一个不等式的证明及引伸推广

贵刊 2 0 0 2年第 2期数学问题第 3题是 :设a、b、c ∈R ,且abc =1,求证 :a3(c b) (a c) b3(b c) (b a) c3(c a) (a b) ≥ 34( 1)一、关于不等式 ( 1)的证明原证明是在假定a≥b≥c的前提下运用排序不等式给出的 ,但由于不等式 ( 1)的左端不是关于a、b、c的对称式 ,故原证明有不妥之处 ,下面我们给出不等式 ( 1)的一个证明 .证明 :记不等式 ( 1)的左端为M ,由平均值不等式得a3(c b) (a c) c b8 a c8≥ 33 a364 =3a4,即 a3(c b) (a c) ≥ 5a -b-2c8.同理 ,b3(b c) (b a) ≥ 5b -c-2a8,c3(c a) (a b) ≥ 5c-2a -b8,以上三个不等式…     

一个不等式的证明

文[1]给出了问题：设a0,a1,a2,…满足a0=1/2,ak+1=ak+1/nak^2(k=0,1,2,……）,其中n是某个固定的正整数，求证：1-1/n&;lt;an&;lt;1。     

一个不等式的证明及推广

笔者研究一个无理分式不等式并对原不等式进行推广,得到三个结论并依次给出证明,接着在推广3的基础上作进一步推广,利用Jensen不等式对其进行证明.     

一个不等式猜想的推广及证明

在文 [1]中 ,宋庆、宋光在证明下面两个不等式 :若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,则(ａ ｂ) (1ａ 1ｂ)≥ 4 4 (4 ｂａ -4 ａｂ) 2 (1)(ａ ｂ ｃ) (1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9 6 [(6ｃｂ -6ｂｃ) 2 (6ａｃ -6ｃａ) 2 (6ｂａ -6ａｂ) 2 ](2 )后 ,提出了下面的猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ =1 ａｋ ｎｋ =11ａｋ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ <ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2(3)并作注 :采用上述“步步为营”的方法 ,可繁笨地证明ｎ =4,5等时 (3)式正确 .下面我们将不等式 (3)进行推广 ,得到了比不等式 (3)更强的结果 .定理 1　若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,…     

一个不等式的初等证明及推广

笔者在为本校高二年级数学竞赛班测试命题时,命制了如下一个不等式,现给出其初等证明并推广,与同仁共勉.题目已知x,y,z∈R_+,x+y+z=1,求证:1/(?)+8/(?)+27/(?)≥14(?).证明2/(?)+16/(?)+54(?)+λ=2/(?)+16/(?)+54/(?)+λ(x+y+z)=(1/(?)+1/(?)+λx)+(8/(?)+8/(?)+λy)     

一个不等式的再证与推广

已知ａ>13,ｂ>13,ａｂ=29,求证ａ ｂ<1 ,文 [1 ]采取构造二次方程来证明此不等式 ,文 [2 ]又给出了一个更为简捷的证法 ,的确是三言两语便说明了问题 .但要说证法最优 ,倒很难判定 :什么叫“最”优证法 ?有独一无二的“最”优证法吗 ?现将上面的题目稍加推广 :已知　ａ1 >14,ａ2 >14,ａ3>14;ａ1 ａ2 ａ3=24 3.求证　ａ1 ａ2 ａ3<1 .要用文 [1 ]、[2 ]的证法给予证明便行不通了 ,可见 ,这两种证法都有局限性 ,适用范围不广 .另外 ,文 [1 ]在构造二次方程ｘ2 -ｔｘ 29=0中 ,还可由判别式Δ=ｔ2 - 89≥ 0 ,得到不等式　ｔ=ａ ｂ≥2 23.当然…     

一个不等式的初等证明

本刊文 [1]利用微分法证明如下不等式 :已知x ,y ,z∈R+,且x +y +z =1,则　　 (1x -x) (1y - y) (1z-z)≥ (83) 3 (1)该文刊出后 ,收到福州二十四中学杨学枝 ,武汉市第六中学刘大岱 ,江西广丰中学朱水龙 ,长沙电力学院数学与计算机系梅宏 ,湖北监利新沟中学杨美璋 ,重庆市武隆县中学李来敏、杨小林等人的初等证明 ,限于篇幅 ,下面选登一种初等证法     

