故ｘ +ｙ +ｚ=ｋ(ａ -ｂ) +ｋ(ｂ -ｃ) +ｋ(ｃ -ａ) =0 .反思　由ｘ+ｙ+ｚ=0这一结论信息知ｘ +ｙ =…     

不等式的几个性质

不等式的性质是后继学习的基础 ,熟练掌握并能灵活运用不等式的性质 ,是提高解题准确性和快捷性的关键 .这里介绍一些课本中没有直接列出而在解题中经常遇到的性质 ,以供参考 .1　乘方、开方性质1)若ａ >ｂ ,则有 :①ａ2ｎ 1 >ｂ2ｎ 1 ;② 2ｎ 1 ａ >2ｎ 1 ｂ (ｎ∈Ｎ) .2 )若 0 >ａ >ｂ ,则ａ2ｎ<ｂ2ｎ(ｎ∈Ｎ ) .3)若 0 <ａ <ｘ2 <ｂ ,则 -ｂ <ｘ <-ａ或ａ <ｘ <ｂ .2　取倒数性质1)若ａ >ｂ >0或 0 >ａ >ｂ ,则 1ａ<1ｂ.2 )若 0 <ａ <ｘ <ｂ或ａ <ｘ <ｂ <0 ,则1ｂ<1ｘ<1ａ.3　取绝对值的性质1)ａ2 >ｂ2 |ａ| >|ｂ| .2 )若ａ <…     

互为相反数、互为倒数的性质及其应用

一、基础知识导学1、互为相反数的性质①若ａ ,ｂ互为相反数 ,则ａ +ｂ =0 ,反之也成立 .②ａ ,ｂ互为相反数 ,且ａ ,ｂ≥ 0 ,则ａ=ｂ=0 .③互为相反数的偶次幂相等 ,奇次幂仍为相反数 .2、互为倒数的性质若ａ ,ｂ互为倒数 ,则ａｂ =1,反之也成立二、应用举例例 1　ａ ,ｂ ,ｃ在数轴上对应点的位置如图示 ,且|ｂ|>|ｃ|.则ａ2 - (ａ +ｂ) 2 +|ｂ +ｃ|+|ａ -ｃ|=.分析 :∵ａ ,ｂ在原点的左侧 ,ｃ在原点的右侧 ,∴ａ <0 ,ｂ <0 ,ｃ>0 .又∵ａ在ｂ的左侧 ,∴ａ <ｂ ,且 |ｂ|>|ｃ|.∴ａ +ｂ <0 ;ｂ +ｃ <0 ;ａ -ｃ <0 .∴　ａ2 - (ａ +ｂ) 2 +|ｂ…     

巧用a/b~2≥2/b-1/a证明不等式

《中学生数学》2 0 0 1年 6月上期第 2 6页刊文《不等式ａ2ｂ≥ 2ａ -ｂ的推广及应用》 ,2 0 0 2年5月上期第 2 1页又刊文《不等式 ａ2ｂ≥ａ -ｂ4的推广及应用》 .受两文启发 ,笔者将给出与上述两不等式结构相似的一个不等式 ａｂ2 ≥ 2ｂ-1ａ的应用 .事实上 ,由不等式 1ｂ-1ａ2 ≥ 0推广得1ｂ2 ≥ 2ａｂ-1ａ2 ,当ａ >0时 ,有 ａｂ2 ≥ 2ｂ-1ａ　①成立 .例 1　设ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ 是ｎ个互不相同的自然数 ,证明 :∑ｎｋ=1ａｋｋ2 ≥∑ｎｋ=11ｋ.(第 2 0届ＩＭＯ试题 )证明　由①式有ａｋｋ2 ≥ 2ｋ-1ａｋ,从而∑ｎｋ =1ａｋｋ2 ≥ 2∑ｎ…     

充分利用定义中的条件

二次根式的定义为 :式子 ａ(ａ≥ 0 )叫做二次根式 .这一定义中的条件ａ≥ 0极为重要 ,同学们在学习时应特别注意并在解题时充分利用 .现分几种情况举例说明 .一、若ａ有意义 ,则ａ≥ 0例 1　要使根式 1-ｘ有意义 ,那么ｘ的取值范围是 .( 2 0 0 2年福建省龙岩市中考试题 )解 :要使 1-ｘ有意义 ,必须 1-ｘ≥ 0 ,得ｘ≤ 1.例 2　ａｂ≠ 0 ,则等式 - - ａｂ5=1ｂ3 -ａｂ成立的条件是 (　 ) .Ａ .ａ >0 ,ｂ>0　　　Ｂ .ａ >0 ,ｂ <0Ｃ .ａ <0 ,ｂ >0Ｄ .ａ <0 ,ｂ <0( 2 0 0 2年山东省淄博市中考试题 )解 :∵ - - ａｂ5=1ｂ3 -ａｂ ,∴ｂ3 <0 ,…     

