列表格，算两次——介绍^n∑m=1m^k的一种算法

高中数学第三册（选修Ⅱ）数学归纳法一节，要求证明下列恒等式：1^2＋2^2＋…＋n^2=1/6n（n＋1）（2n＋1）;1^3＋2^3＋…＋n^3=1/4n^2（n＋1）^2．     

ζ（3）的级数公式

给出ζ（3）的计算公式ζ（3）=π^2/7[1-4∑n=1^∞ζ（2n）/（2n＋1）（2n＋2）2^2n].     

探究一类条件不等式的源与流

文[1]对不等式“若xi〉0，i=1，2，3且∑i=1^3 xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10”给出了一个较为简单的证明．其证明思路是：先证明对任意0〈x〈1有1/1＋x^2≤27/50（2-x），即（x-1/3）^2（x-4/3）≤0成立（这是显然的，且x=1/3时等号成立）.     

一个竞赛不等式的多方位推广

文[1]中给出了下列结果： 已知x1，x2，…，xn∈R^＋则 x1^2/x2＋x2^2/x3＋…＋xn^2/x1 ≥x1＋x2＋…＋xn＋4（x1-x2）^2/x1＋x2＋…＋xn （1）[编者按]     

构造“零件不等式”证明一类条件不等式

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0，i=1，2，3，且x1＋x2＋x3—1，则1/（1＋x1^2）＋1/（1＋x2^2）＋1/（1＋x3^2）≤27/10     

一道日本奥赛题的别证及其它

对如下一道日本数学奥林匹克试题： 问题1已知a,b,c〉0,求证：（b＋c-a）^2/（b=c）^2＋a^2＋（c＋a-b）^2/（c＋a）^2＋b^2＋（a＋b-c）^2/（a＋b）^2＋c^2≥3/5.     

Precise rates in the law of the logarithm for the moment convergence in Hilbert spaces

Let （X, Xn; n ≥1） be a sequence of i.i.d, random variables taking values in a real separable Hilbert space （H, ｜｜·｜｜） with covariance operator ∑. Set Sn = X1 ＋ X2 ＋ ... ＋ Xn, n≥ 1. We prove that, for b 〉 -1,
lim ε→0 ε^2（b＋1） ∞ ∑n=1 （logn）^b/n^3/2 E{｜｜Sn｜｜-σε√nlogn}=σ^-2（b＋1）/（2b＋3）（b＋1） B｜｜Y｜^2b＋3
holds if EX=0,and E｜｜X｜｜^2（log｜｜x｜｜）^3bv（b＋4）〈∞ where Y is a Gaussian random variable taking value in a real separable Hilbert space with mean zero and covariance operator ∑, and σ^2 denotes the largest eigenvalue of ∑.     

一道自主招生试题的加强及推广的统一

（2010年浙江大学自主招生试题）有小于1的正数：x1,x2,…,xn且x1＋x2＋…＋xn=1．求证：1/x1-x2^3＋1/x2-x2^3＋…＋1/xn-xn^3〉4．     

江苏卷第18题的优美解法

2009年江苏卷第18题：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x＋3）^2＋（y-1）^2=4和圆C2：（x-4）^2＋（y-5）^2=4．     

Precise Rates in the Law of Iterated Logarithm for the Moment of I.I.D. Random Variables

Let{X,Xn;n≥1} be a sequence of i,i.d, random variables, E X = 0, E X^2 = σ^2 〈 ∞.Set Sn=X1＋X2＋…＋Xn,Mn=max k≤n│Sk│,n≥1.Let an=O（1/loglogn）.In this paper,we prove that,for b〉-1,lim ε→0 →^2（b＋1）∑n=1^∞ （loglogn）^b/nlogn n^1/2 E{Mn-σ（ε＋an）√2nloglogn}＋σ2^-b/（b＋1）（2b＋3）E│N│^2b＋3∑k=0^∞ （-1）k/（2k＋1）^2b＋3 holds if and only if EX=0 and EX^2=σ^2〈∞.     

江苏卷第18题的思路分析与漂亮解

2009年江苏卷第18题：在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1：（x＋3）^2＋（y-1）^2=4和圆C2：（x-4）^2＋（y-5）^2=4．     

On sums of a prime and four prime squares in short intervals

In this paper, we prove that each sufficiently large integer N ≠1（mod 3） can be written as N=p＋p1^2＋p2^2＋p3^2＋p4^2, with
｜p-N/5｜≤U,｜pj-√N/5｜≤U,j=1,2,3,4,
where U=N^2/20＋c and p,pj are primes.     