一道不等式的证明及推广

题 :已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+且ａ +ｂ+ｃ =1求证　(ａ+1ａ) (ｂ+1ｂ) (ｃ+1ｃ) ≥1 0 0 02 7①分析　证明此题的关键在三个方面 :(1 )等号何时成立 :(2 )怎样拆项 ;(3 )会用平均值不等式 .易知ａ=ｂ =ｃ=13 时①取等号 ,①等价于 (3ａ+3ａ) (3ｂ+3ｂ) (3ｃ+3ｃ) ≥ 1 0 0 0 .将 3ａ +3ａ 拆成 3ａ与 9个 13ａ的和 ,这样拆的目的使 3ａ与 13ａ在ａ =13 时取等号 ,3ｂ +3ｂ 与3ｃ+3ｃ 同理 ,再用平均值不等式 ,问题便迎刃而解 .证明　因为 (3ａ+3ａ) (3ｂ+3ｂ) (3ｃ+3ｃ)= (3ａ +13ａ+… +13ａ9个) (3ｂ+13ｂ+… +13ｂ9个)· (3ｃ+13ｃ+… +13ｃ9…     

一道不等式的推广及证明

文[1]中给出了如下两个不等式及证明:1.设a1,a2,…,am均为正数,且a1 +a2+…+am=ms0,则(a1+1+a1)a+(a2+1/a2)a+…+(am+1/am)a≥m (s0+1/s0)a (m,a∈N*,m≥2)① 2.设a1,a2,…,am均为正数,且a1+a2+…+ am=ms0,若s0≤s≤1或1≤s≤s0,则(a1+1/a1)a+(a2+1/a2)a+…+(am+1/am)a≥m(s+1/s)a(m,a∈N*,m≥2) ②笔者认为当a是大于等于1的实数时,上述不等式也是成立的.     

一个不等式的证明

文[1]中提出了下述的不等式,即（符号说明见正文）AP＋PQ＋QB≤max{AP PQ′ Q′B,AP′ P′Q QB}。文中说：不难验证此不等式成立,但我们发现,要对此不等式给出一个详细的证明是相当困难的。由于此不等式对该文是相当重要的,本文即对之给出一个详细的证明。     

一个不等式的初等证明及推广

笔者在为本校“高二年级数学竞赛班测试”命题时,命制了如下一个不等式,现给出其初等证明并推广,与同仁共勉．     

一个不等式猜想的证明及推广之注记

在最近的文章[一个不等式猜想的证明及推广.大学数学,2018,34(3):99-102]中,作者给出了三个定理并利用Jensen不等式证明了两个等价不等式及其推广形式.本注记说明作者的证明过程有误,并指出作者文章给出的三个定理中有两个定理是不成立的.     

一个不等式的再改进及证明

文[1]给出了如下定理及其证明： 定理 设a1,a2,…,an∈R^＋,且a1＋a2＋…＋an=s,k∈N,k≥2，则有     

一个不等式猜想的证明

本刊 2 0 0 1年第 1期一篇文章的猜想引来了很多读者的来稿 ,旨在证明这个猜想 ,其中有湖南读者　 张永红 ,周烈 ,胡如松 ,陈世明 湖北读者　 高　峰山东读者　 孔令恩 ,许静 ,赵勤如 ,徐彦明 河北读者　 胡洪池贵州读者　 邓　波 广州读者　 金楚华     

一个不等式的简单初等证明

文[1]给出了如下不等式：已知x,y,z∈R^＋,且z＋y＋z=1,则（1/x-x）（1/y-y）（1/z-z）≥（8/3）^3 ① 原文用高等方法证明了不等式①,但过程较为复杂,下面笔者给出该不等式的一个简单的初等证明．     

一个无理不等式的证明

文[1]给出了猜想：设α，b〉0，n≥2且，n∈N，0〈λ≤n则 n√α/α＋λb＋n√b/λb＋α≤2/√1＋λ本文给予证明。     

一个不等式的推广

文 [1]提出了一个对称不等式 :已知ｘ ,ｙ∈Ｒ+,且ｘ + ｙ =1,则　　　 2 <(1ｘ -ｘ) (1ｙ - ｙ)≤ 94 (1)这个不等式自然使人想到三个变量的情形 .本文用微分法证明 (1)的一个推广 :已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ+,且ｘ + ｙ +ｚ =1,则(1ｘ -ｘ) (1ｙ - ｙ) (1ｚ-ｚ)≥ (83) 3(2 )证　由对称性 ,不妨设ｘ≤ｙ≤ｚ ,则 0 <ｘ + ｙ≤23,13≤ｚ <1,0 <ｘｙ≤ 19.由ｘ + ｙ +ｚ =1得ｚ =1-ｘ - ｙ ,代入 (2 ) ,整理得2 7(1-ｘ2 ) (1- ｙ2 ) (2 -ｘ - ｙ) (ｘ + ｙ)≥ 5 12ｘｙ·(1-ｘ - ｙ) ,两边取对数 ,欲证之式等价于ｆ(ｘ ,ｙ) =ｌｎ2 7-ｌｎ5 12 +ｌ…