对"解题回顾与思维品质的培养"一例题解法的修正

贵刊 1 999年 1 2期刊登了薛党鹏老师的文章《解题回顾与思维品质的培养》(以下简称文 [1 ]) ,该文结合中学教学的实际 ,论述了在解题回顾中培养学生思维品质的方法 ,对笔者很有启发 .在阅读过程中 ,发现文 [1 ]的例 4的解题回顾的“分析①”的证明过程中 ,有不妥之处 ,现提出个人的观点 ,与大家共同讨论 .例 4的原题如下 :例 4　已知ａ 1 -ｂ2 ｂ 1 -ａ2 =1 ,求证 :ａ2 ｂ2 =1 .文 [1 ]的分析①的证明方法是 :“证明 :根据题目的隐含条件可令ａ =ｃｏｓα ,ｂ =ｃｏｓβ ,其中α ,β∈ 0 ,π2 ,……”笔者认为 :α ,β的范围不能限制在 0…     

双曲线的一个有趣性质

在对圆锥曲线的研究中 ,笔者发现了双曲线的一个有趣性质———一种曲线到自身的变换 .定理　给定双曲线Ｃ :ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ>0 ) ,Ｐ1 是Ｃ上不在顶点的任一点 ,Ｐ1 Ｐ2 是Ｃ的垂直于ｙ轴的弦 ,Ｍ1 (Ｏ ,-ｂ) ,Ｍ2 (Ｏ ,ｂ)是Ｃ虚轴的两个端点 ,则直线Ｐ1 Ｍ1 与Ｐ2 Ｍ2 的交点Ｐ仍在Ｃ上 .证明　设Ｐ1 (ｕ ,ｖ) (ｖ≠ 0 ) ,则Ｐ2 (-ｕ ,ｖ) .直线Ｍ1 Ｐ1 :ｙ ｂ=ｂ ｖｕ ｘ①直线Ｍ2 Ｐ2 :ｙ-ｂ=ｂ-ｖｕ ｘ②由① ,②解得ｕ=ｂｘｙ ,ｖ=ｂ2ｙ.因Ｐ1 点在Ｃ上 ,故ｂ2 ｕ2 -ａ2 ｖ2 -ａ2 ｂ2 =0 .所以ｂ2 ·ｂ2 ｘ2ｙ2 -ａ2 …     

“0”“1”的变形与运用

解题时 ,常需将“0”“1”变形 ,使问题得以简化 .一 .“0”的变形与运用关于“0”的变形公式常有 1 ) 0·ａ =0 ;2 )ａ -ａ =0 ;3 )若ａ·ｂ=0 ,则ａ =0或ｂ =0 ;4)若ａ2 +ｂ2 +ｃ2 =0 ,则ａ=ｂ =ｃ =0 ;5 )若ａ2 +ｂ +|ｃ|=0 ,则ａ=ｂ =ｃ =0 .1 .添“0”变形例 1　化简 ｂ -ｃ(ａ -ｂ) (ａ -ｃ) +ｃ -ａ(ｂ -ｃ) (ｂ -ａ) +ａ -ｂ(ｃ-ａ) (ｃ -ｂ) .分析 :在分子中 ,增添“0”并变形为 -ａ +ａ ,-ｂ +ｂ ,-ｃ +ｃ.解 :原式 =-ａ +ｂ+ａ-ｃ(ａ-ｂ) (ａ-ｃ) +-ｂ +ｃ+ｂ -ａ(ｂ -ｃ) (ｂ -ａ) +-ｃ+ａ +ｃ -ｂ(ｃ-ａ) (ｃ -ｂ)=-1ａ-ｃ+1ａ…     

