辨析函数中易混淆的三对概念

1函数的定义域为A与函数在A上恒有意义两个概念十分相似,易误认为是同一个问题,事实上“函数在A上恒有意义”中的A是f(x)的定义域的一个子集,是不等式恒成立问题;而“函数的定义域为A”中的A是函数的定义域,其解法是已知不等式的解集求参数问题.例1(1)已知函数f(x)=1 2x 3xa的定义域为(-∞,1],求a的值;(2)已知函数f(x)=1 2x 3xa在(-∞,1]上恒有意义,求a的取值范围.解(1)由题意,不等式1 2x 3xa≥0的解集为(-∞,1],即a≥-[(31)x (23)x]的解集为(-∞,1],令g(x)=-[(31)x (32)x],易知g(x)在(-∞, ∞)上是单调增函数,∴g(x)max=g(1),所以不等式…     

透过现象看本质——数列中的恒成立问题

数列从本质上讲是一种特殊的函数,其特殊性表现在定义域是正整数集或它的有限子集,函数值是相应数列中的项.因此,研究数列的图象和性质,应注意从函数的观点入手.在高中数学中,函数与不等式、方程是相互联系的,在一定条件下是互相转化的.于是,数列中的恒成立问题主要表现于数列与不等式、方程相结合的恒成立问题.     

利用函数的映射意义解惑

在函数f:A→B的定义中,“对于集合A 中的每一个x,在集合B中都有唯一确定的值 f(x)与x对应”这句话还蕴含了一个重要的“对应”意义:f(x)为定义域A中的x在f作用下所对应的函数值,且f(x)若存在,则x必属于定义域A．利用这一对应意义,可帮助我们理解很多重要的函数问题．     

用导数解不等式（等式）成立问题

不等式恒成立问题是高考中一类常见的典型问题,近几年的高考试题中经常出现存在x0使不等式（等式）成立的问题,我们把它称之为“不等式（等式）能成立”的问题．与不等式恒成立问题一样,这类问题的解决,大多可用函数的观点来审视,用函数的有关性质来处理．     

2007年高考“恒成立”问题的分类解析

在2007年的高考中，有许多省市都考到了“恒成立”问题．高考中的“恒成立”问题，把不等式与函数、导数等内容有机地结合起来．本文从以下6个方面阐述“恒成立”的有关方法，以提高学生思维能力和解题能力．     

谈恒成立问题的求解方法探讨

恒成立问题是指题设中含有恒成立条件 (如不等式、等式 )的问题 .由于此类问题具有“变”中有“不变”的特点 ,其题型涉及到高中数学中的多个分支 ,且容易与相关问题混淆而产生错误 ,因而成为近年来命题测试中的常见题型 .为了对恒成立问题的解题方法有全面认识 ,本文试对此类问题的求解策略作一提炼总结 .1　构建函数构建适当的函数 ,将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题 .1 1　构建一次函数众所周知 ,一次函数的图象是一条直线 .要使一次函数在某一区间内恒大于 (或小于 )零 ,只需一次函数在其区间的两个端点处恒大于 (或小…     

从“形数结合”谈二元不等式(组)的解

不等式是解决客观世界中量与量之间不等关系的工具,在数学本身的研究中,不等式也有广泛的应用。最常见的就是用不等式给出数集与点集。例如用含有一个未知数的不等式1相似文献   

一类恒不等式的解法及其应用

一类恒不等式的解法及其应用２２１２００江苏睢宁中学黄安成若对于函数ｆ（ｘ）定义域内的一切ｘ的值不等式ｍ≥ｆ（ｘ）恒成立，则这个不等式称为恒不等式．恒不等式有下列四种基本类型（１）ｍ≥ｆ（ｘ）（２）ｍ≤ｆ（ｘ）（３）ｍ＞ｆ（ｘ）（４）ｍ＜ｆ（ｘ）若ｆ（...     

函数的定义域

函数的定义域是函数的三要素之一,脱离 定义域研究函数是没有意义的,因此必须熟练 掌握求函数定义域的方法和步骤． 一、已知函数的解析式求定义域 求给定解析式的函数的定义域,基本方法 是根据解析式有意义的条件列出不等式(组), 然后求解．常见的有:     

函数中几个易混问题的辨析

在函数学习中,我们经常会遇到一些形似而质异的易混问题,如不认真审题,仔细辨析,就难免使解题出现方法上的错误,现例析如下:一、定义域与有意义例1.已知函数f(x)=lg(4xa 2x 1)在(-∞,1)上有意义,求实数a的取值范围.解:函数f(x)在(-∞,1)上有意义,则不等式4xa 2x 1>0的解集包含(-∞,1),从而转化为在(-∞,1)上a>-[(21)x (41)x]恒成立,又由于g(x)=-[(21)x (14)x]在(-∞,1)上是增函数(应注意在(-∞,1)上并不能取到最大值),所以a≥-[(21) (14)]=-43为所求.辨析:若将题中“在(-∞,1)上有意义”改为“定义域为(-∞,1)”,则解答中应有:4xa 2x 1>0的…     

