对一道习题几种不同解法的探讨

用多种解法解一道玫学题,并对不同的解法进行比较、分析是学好数学的一个重要方法。我们举例来说明之。 例题已知a急+乙忿=1,c,+d,二1,ae+石d=0,求证a之+e念=i,石“+d:==i,a西+ed=0。 证明(1)代数证法‘ 由已知条件得. 石注d生=(1一a忍)(1一cZ)==1一a:一e’+a月‘:, a:+e,二1+a忍e:一b 2d2 =1十(ac一乙刁)(‘_一bd)二1, 同理b忍+‘名二lobZdZ‘:‘c‘ =1斗(ac十bd)(bd一ae)=1 .’. ab+ed二(a么十西“)cd:、(e’+d’)ab =(ad+bc)(ac一:二d)=0. (2)三角i正法令a二sioa,c二:in夕,则丢·。。sa万·cos夕,其中51,asin刀+cosac口s夕二oee。石d=5…     

引入参数证明不等式

,有些不等式的证明,可以巧妙地引入参数,构造一个参数不等式,使参数在不等式证明过程中起到一个桥梁作用. 例l已知a、b、e任R+,且a+b+c=1,求证:抓而雨万十石丽石十了而萍下“了下.诬明设‘>.,构造不等式如下::了丽石干1=石勿币滓万、.声、声.舀..矛.、了、,l,_。._‘气二r气r十1加十1, 乙同理‘了〔丽干万《喜伊+:sb+:).,一一’-一’一~生、一’-一’一‘ ,_、.。,l,J.__ ‘了l刀C州卜l版如二.气r,.1习亡十l, 乙 (1)+(:)+(3)得.‘(刀画不I+了丽石干1.+了1茱落万)(3) ‘备,+‘当且仅当‘“(4)Z瓦翻万二石丽干面. .了了‘,.、一~.。』.一丫…     

问题征解

,叱写七口写云月巴舀七里‘云日巴‘七洲云理弓石月巨写七口弓七口S之绝写2岁 一、本期问题征解 编者按为满足广大初中读者要求,本栏从这一期起,增加初中内容的题目,希踊跃参加并给我们来稿. 1.设aZ+a+1=o,求证a’“吕“+a,””’+x=3. 2.设a,b,c都是整数,求证口+b+a“b“ec》(a bc)-万--一.a忿+bZ=7,‘2+dZ=1,ac+bd=0:求ab十cd之值.设 4.求证‘到垫睡巫兰燮丛竺竺亘巫匕业 了1983是整数.“ 5.设实系数二次式f(二)=二2+a二十b,求证: lj(z)1,!f(2)},If(3)I中至少有一个不小于冬 -一26.计算(1+tgl。)(一+tgZ’)…(1+tg44’). 薪春二中肖继…     

一个不等式的证明及引伸推广

贵刊 2 0 0 2年第 2期数学问题第 3题是 :设a、b、c ∈R ,且abc =1,求证 :a3(c b) (a c) b3(b c) (b a) c3(c a) (a b) ≥ 34( 1)一、关于不等式 ( 1)的证明原证明是在假定a≥b≥c的前提下运用排序不等式给出的 ,但由于不等式 ( 1)的左端不是关于a、b、c的对称式 ,故原证明有不妥之处 ,下面我们给出不等式 ( 1)的一个证明 .证明 :记不等式 ( 1)的左端为M ,由平均值不等式得a3(c b) (a c) c b8 a c8≥ 33 a364 =3a4,即 a3(c b) (a c) ≥ 5a -b-2c8.同理 ,b3(b c) (b a) ≥ 5b -c-2a8,c3(c a) (a b) ≥ 5c-2a -b8,以上三个不等式…     

用直线和圆的位置关系证不等式

设直线l:Ax+By+C~0(A、B不同时为 零),圆C:(x一a)“十(y一b)“一尸,则直线l与 ,。*一、__}Aa+Bb+C}一~~、.、‘~ 坦引L-户钊)二‘呀氏、二币,一目下军二二;花二育一,女:尧r·工光月今岁期劝乙.刃 了A‘十B‘ 螂卿孝 这一结论在条件不等式证明中的巧用. 例l已知a)O,b)O,a+b~1,求证: 祷不百+沂万(2. 。一。一合时等号成立,· 例2已知a,b任R,且a+b+1~O,求证 (a一2)2+(b一3)“妻18. 证明令(a一2)’+(b一3)2~尸, 则点(a,b)在直线l:x十y十1一。以及圆 C:(x一2)2十(y一3)’一尸上. 即直线l与圆C有交点. 证明令。~,沂弓呻+沂万, }2+3+11一~,…     

