高考命题设计思路探析——深入研究陈题 寻找新的命题点

1 深入研究陈题 我们先看一道陈题： 问题1 已知实数a，b，c，d满足：a〈b，c〈d，（a—c）（c-d）=1，（b—c）（b—d）=1．贝4a，b，c，d的大小关系是——（用“〈”连接）．     

对一个不等式的简证及探究

文[1]给出并证明了如下不等式： 若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有： （1/b＋c -a）（1/c＋a -b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3     

共线与共面向量定理的引申与应用

定理1 （共线向量定理）：对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是，存在实数λ使a=λb。（见高中教材第二册（下B））     

Gini平均值公开问题的解

对固定的（a,b）∈R×R,Gini平均值S（a,b;x,y）关于（x,y）∈（0,∞）×（0,∞）的Schur凸性或Schur凹性问题是目前的一个公开问题.本文证明了S（a,b;x,y）关于（x,y）∈（0,∞）×（0,∞）为Schur凸当且仅当（a,b）∈{（a,b）：a≤0,b≤0,a＋b1}以及Schur凹当且仅当（a,b）∈{（a,b）：b≤0,b≤a,a＋b≤1}∪{（a,b）：a≤0,a≤b,a＋b≤1}.     

2009IMO中国国家集训队概况及选拔考试题目评析（续）

第2天 2009年4月1日8：00-12：30湖北武汉 4．（余红兵供题）设正实数a，b满足b—a〉 2．求证：对区间[a，b）中任意两个不同的整数m，n，总存在一个由区间[ab，（a＋1）（b＋1））中某些整数组成的（非空）集合S，使得 ∏ x∈s^x/mn 是一个有理数的平方．     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式： 若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有 （1/b＋c -a） （1/c＋a -b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3     

综合题新编选登

题185 已知函数：f（x）=x（1-x）^2． （1）求函数f（x）的极值，并作出函数图象的简图； （2）求实数a，b的值，使在区间[a，b]上的值域也为[a，b]； （3）是否存在区间[a，b]（a〈6≤0），使f（x）在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]，且使k的值最小？若存在求出a，b的值及k的最小值；若不存在，请说明理由．     

1998年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．若a＞1，b＞l，且ig（a＋b）一lga＋lgb，则ig（a—1）十ig（b—l）的值（）．（A）等于lgZ（B）等于1（C）等于0（D）不是与a，b无关的常数解’．“ig（a＋b）一lga＋lgb，a＋b—ah即（a—1）（b—1）＝1．因此ig（a—1）十ig（b—1）一0．答：（C）．2．若非空集合A一｛Xlb十互＜X＜u一引，B一《X口＜X＜22），则能使A二AnB成立的所有a的集合是（）．（A）（aDI＜a＜9｝（B）（】6＜a＜9）（C川ala＜9｝（D）o解由题意得AMB，答：（B）．3．各项均为实数的等比数列K）前n项之和记为S…     

弃繁就简返璞归真

在学习了乘方运算以后，我们很容易得到下面两个不等式：对于任意的实数a、b，都有：a2＋b2≥-2ab（Ⅰ）,a2＋b2≥2ab（Ⅱ）     

关于一对不等式的推广

文[1]证明了一对有趣的不等式：设a，b，c为正数，且a＋b＋c=1，则有 （1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3, （1/b＋c-a）（1/c＋a＋b）（1/a＋b＋c）≥（11/6）^3。 为了推广这两个不等式，文[1]提出下面四个命题，要求证明或否定之．     

再谈柯西中值定理

将柯西中值定理改叙并证明之：如果f(x)和F(x)在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F（a)≠F(b),则在（a,b)内至少存在一点ξ,使f′（ξ）=f(b)-f(a)/F(b)-F(a) F′（ξ），进一步地，若F′（ξ）≠0,则有f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f′（ξ)/F′（ξ）。     

一个定理的进一步推广

文[1]给出了一个定理：若f（x）是[a，b]上的增函数，x＋f（x）=m，x＋f^-1（x）=m的两根分别为a，b，则口a＋b=m．     

一道美国数学奥赛题的再思考

第33届美国数学奥林匹克第5题为： 设a，b，C均为正实数，证明： （a^5-a^2＋3）（b^5-b^2＋3）（c^5-c^2＋3）≥（a＋b＋c）^3.     

对一道向量习题解法的反思

复习向量的时候，我们遇到了一道习题： 若a=（8，x/2），b=（x，1），是否存在正实数x，使得（2a＋b）／／（a-2b），若存在，求出x的值．若不存在，说明理由．     

一道竞赛题的证法再探

对如下一道竞赛题：已知a，b，c≥O，且a＋b＋c=1，求证： √a＋4^-1（b-c）^2＋√b＋√c≤√3     

两个优美不等式的再巧证

在一些参考书上，我们看到了下面两个不等式． 已知a〉0，b〉0， （1）求证：√a/2b＋a ＋√b/2a＋b≤2/√3     

对一道习题的思考

从相关习题出发，借助夹逼定理可证明：lim n→∞（b1a^n1＋b2a^n2＋…＋bma6n m）1/n=max{a1,a2,…,am}；设函数φ（x）,f（x）在[a,b]上都是正连续函数，则有lim n→∞{∫^b aφ（x）[f（x）]^n dx}^1/n=max a≤x≤b{f（x）}     

多视角探究平面向量最值问题

试题呈现（2012年安徽理科卷第14题）若平面向量a，b满足：｜2a—b｜≤3，则a·b的最小值为______．     

一道习题的价值探究

题目已知a〉0，b〉0，求证： （a＋b）（1/a＋1/b）≥4 ① 这是高中数学实验课本北师大版（选修4—5）练习2第1题，此题看似平淡，但内涵丰富，对它进一步探究，可达到培养思维、提高能力之效．     

一类不等式的背景探源

文[1]给出了以下不等式的简证与加强,已知a,b〉0, （1）求证：√a/2b＋a＋√b/2a＋b≤2/√3 （2）求证：√a/2a＋b＋√b/2b＋a≤2/√3