Equivalent forms of Levi condition

In this paper we consider hyperbolic differential operators with characteristic roots of constant multiplicity and we prove the equivalence of some conditions, called Levi conditions, for the correctness of the Cauchy problem inC ^∞ and in Gevrey classes.

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Sommario In questo articolo prendiamo in considerazione operatori differenziali iperbolici con caratteristiche di molteplicità costante e dimostriamo l’equivalenza di alcune condizioni, note come condizioni di Levi, necessarie e sufficienti per la buona positura del problema di Cauchy nelle classiC ^∞ e Gevrey.

     

Intorno alle classi funzionali di Gevrey

Sunto Si espongono teoremi, esempi ed osservazioni a proposito di certe-classi funzionali, analoghe a quelle di Gevrey, che si presentano nella teoria delle equazioni differenziali ipoellittiche, di alcune equazioni integrodifferenziali, e dei problemi di Cauchy.

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Summary This paper collect theorems, examples and observations concerning some classes of functions, at first considered by Gevrey, of interest in the theory of hypoelliptic differential equations, of some integrodifferential equations, and of Cauchy problems.

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Questo lavoro ha avuto origine da una tesi di laurea diretta dal prof.Carlo Pucci nell'anno accademico 1961–1962, e fa parte delle attività del gruppo di ricerca matematica n. 23 del C. N. R.     

Sul problema di Cauchy per le equazioni a derivate parziali

Sunto Si considerano equazioni alle derivate parziali in più variabili indipendenti, lineari e non lineari, di ordine qualsiasi; si dimostrano teoremi di esistenza e unicità per il problema di Cauchy non caratteristico. Il metodo di questo lavoro consiste nel ricondurre il problema di Cauchy allo studio di una trasformazione in sé di uno spazio funzionale, strettamente connesso alle classi di Gevrey.

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Summary We consider linear and non linear partial differential equations of any order, in several independént variables. We prove some existence and uniqueness theorems for the non-characteristic Cauchy problem. Our method consist in the reduction of the Cauchy problem to a study of a mapping of a function space into itself; this function space is closely related to Gevrey classes.

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Questo lavoro fa parte dell'attività del gruppo di ricerca n. 23 del C.N.R.     

On the Cauchy problem for finitely degenerate hyperbolic equations of second order

This paper is devoted to the study of the Cauchy problem inC ^∞ and in the Gevrey classes for some second order degenerate hyperbolic equations with time dependent coefficients and lower order terms satisfying a suitable Levi condition.     

Esistenza,unicità e propagazione della regolarità della soluzione del problema di Cauchy per certi operatori strettamente iperbolici con coefficienti lipschitziani rispetto al tempo

Riassunto Si studia il problema di Cauchy per operatori differenziali lineari del secondoordine strettamente iperbolici con coefficienti lipschitziani rispetto al tempo. Si trovano risultati di buona positura del problema negli spazi gli ordinari spazi di Sobolev, e risultati di propagazione della regolaritàC ^∞ della soluzione.

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Summary We study the Cauchy problem for linear second order strictly hyperbolic differential operators whose coefficients are assumed to be Lipschitz-continuous with respect to time. We prove results ofH _∞ andH _−∞ well-posedness, the usual Sobolev spaces, and results on the propagation ofC ^∞-regularity of the solution.

     

On the critical index of Gevrey solvability for some linear partial differential equations

We propose precise estimates of the critical index of Gevrey solvability of some classes of linear partial differential equations with multiple characteristics.

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Sunto Si propongono stime precise dell’indice critico della risolubilità di Gevrey di alcune classi di equazioni lineari differenziali con caratteristiche multiple.

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To the memory of L. Cattabriga

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Research partially supported by a Coordinated Research Project of the University of Cagliari and by INDAM-GNAFA, Italy.     

A generalization of an example by V. Ya. Ivrii

A well-known example by Ivrii concerning the operatorP=D _t ² −t^2lD _x ² +at^kD_x (a≠0), shows that there exists a delicate relation amongl, k and the Gevrey index of well-posedness of the Cauchy problem. In this paper we give a generalization to a class of pseudo-differential operators includingP.

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Sunto Un famoso esempio di Ivrii riguardante l'operatoreP=D _t ² −t^2lD _x ² +at^kD_x (a≠0), mostra che c'è una relazione sottile tral, k e l'indice di Gevrey di buona positura del problema di Cauchy. In questo articolo viene data una generalizzazione ad una classe di operatori pseudodifferenziali che comprendeP.

     

Dirichlet problem for a class of linear second order elliptic partial differential equations with discontinuous coefficients

Summary I give a sufficient condition in order that a Dirichlet problem is solvable in H ² (Ω) for a class of linear second order elliptic partial differential equations. Such a class includes some particular cases for which the result is known.