“不等式恒成立问题”求解中的几个抓手

恒成立问题是高中数学中的一个热点,而不等式更是高考的重点,有人说“不等式恒成立问题”是高考的兴奋点,这不无道理．但此类问题解法灵活、综合性强,部分考生常感到无从下手,茫然不知所措,那么到底如何解决这类问题呢？实际上只要紧紧“抓”住这类问题求解中的几个“抓手”,求不等式恒成立问题就会迎刃而解．本文试对这类问题作一些归纳和总结,以飨读者．     

数学问题驱动的三阶深度学习引导模式教学实践——以“函数与导数”微专题复习为例

不等式恒成立问题形式简单,解法多样,能够有效区分学生的思维层次,是高考数学考查的热点.在高三复习“函数与导数”时,以微专题的形式,采用“问题驱动的三阶深度学习引导模式”,对不等式恒成立问题尝试进行深度学习的教学实践,以期实现对此类问题的有效突破.     

求三角函数周期的一种方法

在三角函数中,求周期是一个重要内容,也是一个难点。在常见的一些题目中,如求y=|sinx| |cosx|,y=(1-sinx)~(1/2) (1 sinx)~(1/2)的周期等一类,学生做起来总觉得不顺手,掌握比较困难,为了使这类问题易于解决,不妨试用“不变量函数方幂法”。什么叫“不变量函数方幂法”呢? 定义若函数y=f(x)在定义域A上恒非负,或者恒非正,则称函数y=f(x)为A上的不变量函数。定理若函数y=f(x)是定义在A上的不变量函数,且y=f~a(x)也是A上的不变量函数(a为非零有理数),则函数y=f(x)与y=     

一类常数取值范围问题的求解途径

目前,在国内外的一些考题、赛题中,有这样一类问题: 对于函数W(X)的定义域内任意一个x,恒有W(x)≥C(或≥C),求常数C的范围. 这类问题看来简单,做起来又十分困难,究其原因,主要是受“由W(x)≤C(或≥C)C为函数W(x)的最大值(或最小值)”这一定势思维的影响,使得这类问题变得有些抽象、费解.笔者在处理这类问题时,通过一个简单命题入手,效果很好,现探讨如下: 设函数W(x)的定义域为A,值域为[P,q]. 命题1 对于任意的X∈A,恒有W(x)≤C,则常数C∈[q, ∞) 命题2 对于任意的x∈A,恒有w(x)≥C,则常数C∈(-∞,P]。对于命题1,如果C不小于W(x)的最大值     

从一道高考题谈含参数不等式解题策略

含参数不等式恒成立问题和存在性问题是近几年高考的一个热门题型,它以“参数处理”为主要特征,以导数为工具,往往与函数的单调性、极值、最值等有关,在解决这类问题的过程中涉及了“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”“分类讨论”等数学思想.含参数不等式求参数取值范围是一类常见的探索性问题,主要是求恒成立问题或存在性问题中的参数范围.解决这类问题,主要是运用等价转化思想,把复杂的,不熟悉不规范的问题转化熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.下面就一道含参数不等式恒成立问题来谈谈如何对它进行横向拓展、纵向引申,达到优化认知结构、掌握思想方法、培养思维能力的目的.     

“恒成立”与“恒有解”辨析

不等式“恒成立”与“恒有解”是容易混淆的问题.“f(x)>a在什么条件下在R上恒成立.”是指求对每个实数x,f(x)>a都成立的条件.用函数的观点来看,命题等价于“在什么条件下,函数y=f(x)的图像恒在直线y=a的上方.”     

从函数角度谈“恒成立”问题

在学习函数、方程、不等式过程中,常见到“恒成立”问题.一般来说,“恒成立”问题多数涉及两个变量,其中一个变量恒满足某一条件,对另一个变量进行数学设问.而这两个变量间的关系常以函数、方程、不等式等形式给出.本文重点从函数角度介绍一下“恒成立”问题的解题策略. 一、不等式“恒成立”问题 例1 已知x2 (4a-3)x 3a>0, (1)若不等式对任意实数x∈[-1,3]恒成立,求实数a的取值范围. (2)若不等式对任意实数a∈[-1,3]恒成立,求实数x的取值范围.     

2006年全国各地高考与模拟数学试卷评析——不等式华中科技大学附中试题研究小组

不等式作为工具知识，渗透在中学数学各个分支中，诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题最终都可归结为不等式的求解或证明．由于不等式知识的工具性，并综合了多种数学思想（等价转化、分类讨论、数形结合、函数方程），使得不等式极其容易与其他知识点融合交汇，符合考试大纲中“对数学能力的考察要以数学基础知识、数学思想方法为基础”的要求，容易考查学生分析解决问题的综合能力，因而不等式一直是高考命题的热点内容．     

函数不等式恒成立问题的求解策略

函数一不等式恒成立问题是中学数学的重要内容,也是近年高考的一个热点问题．研究高考试题,不难发现函数一不等式问题立意深刻,是有效地甄别考生能力的一类好试题．本文中例谈高考中函数一不等式恒成立问题的求解策略,以飨读者．     

含参不等式恒成立问题的解法

在解含参数的不等式恒成立问题时，需要理清思路，分清层次，找准方法，如果直接求解较繁，可以转变角度，变换思维，就会有“柳暗花明又一村”的感觉，下面通过几个实例来说明含参不等式恒成立问题的解法．