两个条件不等式及其应用

命题一不相等的正数a、b、c、‘,。为最大数,若。各式相乘可得+‘一b+一则‘,,“‘,‘2,告+令>士十于 证明(1)由题设可得a一。二b一d>O二b>d. 设a一b二c一建=‘,则‘>0,且a二‘+吞,e=汉+‘ .’.耐=(‘+b)注=从+记,倪=b(d十心)=沉+倪 比较两式,,.’b>‘,‘>O,:.“>血,:.加>毗 (2),.’a、b、c汉均为正数,a+滚=石+e,酥>吐刊二令>宁,:告+专>朴告推论不相等的正数。、b、。,若2b二。十。,则(l)‘子应用举例:例l,日N,证明:!(证明略) (·l)2<(粤户,.…!<(岑,·,综上所述…,匀竺宁)’, 例:已知·。N一列,求证士+南十:+六+汾’· 证…     

不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|取等号的充要条件

高中数学课本证阴了不等式!。}一}川《1。一卜日《卜!理l划,但没有指出何时才能取得‘“”号,本文指出其‘二’号成立的充要条件,并给出应用. 定理1.不等式la+bl《卜l+lb}(。,b〔R)取‘二”号的充要条件是。b>0. 证明:卜一:一6!二扣}+!乙}令今!。十bl忍二·(卜卜!b!)s令冷,十2}。}lb!十b’二。:+:卜b!+bZ令今:b》0. 用数学归纳法可证明推论:不等式l::十。:十…+口。I《!。:卜卜:卜…+}。。】取‘=”号的充要条件是所有a。a;》o(‘,j=l,2,…,。) 定理2.不等式}口{一}b】《】a+‘}(a,b, ‘刃)取“~’号能充妥系件是口二b=。或一l《b/:‘〔. …     

一个不等式的推广和应用

.目:如果a,bCR+且。子b,求证 。“+6B)‘“6+a乙2‘(一)(见高中代数甲种本第二册P92例9),我们采用分析法证明这个不等式、 ‘证明:欲证。’+b“>。’b+。b“.就是证明 (a+b)(a“一ab+b“)>ab(a+b) 因为。十b>0,所以只需证明, aZ一。b+毛忍>。b,即。,一2。吞+b“>o 由于。子b,故最后这个不等式(。一b)“>。成立,反推上去,从而。吕+b“>Zb十。bZ成立、 汽特别地,当。=b时,则有。“十b“一a“b+。bZ成立、 略作堆广就得到不等式 o‘+石‘玲a sb于ab’(2)可如下地进行 证明(用比较法) .(“七b‘)一(a“b+ab“) ”。吕(a二b)一石吕(a一b) 二(…     

一个代数不等式及其应用

B︸ O一,卜口 十)s一a 镇 ︸i一e i一。 定理设。,石,c〔R,则 (ab bc ca)簇3一‘(a b c)2《 (a“ bZ cZ)。当且仅当a=b=‘时取等号。 证,.’a,b,e任R .’.(a一b)“ (b一c)“ (e一a)2)0即a“ bZ cZ》a乙 bc ca(1)由(1)两端同加2(ab b: ea),得 (口 b e)2)3(ab 石c ea)(2)由(1)又2后两端同加a“ b“ :“,得 3(02 bZ e么))(a b c)“(3) 综合(2)、(3),得 3(a“ bZ eZ))(a b c)2)3(口b bc ea)显然,当且仅当a二b二即寸取等号. 此定理在数学解题中应用颇广。具有化繁为简之效,值得重视.下面举例加以说明: 例1已知x、万、,〔R十,且x十夕十“=…     

