问题

问题164 设点A（2，0），点B在圆x^2＋y^2=1上，点C是∠AOB的角平分线与线段AB的交点，求当B运动时点C的轨迹方程．     

三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目,本文将此类问题进行归纳总结,以利于进行求解.命题1 如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则∠D =90°+1/2∠A.∵ ∠1 =∠1′,∠2 =∠2′,∴ 2∠1 +2∠2 +∠A =180°,∠1 + ∠2 + ∠D=180 °.     

双曲线和椭圆的又一个几何性质

<正>问题设F₁,F₂是双曲线x²-y²=4的两个焦点,Q是双曲线上任意一点,从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线,垂足为P,求点P的轨迹方程.     

例谈角平分线上点的性质的应用

笔者在探究一类问题的过程中,发现角平分线上的点有如下性质:图1性质如图1所示,P为∠AOB的角平分线OC上一点,且满足OP=d,过P作直线l交OA,OB于M,N两点,若∠AOB=2θ,则O1M O1N为定值2cdosθ.证明设∠MPO=α,则∠NPO=π-α,∠OMP=π-θ-α,∠ONP=θ-α,在△OPM中,由正弦定理知sOin     

重视几何结论在解竞赛题中的应用

<正>在几何的学习中,积累一些常用的几何结论与掌握经典的基本图形同等重要,这些结论往往能起到事半功倍的效果.现以几道竞赛题为例,说明熟记一些几何结论的必要性.一、关于角平分线的几个结论(1)如图1,在△ABC中,作∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,则∠P=90°+(1/2)∠A.(2)如图2,在△ABC中,延长BC到点D,作∠ABC和外角∠ACD的角平分线交于点P,则∠P=(1/2)∠A.     

对一道高考题的推广与改编

<正>2013年高考陕西理科数学第20题是:已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线L与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线L过定点.推广已知抛物线C:y2=2px(p为正常数),点A(-p4,0),设不垂直于x轴的直线L与抛物线C交于不同的两点M,N,若x轴是∠MAN的角平分线,求证:直线L恒过定点(p4,0).证明由题意,设直线L的方程为y=kx     

圆内接三角形的一个性质

设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2     

三角形内角平分线的几个性质

<正>我们已经知道三角形的内、外角平分线定理,本文来探究三角形内角平分线的其它一些美妙性质.1几个性质结论 1如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,则AD=2AB·AC/AB+AC·cos∠BAC/2.     

一道习题的两个结论及其推广

<正>请看这样一道习题.题目如图1,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O,过O作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E.结论 (1)∠BOC=90°+1/2∠A.(2)DE=BD+CE.证明(1)∵OB平分∠ABC,∴∠2=1/2∠ABC.又∵OC平分∠ACB,∴∠4=1/2∠ACB,     

"∠B=2∠A"型问题的处理方法

掌握几何中"∠B=2∠A"型问题的处理 方法,是快速解答相关问题的关键. 一、作大角的角平分线 例1 如图1, 在△ABC中,AB= 2BC,又∠B=2∠A, 求∠C. 解 作∠B的平 分线交AC于E,过E 作DE⊥AB于D. ∵∠B=2∠A,∴ ∠1=∠2=∠A. ∵ DE⊥AB,　∴ BD=1/2AB. ∵AB=2BC, ∴ BD=1/2×2BC=BC.     

一道证明线段相等的经典几何题

题目 (2010年无锡市初中毕业升学考试第26题) (1)如图1,在正方形ABCD中,M是BC边(不含端点B,C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠DCP平分线上一点,若∠AMN=90°,求证:AM=MN.     

数学问题解答

2008年4月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1726 已知△ABC为锐角三角形,AB≠AC,以BC为直径的圆分别交边AB、AC于M、N,BC的中点为O,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于R点,△AMN、△BMR、△CNR的外心分别为O1、O2、O3.     

