二次曲线存在轴对称点的充要条件

关于圆锥曲线上轴对称点的这类问题,知识面较广,且解题方法较活,运算量也往往偏大,学生望而生畏。本文试揭示其中的一个充要条件,运用它可使这类问题获得统一而较简明的解法。引理.二次曲线f(x,y)=0一组斜率为k_0的平行弦中点的轨迹(即平行弦的共轭直径)方     

二次曲线的直径方程及其应用

从平面几何知识知道,圆中垂直于弦的直径必过此弦的中点,反之,圆中任意一条弦的中点,必在垂直于此弦的直径上,而且,与已知弦平行的一组弦的中点,都在这条直径上。于是,我们这样定义圆的直径: 定义1 圆中一组平行弦的中点所在的直线(诸平行弦中点轨迹),叫做这组平行弦所确定的直径。(括号内的叙述是狭义的) 定理1 圆x~2+y~2=R~2的直径方程可表示为 x+ky=0,其中k为诸平行弦的共同斜率。证明设诸平行弦中的任意一条弦的方程为 y=kx+b,其中b是参数。又设它与圆     

圆锥曲线的平行弦中点的轨迹

<正>我们从大家所熟悉的圆的平行弦中点的轨迹开始研究.例1已知圆x~2+y~2=r~2,B为该圆内的■动弦.斜率为m(常数).求此动弦中点轨迹的方程.分析涉及圆内弦的中点,同学自然想到垂径定理:垂直于弦的直径平分弦.     

二次曲线的弦的中点轨迹的一种求法

求二次曲线的弦的中点轨迹是中学解析几何中的一个难点,它包括求(一)平行弦的中点轨迹;(二)过二次曲线内(或外,或上)的一个定点(包括焦点)的直线截二次曲线所得弦的中点轨迹;(三)弦长为定值的动弦的中点轨迹。其中焦点弦的中点轨迹利用二次曲线的极坐标方程求解最为简便,其他类型的轨迹用直线的标准参数方程求解较为简便。     

用导数求二次曲线的弦的中点轨迹方程

命题1 如果二次曲线的平行弦的科率为k,则平行弦的中点轨迹方程为y’=k。 证明:设平行弦所在直线方程为:     

圆锥曲线弦的斜率公式及其应用

关于圆锥曲线弦的中点轨迹方程的讨论,历来被人们所重视。目前,应用微分中值定理或直线的参数方程论述问题的文章屡有发表。本文将应用代数方法导出圆锥曲线弦的斜率公式,并介绍斜率公式的一个重要应用——建立求解圆锥曲     

圆锥曲线弦的中点问题

圆锥曲线弦的中点问题江福贵张艳芬（吉林舒兰市一中１３２６００）（上海松江县教师进修学校２０１６００）求直线被圆锥曲线截得弦的中点问题，屡见不鲜，是一类重要问题．对于有心曲线弦的中点问题，我们可以用切线的斜率和中点与中心连线的斜率的积为常数（±ｂ２ａ２...     

巧用“点差法”解决中点弦问题

<正>我们将与圆锥曲线弦的中点有关的问题,称为圆锥曲线的中点弦问题.圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型,在选择题、填空题、解答题中都是命题热点.它的一般方法是:联立直线与圆锥曲线的方程,借助一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式以及参数法求解.这种方法的计算量较大,思维能力要求高.因而在高考复习中成为了高中教师与学生都头疼的问题.     

中点弦公式和应用

一、问题的提出所谓中点弦问题，即已知一点和一圆锥曲线，求以这点为中点的圆锥曲线的弦的方程．此问题按习惯解法是：设点斜式方程代入圆锥曲线，由韦达定理求中点，从而求出斜率得直线方程．此法运算量大，特别带参数时运算更繁，下面给出较简单的方法及证明．二、引理...     

“圆锥曲线中点弦”存在性的探究

“圆锥曲线中点弦”存在性的探究吴新华（广东省中山市中山纪念中学）为了行文方便，本文把“被定点平分的圆锥曲线的弦”简称“圆锥曲线中点弦”．一、问题提出文［１］在文［２］的基础上对双曲线的中点弦的存在性作了全方位的探究．相应得出如下的结论：设双曲线的标准...     