利用复数的除法证明不等式

25一2 妻 设。、b、c、‘都是实数,则 a+b‘ac+b‘.be一ad, 一丫-一石号-一犷气一~万了呀~一,~下一石,否 C十心忿C一十已.C一十『’(·+专)’十(,+合)’这是大家熟知的复数的除法运算.用它来处理一些不等式的证明,不仅简单明快,而且给人享受数学的奇异之美. 例1如果a,b为实数,那么aZ+b,)2a6(当且仅当a二b时取“=”号). 证①当a二b二O时,命题为真. ②当a,b中至少有一个不为零时 构造复数a+b‘与b+a‘(a,b任无) 由(a+b‘)/(b七a‘)=(ab+ba)/(a,+b.)+(bZ一aZ)‘/(a,+bZ)(:,少eR)构造复,(·十约十(;十分与1·、‘, 谧(·+专)+(;+韵‘ 1十落(…     

利用函数的单调性证不等式

250一+b城特‘)证明按已知东件,原不等式等价于 a’+石.①a,+‘.② 一、、.J了 ︸.台,.巴十2 二口丫 了户,龟、、 目 的 了,J 数 函. 透 构 .易知式l)禅1二③故不等式0决走牙函数⑧为(非严榕)增函数.f(,+,)一少(,)二a’+气+6.十1 2。’+‘’ 2︵+2︸a一一‘︸一一)一”(扎狱黔少一全畏概护少一乳心托羚‘一“‘’一久一兰业二哪扛扩+ai-‘石土:?..+,6 》O 即l(。+1)>l(。)‘二争函数②为增函数、又由③知,不等式中真,从而原不等式真. 椒上方法可归纳为. 欲证不等式刀(,)》B(。)(>o),(,〔N)可构造函数f(。)‘A(。)一B(。)‘或“(·,一粼).…     

算术平均—几何平均不等式的一个证明

设a:、 a盆、al+aZ 怜a。是正数,则有不等式~习可可不瓦一 一bK+‘)+…十bK+‘(戈一b)〕设￡‘一b‘=(,一b)(%‘+‘+x‘+“b千…+b‘+1)=(戈一b)Pi1=式中等号当且仅当a,二a:二…二a。时成立。证明用数学归纳法,n=2结论显然成立。 假定n=K时成立,则 月二(a:+a:+…+a尤)+a尤+l 一(K+1)K+‘侧瓦瓦二花订万 )K大访瓦瓦下砰而瓦 一(K十l)K+’了面瓦不石石万…(1) 设K+‘亿面万丁=、 K!K十’V而二ha二b,(1)式右(P‘>0了 i=(%)2,一,K),乡}}}(戈一b)2(P尺+P万*:b十 卜P工石K+l) 户K+夕K*声+….’.f(二)>O,A) ‘.。十…(2)+P tbK+‘>00即a…     

1.|a b|>|a| |b|

有众所周知}a bl(la! !b{,在这里我们却}a bl》ial }b}.诸肴如下证明:*为一且二_八亘万_压二画三二一’一’I口 bl可(a 吞)1心(a b)(a b) ︼一人U. 一t,一,一.办 一.︸︺叭一办一 一‘U一之一al一一叭U李,一b 叼a︸ 一a_旦口十石 。 b不),雌 !b}}a b}篇-_I,口。、乓乏‘石不十石落j, (l) (2)得{a} }b}}a b} a-下-r十a十O:}a bl》}a! b。 b}bl...‘l,‘ ‘1.|a b|>|a| |b|@曹存富$宁波市北仓区教研室~~…     

用参数法证条件不等式

已知条件为。 b一,(川为常数),可我(l’J的方法证明:设。=要十‘,b二 ‘答一‘(‘乙为参数). 例l已知。,b任衬且“ b~2,求证。‘十b4)2. 证明令a=一 t,b=一t,(t任I亡) 则a‘ b‘=(l t)‘ (I一t)‘ =2十1 2t2十2t4)2. 用与上面同样的设法我们还可证明:当“ b=2时,有。· 乙.)2二 例2已知。>0,b>0,且。 b一l;令一告十‘,“一合一‘,·:。>。,。>。,.…‘.<音压十沁一俪 俪 一了(了不石十勺不巧)2 一丫2 :丫、二了(召万干酉一:例3已知a)0,b)0且。 b一l,求证:抓厕 压、2.冬毛“2 。2毛,‘ 本题可用三角代换法证明,但较繁,仍用·20·证明令。一…     