例说通过联想类比开发数学问题

创新教育如何体现在教学上 ,对于一个具体的数学问题 ,不妨把它看作一件产品 ,进行联想类比 ;它有哪些变异 ?它还有哪些应用 ?能否开发出更有价值的系列产品 ?下面举例说明进行数学问题这方面的探讨和研究 ,以献读者 . 已知ａ >ｂ>0 ,求ａ+1 6ｂ(ａ-ｂ) 的最小值 ; 已知ａ>ｂ>0 ,求ａ2 +1 6ｂ(ａ -ｂ) 的最小值 (数学第二册上Ｐ37)这是大家熟悉的两个问题 ,通过改造、一般化 ,可得如下结果 :改 1为 :已知ｘ1 ,ｘ2 >0 ,求ｘ1 +ｘ2 +ｋｘ1 ｘ2(ｋ>0且ｋ常数 )的最小值 .解　因ｘ1 ,ｘ2 >0 ,故ｘ1 +ｘ2 +ｋｘ1 ｘ2 ≥3·3 ｋ ,当且仅当ｘ1 =ｘ…     

错在哪里

学生王灵在做高考仿真模拟训练题时 ,遇到这样一道题 .题目　如图 1 ,已知双曲线Ｃ :ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2=1 (ｂ >ａ >0 )的实轴两端点为Ａ ,Ｂ ,若双曲线Ｃ在第一象限图象上存在一点Ｑ (ｘ ,ｙ) ( ｙ≥ｘ) ,使∠ＡＱＢ =6 0° ,求双曲线Ｃ的离心率ｅ的取值范围 .通过分析 ,他给出如下解法 .图 1　题目用图解　由题意知Ａ( -ａ ,0 ) ,Ｂ(ａ ,0 ) .∴ｋＡＱ=ｙｘ +ａ,　ｋＢＱ=ｙｘ -ａ.　ｔａｎ∠ＡＱＢ =ｋＢＱ-ｋＡＱ1 +ｋＢＱ·ｋＡＱ.又ｔａｎ∠ＡＱＢ =ｔａｎ6 0°=3,∴ 3=ｙｘ -ａ- ｙｘ +ａ1 + ｙｘ -ａ· ｙｘ +ａ,化简得 3=2ａｙｘ2 + …     

求代数式最大（最小）值的基本原理

在高三复习课中 ,学生对以下例 1的解法提出疑问 .　图 1　例 1图例 1　 (1997年全国高考理科第 (2 5)题 )设圆满足 :①截 ｙ轴所得弦长为 2 ,②被ｘ轴分成两段圆弧 ,其弧长的比为 3∶1,在满足①②的所有圆中 ,求圆心到直线ｌ:ｘ- 2 ｙ =0的距离最小的圆的方程 .解　如图 1,设圆心为Ｃ(ａ ,ｂ) ,半径为Ｒ ,由条件①可得ａ2 12 =Ｒ2 ,由条件②得∠ＡＣＢ =90° ,得Ｒ2 =2ｂ2 ,两式消去Ｒ ,得2ｂ2 -ａ2 =1(1)设圆心Ｃ到直线ｌ:ｘ - 2 ｙ =0的距离为ｄ ,则ｄ=|ａ - 2ｂ|12 2 2 =55|ａ - 2ｂ| (2 )问题变为求ｄ取到最小值时ａ ,ｂ的值 .将 (…     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (第 4 7届拉脱维亚数学奥林匹克 )已知ａ ,ｂ是互不相同的自然数 ,求证 :存在无穷多个自然数ｎ ,使得ａ +ｎ与ｂ +ｎ互素 .证　不妨设ｃ =ａ -ｂ >0 ,则存在非负整数 ｑ ,ｒ ,使得ｂ =ｑｃ +ｒ ,这里 0≤ｒ≤ｃ -1 ,令ｎ =ｃ +1 -ｒ +ｋｃ ,这里ｋ为非负整数 ,则ａ +ｎ =(ｂ +ｃ) +(ｃ+1 -ｒ +ｋｃ)=ｑｃ+ｒ +2ｃ+1 -ｒ +ｋｃ=(ｑ +ｋ +2 )ｃ+1 .ｂ +ｎ =(ｑ +ｎ +1 )ｃ +1 .设ｄ是ａ +ｎ与ｂ +ｎ的最大公约数 ,则ｄ|(ａ +ｎ) - (ｂ +ｎ) =ａ -ｂ =ｃ,∴ｄ|1 ,∴ｄ =1 .∴ａ +ｎ与ｂ +ｎ互素 .2　 (拉脱维亚第 4 7届数学奥林匹克 )是否…     