椭圆周角的单调性与范围

设P是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，我们称∠F，PF2为椭圆周角，     

一个结论的延伸及应用

<正>例如图1,在矩形ABCD中,若OC、OD分别是∠BCD、∠ADC的平分线,则AD+BC=AB.证明如图1,因为AB∥DC,所以∠AOD=∠CDO.因为OD是∠ADC的平分线,所以∠ADO=∠CDO.因此∠AOD=∠ADO.所以AD=AO.同理,得BC=BO.于是AD+BC=AO+BO,即AD+BC=AB(还有多种证法,读者可自行探究).延伸1如图2,在平行四边形ABCD中,     

角平分线的运用

角平分线在几何题中经常出现 .熟悉角平分线的处理方法是解决与角平分线有关问题的关键 .本文仅以 2 0 0 2年两道竞赛题的多种证法为例 ,说明角平分线的运用技巧 .一、用角平分线的定义图 1如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,∠ＡＣＢ的平分线ＣＤ和∠ＡＢＣ的平分线ＢＥ交于点Ｇ .求证 :ＧＥ =ＧＤ .( 2 0 0 2年重庆市初中数学决赛试卷Ｂ卷 )证明　连结ＡＧ .∵　角平分线ＢＥ、ＣＤ交于Ｇ ,∴　ＡＧ是∠ＣＡＢ的平分线 .又　∠ＣＡＢ =6 0°,∴∠ 3 =∠ 1 +∠ 2 =12 ( 1 80°-6 0°) =6 0°.∴　∠ＤＧＥ =1 2 0°.故　∠ＣＡＢ +∠ＤＧＥ …     

角平分面的性质及应用

<正>我们首先引进角平分面的概念,设OC是∠AOB的角平分线,过点O作∠AOB所在平面的垂线l,把由直线l和射线OC确定的半平面叫做∠AOB的角平分面.通过研究发现角平分面有如下性质:性质1角平分面内的任意一条直线和角的两边所成的角相等(如图1).证明设直线m是∠AOB的角平分面内任意一条直线,(1)当m是角平分线或平行于角平分线,或者m⊥平面AOB时,显然成     

角平分线的一个充要条件及其应用

定理:已知点P是角XOY内一点,过P的任意直线AB交OX于A,交OY于B,则OP是角XOY的平分线的充要条件是1/OA+1/OB为定值。证:(必要性)作PQ∥OA交OB于Q,则∠OPQ=∠AOP=∠BOP 故 OQ=QP= OP/2cos∠AOP为定     

对1842号问题及一个相关内容的再探讨

1842号原题 △ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点,若△DEF是等腰三角形,且∠EDF=90°.求△DEF面积的最大值.贵刊在2010年第4期上登载了该问题的解答.现对该问题及一个相关内容再作如下探讨,用另一种方法求出△DEF面积的最大值和最小值.如图1,△DEF就是符合题设的三角形.过点D分别作DM⊥CA、DN⊥CB,垂足分别为M、N.因为∠DME=∠DNF=90°,DE＝DF,又易证∠1=∠2,所以Rt△DME≌Rt△DNF.所以DM=DN.所以点D在∠ACB的平分线上.当DE⊥CA时,必有DF⊥CB,反之亦然.这时直接可得点D在∠ACB的平分线上.又点D在AB上,因此,点D是唯一的.由此可知:所有符合题设的△DEF均以唯一的点D为公共顶点.连结CD,CD即为Rt△ABC的角平分线.     

重视模型分析 激活解题思路——多视角分析一道几何证明题

在刚刚结束的2016年浙江省中学数学教师高级职称考试中,最后一题是以三角形为载体的几何证明题,题目图形简洁,条件短小精悍,结论优美. 1 问题的提出 试题 如图1,在△ABC中,∠C=60°,∠CAB的平分线AE与∠CBA的平分线BF交于点P.求证:1/PA+1/PB=2/PE+PF.     

三角形中角平分线基本形及其应用

<正>八年级学生学习了三角形后,会经常遇到一类有关三角形角平分线问题,本文对其基本图形进行归纳,并例析其应用.在△ABC中,∠A=α,(1)如图1,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,则∠BDC=90°+α/2;(2)如图2,BD平分三角形的外角