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Sunto Si prova una condizione sufficiente affinchè un problema di Dirichlet sia risolubile in H ² (Ω) per una classe di equazioni differenziali alle derivate parziali lineari ellittiche del secondo ordine. Tale classe comprende alcuni casi particolari per i quali il risultato è noto.

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The present work was written while the author was a member of the ? Centro di Matematica e Fisica Teorica del C.N.R. ? at the University of Genova, directed by professorJ. Cecconi.

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Entrata in Redazione il 25 febbraio 1971.     

Scales of ε-uniform a priori estimates for nonstationary convection-dominated diffusion problems

Convection-diffusion problems of practical interest are often convection-dominated in the sense that the diffusion parameter ε satisfies 0<ε≪1. Standard error estimates for numerical approximations of such problems mostly contain constants which depend either reciprocally on ε or at least on higher order norms of the solution. These norms possibly increase to infinity in the hyperbolic limit ε→0. For the Lagrange-Galerkin scheme such error estimates have been proven by Douglas and Russell, Pironneau or Süli. In the particular case of the Navier-Stokes equations Johnson, Rannacher and Boman have observed that some of those constants which arise in existing analyses depend exponentially on the Reynolds number. Consequently, standard error analyses have no real meaning in the case of convection-dominance. Recently, Bause and Knabner have developed a rigorous ε-uniform convergence theory for finite element and Lagrange-Galerkin approximations of convection-dominated diffusion problems. The error analysis is heavily based on ε-uniform a priori estimates for the solution of the continuous problems. In their work such ε-uniform estimates are established in the Sobolev spacesL ²(Ω) andH ²(Ω) in a Lagrangian framework by transforming the convection-diffusion problem into subcharacteristic coordinates. To obtain the ε-uniformH ²-bound, strong conditions about the right-hand side which cannot realistically be assumed in practice are supposed. In this paper we demonstrate how the method of complex interpolation of Banach spaces can be employed to derive elegantly ε-uniform a priori estimates in intermediate Sobolev spaces of fractional order. We will observe that in particularH ^α-regularity of the data has to be supposed to get an ε-uniformH ^α-bound for the solution. To derive the desired estimates we use several complex interpolation results which we provide first.

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Sunto I problemi di convezione-diffusione di interesse applicativo sono spesso convezione-dominati, nel senso che il parametro di diffusione ε soddisfa 0<ε≪1. Le stime standard dell’errore nelle approssimazioni numeriche di tali problemi generalmente contengono costanti che dipendono o reciprocamente da ε o almeno da norme più elevate della soluzione. Queste norme possono tendere all’infinito nel limite iperbolico ε→0. Queste stime sono state determinate, per lo schema di Lagrange-Galerkin, da Douglas e Russell, Pironneau o Süli. Nel caso particolare delle equazioni di Navier-Stokes, Johnson, Rannacher e Boman hanno osservato che alcune di queste costanti dipendono esponenzialmente dal numero di Reynolds. Di conseguenza, l’analisi standard dell’errore non è significativa nel caso di dominanza della convezione. Recentemente, Bause e Knabner hanno sviluppato una teoria rigorosa della ε-convergenza per le approssimazioni agli elementi una teoria rigorosa della ε-convergenza per le approssimazioni agli elementi finite e per quelle di Lagrange-Galerkin relativamente a problemi di diffusione convezione-dominati. l’analisi dell’errore è pesantemente basata su stime a priori ε-uniformi per la soluzione dei problemi continui. In quel lavoro, tali stime sono stabilite negli spazi di SobolevL ²(Ω) eH ²(Ω) in rappresentazione Lagrangiana trasformando il problema di convezione-diffusione in coordinate sub-caratteristiche. Per ottenere la stima ε-uniforme inH ²(Ω), si fanno delle ipotesi stringenti sul secondo membro le quali possono non essere realisticamente assunte nella pratica. In questo lavoro mostriamo come il metodo dell’interpolazione complessa degli spazi di Banach possa essere usato per ottenere eleganti stime a priori ε-uniformi in spazi di Sobolev ad esponente frazionario. In particolare, osserveremo che per ottenere una stima ε-uniforme inH ^α per la soluzione occorre assumereH ^α regolarità sui dati. Per derivare le stime desiderate facciamo uso di diversi risultati di interpolazione complessa che vengono forniti.

     

Due questioni di relatività generale

Sunto Si estendono ad un corpo elastico & capace di coppie di contatto e non di conduzione termica i due seguenti teoremi validi in Relatività generale e già dimostrati nel caso di assenza di coppie di contatto: a) Le equazioni gravitazionali equivalgono alla stazionarietà σ_gI=0 di un certo integrale I rispetto a certe variazioni della metrica cronotopica, e b) Le equazioni di conservazione equivalgono alla stazionarietà di I rispetto a certe variazioni del moto di &.