递推数列an＋1-p＋q／an的通项公式及其性质

文 [1]中给出并证明了以下命题 .命题　设ａ ,ｂ∈Ｒ ,且实数ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ 满足ｘ1=ａ ｂｘｎ,ｘ2 =ａ ｂｘ1,…ｘｎ=ａ ｂｘｎ - 1.则当ｎ为奇数时 ,ａ1=ａ2 =… =ａｎ;当ｎ为偶数时 ,ａ1=ａ3 =… =ａｎ- 1,ａ2 =ａ4 =…=ａｎ.上述命题实际上给出了满足ａｎ 1=ｐ ｑａｎ 的数列 {ａｎ}的一个性质 .经研究 ,本文拟给出满足ａｎ 1=ｐ ｑａｎ的数列 {ａｎ}的通项公式 ,并以此为基础给出比文 [1]更为深刻的结论 .现在记 ｆ(ｋ) =Ｃ1ｋｂｋ- 1 Ｃ3 ｋ 1ｂｋ - 2 … Ｃ2ｋ- 3 2ｋ- 2 ｂ1 Ｃ2ｋ- 12ｋ- 1ｂ0 (ｋ≥ 1,ｋ∈…     

活用点到直线距离公式解题举例

文 [1 ]、[2 ]以实例说明了两点间距离公式解题中的应用 ,本文介绍解析几何中另一个距离公式———点到直线距离公式在解题中的应用 ,供参考 .1　证明等式例 1　若ａ ,ｂ∈Ｒ ,且ａ 1 -ｂ2 +ｂ 1 -ａ2 =1 .求证 :ａ2 +ｂ2 =1 .析与证　显然点Ｐ(ａ ,ｂ)是直线Ｌ :1 -ｂ2 ｘ +1 -ａ2 ｙ =1上的点 ,所以原点Ｏ到直线Ｌ的距离不大于｜ＯＰ｜,即 :1(1 -ｂ2 ) +(1 -ａ2 ) ≤ａ2 +ｂ2整理得 :(ａ2 +ｂ2 -1 ) 2 ≤ 0 .故　ａ2 +ｂ2 =1 .这是一道脍炙人口的传统名题 ,文 [3 ]中列举了本题的 1 2种证法 ,上面新颖别致的证明又一次说明了“没有任何一…     

高二数学“不等式的性质与证明”自测题

选择题1　给出如下四个命题 :①若ａ >ｂ ,则ａｃ2 >ｂｃ2 ;②若 ａｃ2 >ｂｃ2 ,则ａ >ｂ ;③若ａ≥ｂ ,ａｃ≥ｂｃ,则ｃ≥ 0 ;④若ａ >ｂ ,则ｌｇ(ａ2 1) >ｌｇ(ｂ2 1) .其中正确命题的个数是 (　　 )(Ａ) 1个 .　 (Ｂ) 2个 .　 (Ｃ) 3个 .　 (Ｄ) 4个 .2　实数ａ ,ｂ满足 0 <ａ <ｂ且ａ ｂ =1,则下列四个数中最大的是 (　　 )(Ａ) 12 .　　　　 (Ｂ)ａ2 ｂ2 .(Ｃ) 2ａｂ . (Ｄ)ａ .3　设ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ ｙ =1,则使 ｘ ｙ≤ａ恒成立的ａ的最小值是 (　　 )(Ａ) 22 .　　　　　　 (Ｂ) 2 .(Ｃ) 2 . (Ｄ) 2 2 .4　已知 0 <2ｍ <1,则…     

三项式定理及其三项式系数塔

1　三项式定理(Ａ) (ａ ｂ ｃ) ｎ =∑ｎｍ=0ｃｍｎａｎ-ｍ∑ｍｋ=0ｃｋｍｂｍ-ｋｃｋ证明　首先在这ｎ个相同的因式 (ａ ｂ ｃ)中任取 (ｎ-ｍ)个ａ相乘 ,再将剩余的ｍ个因式 (ａ ｂ ｃ)中任取 (ｍ—ｋ)个ｂ相乘 ,最后再将剩余的ｋ个因式 (ａ ｂ ｃ)中的ｃ相乘 ,则由组合数理论知(ａ ｂ ｃ) ｎ =∑ｎｍ =0ｃｎ-ｍｎ ａｎ-ｍ∑ｍｋ =0ｃｍ-ｋｍ ｂｍ-ｋｃｋ=∑ｎｍ =0ｃｍｎａｎ-ｍ∑ｍｋ =0ｃｋｍｂｍ-ｋｃｋ(Ａ)式得证 .2　三项展开式的排序规律经探究 ,(Ａ)左右端展开式的诸项可以按照字典排列法有序地摆放成一结构对称的等边三角形 .…     