一元二次方程根与系数特殊关系应用

实系数方程 (l)c=0,贝J xl竺程似’ 酝十犷O‘“‘。’有‘性质:右对二2 酝十。二0(a笋0)有。 b十,赴一专为方程的二根‘为c一a反之,:,~1,z:二axZ十酝十c~O(a并夕只理0)的二根,则。 b 。一0. (2)若对ax, 酝 c一0(a护0)有a e二b,则x,二一l,xZ二一二为 a肚2十厉十e=0(a护0)的根;     

函数单调性的妙用两例

例1 ~一，一8 .10 麟小哥八了-气一;戈下十-r下 气X门卜i夕一X州尸i 一x3一sx >O 解原不等式等价于 2、，._、，2 灭一，尸丁，“十勺入一气-丁夕X‘一勺X。 X一IX--t-1 令f(t)一护 5t，易知函数f(t)为R上单 调递增的函数， 所以原不等式等价于了(今)>了(二)， X气广i ~.‘，~一一~一一，‘_2_~..一 所以原不等式又等价于一‘一>x，因此原 ，产，~闪、一”V~~丫I，，Jx l‘一’月~闪‘ 不等式解集为{xl一1相似文献   

凑配均值不等式常用的变形技巧

（a1，a2，…，an是正数，n∈且≥2）解证有关不等式问题，常常无法直接解决，而是先将解证的不等式进行适当的变形，凑出均值不等式的条件，再用均值不等式解决．这时，恰当的变形便成为解题的关键．下面介绍七种常用的变形技巧．1补项例1已知X＞-1，且x≠0，n∈N，求证：（1＋x）n＞1＋nx．证明例2设x1，x2，…，xn。都是正数，证明：2拆项例3已知a、b∈R ，且a≠b，求证：证明a5＋b5例5已知a、b、c∈R ，且a＋b＋c＝1，求证：证明例8已知a＋b＋c—1，＄证：rt‘＋b‘＋C‘MM．证明”．”1一（a＋b＋c）‘一a‘＋b’＋c’＋Zab＋Zbc＋…     

利用函数的奇偶性证反三角不等式

肠目设}x}<1,求证 eos(aresinx)(aresin(eosx). 分析易知不等式两边的函数都是偶函数,原命题的条件等价于x(〔O,1].设(a证一: COS=COSare、inx=a,则、ina二x,于是aresinx)一aresin(eosa口一arCSin 了汀、〕s,n、一了一x产“当x〔[0上式二eosa,13时, ,汀、一人不犷,一x’=eosa十sina兀_护育几厂‘一V乙sln(平十。)一冬‘万一斗0=了l一厂,故有…     

多边形形状的判断

利用向旦判断 例1已知斌+斌十斌=。,〕丽劝+「瓦丙卜几j户井二l,判断△尸,尸2尸。的形状· 解丫武十斌+斌二o, :.斌十斌一斌, ,.(斌十斌)2一(一斌),,即{斌}’+}斌},+2斌·斌=l斌}‘. ,.l斌}一!成}钊斌}一1, .斌·斌一合,:’(斌:斌}Cos二尸:oPZ一合, 匕PI 01〕2=120: 同理,乙尸;〔护3二匕尸ZOp3二120‘. .’.△尸,pZ尸3是正三角形. 例2在△ABc中,设茄二。,成二b,庙-。,若a·b=b·。二。·。,判断△ABc的形状. 解’.‘a十b十c=O, ‘a+b=一e,(a+b)2=eZ,即aZ+bZ+Za·b=eZ(1) 同理,bZ+。2+Zb·。=aZ(2)川一(2),得aZ一eZ+2(a·吞一‘·e…     

高等数学选登

一”悠(,十劲”存在性证明\/“’a““’“”‘’毛山十向十’”咔一‘+七 那十l〔广州师院张映东,安徽铜凌四中张晓铭分别供稿)利用不等式(a‘李0)并令‘二。、,b=,:二a:““一‘十、,可得翻+1丫,丁‘竺土竺色“口“~邢十1(1) 2”_2”一2_”一IJ由(1一A)有In”=In一万一多2不反了二2石耳一i吸件(1一E)从而用。二l以及b“1十上代入(1),就知为自然数。.丫(‘+劲”(1+告)”簇(,毛丝生卫邪十l 1=1+不百-r.一)”“”=1时等号成立)艺In*)2艺些二卫左+1h=1k=1”十这说明/。一(1+勃”是单调上升且递增的, r二,:、、即’n(川)多2}山_、‘一石飞/!…