L[0,1]^p（1〈0〈∞）空间正系数多项式倒数逼近的一个推广

本文失言了L[0,1]^p（1〈0〈∞）空间函数的正系数多项式的倒数逼近的结论，即证明了：设f（x）∈L[0,1]^p（1〈0〈∞），且在（0，1）内严格1次变号，则存在一点x0∈（0,1）及一个n次多项式Pn（x）∈Πn（＋）使得‖f（x）-x-x0/Pn（x）‖L[0,1]^p≤Cpω（f,n^-1/2）L[0,1]^p其中Πn（＋）为次数不超过n的正系数多项式的全体．     

“若命题f（x）≥0，则其否定为f（x）〈0”的说法对吗？

我们知道，含有变元的语句不是命题，因为它不能判别真假，如x-3〉0，这不是命题，逻辑上称之为“命题形式”或俗称为“开语句”．这一类语句如果要成为命题，必须前面加上量词，全称量词或存在量词．比如，语句f（x）≥0前面加上全称量词，得全称命题：对所有的x，有f（x）≥0，其否定为存在命题：存在z，有f（x）〈0；     

THE DIVERGENCE OF LAGRANGE INTERPOLATION FOR ｜x｜^α（2〈α〈4）AT EQUIDISTANT NODES

It is a classical result of Bernstein that the sequence of Lagrange interpolation polumomials to ｜x｜ at equally spaced nodes in [-1, 1] diverges everywhere, except at zero and the end-points. In the present paper, toe prove that the sequence of Lagrange interpolation polynomials corresponding to ｜x｜^α （2 〈 α 〈 4） on equidistant nodes in [-1, 1] diverges everywhere, except at zero and the end-points.     

双向分式不等式的一种简单解法

设实数a〈b,我们有以下命题： 命题 不等式 a〈f（x）/g（x）〈b ① 等价于不等式 [f（x）-ag（x）][f（x）-bg（x）]〈0 ②     

含参绝对值不等式的一个典型错误

在含绝对值不等式的解法中，通常我们都采用以下等价形式来解决： （1）｜f（x）｜〈g（x）←→g（x）〈f（x）〈g（x）；     

Lp（1〈p〈∞）上下半连续函数的HOLDER次微分逼搂中值定理

建立Banach空间上次微分的逼搂中值定理，关键是对连续凸函数g,f的次微分δf必须满足δ（f λg）(x)包含于δf(x) λδg(x)。该文在Lp上对Holder次微分来证明上述性质，由此建立Holder次微分下的逼搂中值定理。     

共振条件下一类三阶m-点边值问题解的存在性

考虑共振情形下三阶微分方程m-点边值问题x＇＇＇（t）=f（t,x（t）,x＇（t）,x＂（t））＋p（t）,t∈（0,1）, x（0）=0,x＂（0）=0,x＇（0）=0,x＇（1）=∑i=1^m-2 aix＇（ξi）,其中ai≥0，0〈ξ1〈ξ2〈…〈ξm-2〈1且∑i=1^m-2 ai=1．利用Mawhin重合度拓展定理，得到该问题解存在性的新的结果．     

一类函数极值模型的构建与应用

函数模型 函数y=x2＋a2-λx（0〈λ〈1,a〉0,x〉0,a,λ是常数）,当x=λa/1-λ2时,有极小值ymin=1-λ2·a.     

上取整函数和小数部分函数的积分公式

基于上取整函数y=〈x〉的定义与图象,给出当a>b时,积分∫ba〈x〉f′〈x〉dx∫,baf(〈x〉)dx的计算公式,当f(x)在[b,a]为单调函数时,积分∫ba〈f(x)〉dx的计算公式以及伴随小数部分函数{x}=〈x〉-x的两个积分公式∫0a{x}dx和∫ba{x}dx,并举例说明其应用.     

探究一类条件不等式的源与流

文[1]对不等式“若xi〉0，i=1，2，3且∑i=1^3 xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出了一个较为简单的证明．其证明思路是：先证明对任意0〈x〈1有1/1＋x^2≤27/50（2-x），即（x-1/3）^2（x-4/3）≤0成立（这是显然的，且x=1/3时等号成立）.     

关于连续性与一致连续性的一个定理

设f（x）在Ω上连续．任给e〉0，令δ（ε,x0）=1/2sup{δ：当｜x-x0｜〈δ}时，｜f（x）-f（x0）｜〈e},则f（x）在Ω上一致连续的充要条件是δ（e）=inf{δ（ε,x0）：x0∈Ω}〉0.实例给出其应用.     

综合题新编选登

题165 （Ⅰ）已知函数f（x）=-x^2-2x（x∈（-1，2）），P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是f（x）图象上的任意两点，且x1〈x2.     

巧用等比性质证不等式

题目 已知xi,yi∈R^＋（i=1,2,…,n）,且x1/y1〈x2/y2〈…〈xn/yn,求证：x1/y1〈x1＋x2＋…＋xn/y1＋y2＋…＋yn〈xn/yn.     

利用(x-a)(x-b)<0(?)a

方针 《中学数学》1993,(11)

函数f（x）=a/sin^n x＋b/cos^n x最小值猜想的推广

文[1]中猜想：f（x）=a/sin^n x＋b/cos^n x（0〈x〈π/2,a,b∈R^＋,n∈N＋），当且仅当x=arctan ^n＋2√a/b时，取最小值（a 2/n＋2＋b 2/n＋2）n＋2/2。笔者发现不但此猜想是正确的，而且还得到它的一个推广，下面给出推广及证明（初等证明）．     

图中具有推广的正交（g，f）-因子分解的子图

设G是一个图，具有顶点集V（G）和边集E（G）．设g和f是定义在V（G）上的整数值函数且对每个x∈y（G）有g（x）≤f（x）．本文证明了如下的结果：若G是一个（mg＋kr，mf-kr）一图，且对每个x∈V（G）有g（x）≥r-1，H和G的任意给定的有kr条边的子图，则G中含有一个子图R，使R有（g，f）-因子分解r-正交于H，其中m，k和r是正整数且k〈m.     

综合题新编选登

题194 已知函数y=kx＋1与y=1/x（x〉0）的图象相关于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1〈x2），l1，l2分别是y=1/x（x〉0）的图象在A，B两点的切线，M是l1与x轴的交点，N是l2与y轴的交点，P是l1与l2的交点．     

巧解一题

题目（2005年全国理科）（1）设函数f（x）=xlog2x＋（1-x）log2（1-x）（0〈x〈1），求，（x）的最小值； （2）设正数p1，p2，p3，…，p2^n满足p1＋p2＋p3＋…＋p2^n=1，求证：p1log2p1＋p2log2p2＋p3log2p3＋…＋p2^nlog2p2^n≥-n．     

Mendelsohn系的大集问题

如所周知,Mendelsohn三元系是一个对子(X,B),其中X是一个v元素,B是X的一些循环三元组的族,使得X的每个有序对恰出现在B的一个循环三元组中.这里,循环三元组及有序对中所含的X的元是不同的,而一个循环三元组〈x,y,z〉恰包含三个有序对〈x,y〉,〈y,z〉和(z,x),故〈x,y,x〉与〈y,z,x〉,〈z,x,y〉被视为是同样的循环三元组.     

一个数学问题的源与流

文[1]提出并解答了问题： 设0〈x,y,z〈π/4,且sin^2x＋sin^2y＋sin^2z＋2sin.xsin.ysinz=1，求证：x＋y＋z=π/2. 经探索，我们发现：该问题的一个内在根源为如下应用广泛的恒等式：