一类“恒成立”问题的又一解法

本刊 2 0 0 1年 18期刊出的《解一类“恒成立”问图 1　解答用图题的五种方法》 ,读后很受启发 ,使我增长不少知识 .认真思考后 ,我又得到一种解法 ,请大家指正 .题目　已知当ｘ∈[0 ,1]时 ,ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ+ 3-ａ >0恒成立 ,求ａ的取值范围 .解　原式即 ｆ(ｘ) =(ｘ - 1)ａ + (ｘ2 + 3) >0 ,把ｘ看成常数 ,考虑关于ａ的一次函数 :ｔ(ａ) =(ｘ - 1)ａ + (ｘ2 + 3) ,它的图象是直线 ,令斜率ｋ =ｘ - 1,则ｋ∈ [- 1,0 ],又设截距ｂ =ｘ2 +3,有ｂ∈ [3,4 ],作直线系 .ｔ=ｋａ +ｂ ,ｋ∈ [- 1,0 ],ｂ∈ [3,4 ].当ｘ =1,ｋ =0 ,ｂ =4 ,如图 1中…     

巧用共焦点的有心圆锥曲线系方程解题

与椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1共焦点的圆锥曲线系方程为　　　　　　　　 ｘ2ａ2 -λ+ ｙ2ｂ2 -λ=1( )其中ａ >ｂ >0 ,λ <ａ2 ,且λ≠ｂ2 .当λ <ｂ2 时 ,方程 ( )表示椭圆 ;当ｂ2 <λ <ａ2时 ,方程 ( )表示双曲线 .对于焦点在 ｙ轴上的椭圆 ,亦有相应的方程与结论 .巧用上述方程解题 ,可减少不必要的许多中间环节 ,下面举一例说明 .例　给定椭圆 ｘ2ｂ2 + ｙ2ａ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,求与这个椭圆共焦点的双曲线 ,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大 ,并求出这个最大值 .解　设所求双曲线方程为ｘ2ｂ2 -λ+ ｙ2ａ2 -λ=1(ｂ2 <λ <ａ2 ) …     

2002年第四期初中数学问题解答

一、已知ａ <0 ,-1 <ｂ <0 ,则ａ ,ａｂ ,ａｂ2 之间的大小关系如何 ?解 :∵ -1 <ｂ <0 ,∴ｂ<ｂ2 <1 .又ａ<0 ,　∴ａｂ >ａｂ2 >ａ .二、如果二次不等式ａｘ2 +8ａｘ+2 1 <0的解是 -7<ｘ <-1 ,求ａ的值 .解 :考虑二次函数ｙ =ａｘ2 +8ａｘ +2 1的图象 ,由已知条件可知它与Ｏｘ轴的两个交点为 (-1 ,0 ) ,(-7,0 ) ,故由韦达定理知 (-7)× (-1 ) =2 1ａ .∴ａ=3 .答 :略 .三、在△ＡＢＣ中 ,∠ＣＢＡ =72° ,Ｅ是边ＡＣ的中点 ,Ｄ在ＢＣ边上且 2ＢＤ =ＤＣ ,ＡＤ与ＢＥ交于Ｆ ,求△ＢＤＦ和四边形ＦＤＣＥ的面积之比 .解 :过Ｅ作ＥＧ∥ＡＤ交…     

一类不等式的统一证法

例题　 (1)已知 |ａ| <1,|ｂ| <1,求证 :ａ +ｂ1+ａｂ <1.(2 )设ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,且ｂ <2ａ ,求证 :ａｂ <2 <2ａ +ｂａ +ｂ .分析　将 (1)中的结论改写为 -1<ａ +ｂ1+ａｂ<1,与 (2 )中的结论比较易发现 ,两题的结论都具有Ｐ <Ｎ <Ｍ的形式 ,于是我们对两个问题作统一的一般化处理 (构造二次函数证明不等式 ) .设 ｆ(ｘ) =ｘ2 -(Ｍ +Ｐ)ｘ +Ｍ·Ｐ =(ｘ -Ｍ) (ｘ -Ｐ) ,则有Ｐ <Ｎ <Ｍ ｆ(Ｎ)<0 ,故要证Ｐ <Ｎ <Ｍ ,只须证 ｆ(Ｎ) <0即可 .证明 (1)　令Ｐ =-1,Ｍ =1,Ｎ =ａ +ｂ1+ａｂ,构造函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 -1.∵　ｆ(ａ +ｂ1+ａｂ) =(ａ +ｂ…