一个n元分式不等式北大核心

《中学数学》2007年（7）P41证明了如下定理： 若a,b,c,d∈R＋,a＋b＋c＋d=1,1/（1＋a^2）^2＋1/（1＋b^2）^2＋1/（1＋c^2）^2＋1/（1＋d^2）^2≤824/289.     

Precise asymptotics in Chung’s law of the iterated logarithm

Let X, X1, X2,... be i.i.d, random variables with mean zero and positive, finite variance σ^2, and set Sn = X1 ＋... ＋ Xn, n≥1. The author proves that, if EX^2I{｜X｜≥t} = 0（（log log t）^-1） as t→∞, then for any a〉-1 and b〉 -1,lim ε↑1/√1＋a（1/√1＋a-ε）b＋1 ∑n=1^∞（logn）^a（loglogn）^b/nP{max κ≤n｜Sκ｜≤√σ^2π^2n/8loglogn（ε＋an）}=4/π（1/2（1＋a）^3/2）^b＋1 Г（b＋1）,whenever an = o（1/log log n）. The author obtains the sufficient and necessary conditions for this kind of results to hold.     

Solutions to Some Open Problems in Fluid Dynamics

Let u=u（x,t,uo）represent the global solution of the initial value problem for the one-dimensional fluid dynamics equation ut-εuxxt＋δux＋γHuxx＋βuxxx＋f（u）x=αuxx,u（x,0）=uo（x）, whereα〉0,β〉0,γ〉0,δ〉0 andε〉0 are constants.This equation may be viewed as a one-dimensional reduction of n-dimensional incompressible Navier-Stokes equations. The nonlinear function satisfies the conditions f（0）=0,｜f（u）｜→∞as ｜u｜→∞,and f∈C^1（R）,and there exist the following limits Lo=lim sup/u→o f（u）/u^3 and L∞=lim sup/u→∞ f（u）/u^5 Suppose that the initial function u0∈L^I（R）∩H^2（R）.By using energy estimates,Fourier transform,Plancherel＇s identity,upper limit estimate,lower limit estimate and the results of the linear problem vt-εv（xxt）＋δvx＋γHv（xx）＋βv（xxx）=αv（xx）,v（x,0）=vo（x）, the author justifies the following limits（with sharp rates of decay） lim t→∞[（1＋t）^（m＋1/2）∫｜uxm（x,t）｜^2dx]=1/2π（π/2α）^（1/2）m!!/（4α）^m[∫R uo（x）dx]^2, if∫R uo（x）dx≠0, where 0!!=1,1!!=1 and m!!=1·3…（2m-3）…（2m-1）.Moreover lim t→∞[（1＋t）^（m＋3/2）∫R｜uxm（x,t）｜^2dx]=1/2π（x/2α）^（1/2）（m＋1）!!/（4α）^（m＋1）[∫Rρo（x）dx]^2, if the initial function uo（x）=ρo′（x）,for some functionρo∈C^1（R）∩L^1（R）and∫Rρo（x）dx≠0.     

一道巴尔干数学奥林匹克竞赛题的再推广

2005年巴尔干数学奥林匹克试题的第3题是： 设a，b，C是正数，求证： α^2/b＋b^2/c＋c^2/α≥α＋b＋c＋4（α-b）^2/α＋b＋c （1） 文[1]从变量的个数方面给出了一个推广：     

Sums of Five Almost Equal Prime Squares

Let Pi, 1≤i≤5, be prime numbers. It is proved that every integer N that satisfies N=5 （mod 24） can be written as N=p1^2＋p2^2＋P3^2＋p4^2 ＋p5^2, where │√N5-Pi│≤N^1/2-19/850＋∈.     

等差数列前n项和的一个性质

文[1]给出了等差数列的一个性质如下： 对于任意公差为d的等差数列{an},且．an≠0．总有： （-1）^0Cn^0/a1＋（-1）^1Cn^1/a^2＋（-1）^2Cn^2/a3＋…＋（-1）^iCn^i/ai＋1＋…^（-1）^nCn^n/an＋1=n!d^n/a1·a2…an 文[2]又给出了等比数列的一个类似的性质如下：     

Sums of nine almost equal prime cubes

We prove that each sufficiently large odd integer N can be written as sum of the form N = p1^3 ＋p2^3 ＋... ＋p9^3 with [pj - （N/9）^1/31 ≤ N^（1/3）-θ, where pj, j = 1,2,...,9, are primes and θ = （1/51） -ε.     

两个不等式的推广

题目 已知x1^2＋x2^2＋…＋x100^2=300。求证： x1＋x2＋…＋X100≤200 （1） 文[2]对不等式（1）进行了加强和推广，分别给出四个命题，其中后两个命题（见原文命题3、命题4）分别为：