例说代点法

代点法是解析几何中一种非常重要的解(证)题方法,利用它来解决圆锥曲线的弦的中点(当然未必都限定为弦的中点,而这里主要考虑弦的中点)的各种问题显得特别方便。因为它的思维模式的规律性强,便于遵循,易于掌握,所以堪称行之有效的方法。 代点法的实质是,把圆锥曲线弦的端点作为辅     

一题多解 妙探『中点弦』问题

一、“中点弦”问题 “中点弦”问题是指圆锥曲线上两点的中点(已知或待求)一类问题的统称,在平面解析几何中与“中点弦”有关的类型是典型且重要的.     

关注圆锥曲线中的三类弦问题

圆锥曲线的弦是考查直线与圆锥曲线的位置关系的重要知识背景,因此抓住圆锥曲线的有关特征弦,是解决这类问题的关键,圆锥曲线中主要以焦点弦、原点弦、中点弦等进行考查,下面采撷六例予以分类解析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.     

圆锥曲线

1)重点：三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质(包括范围、轴、顶点、焦点、离心率、准线，对于双曲线还有渐进线)及其应用；直线与圆锥曲线相交弦的中点轨迹问题；待定系数法、运动变化思想、数形结合思想的应用．     

二次曲线的放射弦族中点轨迹

文[1]中给出了弦中点定理和逆定理,从而得到了求二次曲线弦族中点轨迹的简便方法.本文将利用此方法系统地讨论二次曲线的放射弦族中点轨迹.这一问题不仅本身饶有趣味,而且为我们用初等的方法研究二次曲线的切线奠定了基础. 过平面上一定点P的直线族被某二次曲线所截得的弦族,称为该二次曲线的、过点P的放     

二次曲线直径方程新的推导方法

二次曲线平行弦中点的轨迹叫做这二次曲线的直径。关于二次曲线直径方程有传统的推导方法。这种方法是将动弦的参数方程代入二次曲线的方程,得到关于x的二次方程,由根与系数的关系,消去参数,得到二次曲线直径的方程。本文介绍一种新的推导方法,此方法比传统方法有更多的优越性。先从一个简单的例子谈起。求椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1的斜率为k的弦的中点轨迹。设椭圆斜率为k的弦的中点为P(x,y),端点为A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2),于是有方程组     

利用导数解决与中点弦有关的问题

直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题.解决圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解,这种解法还是比较繁琐的.导数进入中学数学,丰富了中学数学知识和解法,给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法,也给许多常规问题的解法提供了新的视角.利用导数解决与中点弦有关的问题,就是导数的一个创新应用.以下举例阐述,供同仁参考.     

圆锥曲线的弦的一个性质及应用

圆锥曲线的弦的一个性质及应用苏州吴县中学王继源直线与圆锥曲线的位置关系中，涉及弦的问题特别多，其中尤以弦的中点问题更是五彩缤纷，如何处理这些问题，当然方法较多．本文介绍利用弦的一个性质来处理这些问题，更可使人感受到数学的清新与简洁之美．一、圆锥曲线的...     

抛物线弦中点轨迹的一个重要结论

以下三道关于抛物线弦中点的轨迹问题引起了我的思考 ,即 :例 1　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =4ｘ的顶点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 2　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =16ｘ的焦点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 3　直线ｌ过 (0 ,4 )点 ,与抛物线ｘ2 =8ｙ相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .将以上三题的相关结果列表如下 :表 1　例 1,例 2 ,例 3的解答结果内容题号抛物线方程弦中点轨迹方程弦所过定点弦中点轨迹顶点抛物线通径弦中点轨迹通径例 1ｙ2 =4ｘ ｙ2 =2ｘ (0 ,0 ) (0 ,…     

圆锥曲线上两点关于直线对称问题巧解

在平面解析几何中,直线与圆锥曲线相交弦的中点问题是平面解析几何中的重点问题、综合性问题,有一定的难度.尤其是圆锥曲线上两点关于某直线对称问题,在求某一变数的取值范围时,常见解法多数繁杂,解题过程冗长.本文给出下面四个定理,挖掘出了弦的中点的有关规律性问题.运用这四