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Summary The following two theorems are proved in general relativity for an elastic body, &, that is capable of couple stress but not of heat conduction: a) Gravitation equations hold if and only if the variation σ_gI of a certain integral, I, vanishes for certain variations of space-time metric, and b) Conservation equations hold if and only if the variation of I vanishes for certain variations of the motion of &. In the absence of couple stress the above theorems were already known.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei gruppi di ricerca del C.N.R.

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Entrata in Redazione il 26 luglio 1971.     

DISCONTINUOUS SOLUTIONS IN L^∞ FOR HAMILTON-JACOBI EQUATIONS

An approach is introduced to construct global discontinuous solutions in L∞ for Hamilton-Jacobi equations. This approach allows the initial data only in L∞ and applies to the equations with nonconvex Hamiltonians. The profit functions are introduced to formulate the notion of discontinuous solutions in L∞. The existence of global discontinuous solutions in L∞ is established. These solutions in L∞ coincide with the viscosity solutions and the minimax solutions, provided that the initial data are continuous. A prototypical equation is analyzed toexamine the L∞ stability of our L∞ solutions. The analysis also shows that global discontinuous solutions are determined by the topology in which the initial data are approximated.     

A stability estimate for an elliptic problem

We investigate the Caucy problem for linear elliptic operators withC ^∞-coefficients at a regular domain ℝ ⊂ ℝ, which is a classical example of an ill-posed problem. The Cauchy data are given at the manifold Γ⊂∂Ω and our goal is to obtain a stability estimate inH ₄(Ω).     

Operatori ellittici estremanti

Sunto Si provano alcune proprietà generali degli operatori ellittici estremanti. Mediante particolari soluzioni delle equazioni estremanti si esaminano le singolarità isolate delle soluzioni di equazioni ellittiche delII ordine e si stabiliscono alcune limitazioni.

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Summary Some general properties of the maximizing elliptic operators are established. Particular solutions of the maximizing equation are used to get information about bounds and isolated singularities of solutions of second order elliptic equations.

     

Mean fractional-order-derivatives differential equations and filters

The solution of differential equations of fractional order is generalized to the case when the fractional order derivatives are integrated with respect to the order of differentiation. The formal solution is found by means of the Laplace Transform. The solutions of the integro-differential equations, defined by means of derivatives of fractional order and of their integrals with respect to the order of differentiation, are also discussed in terms of filtering.

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Sunto Si generalizza la soluzione di equazioni differenziali di ordine frazionario al caso in cui le derivate frazionarie sono integrate rispetto all’ordine di differenziazione. La soluzione formale è trovata a mezzo della Transformata di Laplace. Le soluzioni delle equazioni integrodifferenziali, definite a mezzo delle derivate di ordine frazionario e dei loro integrali rispetto all’ordine di differenziazione, sono discusse a mezzo della teoria dei filtri.

     

Sur la régularité des solutions de l'équation divA(x,u, ∇u)=B(x,u, ∇u) avec des conditions aux limites unilatérales et mêlées

Sunto. In questo lavoro dimostreremo la regolarità L^p, L^∞ e h?lderiana delle soluzioni di una classe di equazioni differenziali non lineari di tipo ellittico soggette a condizioni di frontiera di tipo misto e unilaterale

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Thèse presentée à la Faculté des Sciences de Paris le 2 juin 1971.

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Boursier de le ? Instituto de Alta Cultura ? (Portugal).

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Entrata in Redazione il 28 giugno 1971.     

Stability of contact discontinuities for the nonisentropic Euler equations

We study the stability of contact discontinuities for the nonisentropic Euler equations in two or three space dimensions. A simple criterion predicting neutral stability or violent instability is given.

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Sunto Si studia la stabilità delle discontinuità di contatto per le equazioni di Eulero non isentropiche in dimensione di spazio 2 e 3. Viene presentato un criterio semplice per la stabilità neutrale e l’instabilità violenta.

     

Strong solutions of the Navier-Stokes equations in aperture domains

We consider the nonstationary Navier-Stokes equations in an aperture domain Ω⊂R³ consisting of two halfspaces separated by a wall, but connected by a hole in this wall. In this special domain one has to impose an auxiliary condition to single out a unique solution. This can be done by prescribing either the flux through the hole or the pressure drop between the two halfspaces. We construct suitable Stokes operators for both of the auxiliary conditions and show that they generate holomorphic semigroups. Then we prove the existence and uniqueness of solutions as well as a maximal regularity estimate for the Stokes equations subject to one of the auxiliary conditions. For the corresponding Navier-Stokes equations we prove existence and uniqueness of local in time solutions.

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Sunto In questo lavoro consideriamo le equazioni di Navier-Stokes non stazionarie in un dominio con un’apertura, che consiste di due semispazi separati da una parete, ma collegati da un’apertura in quest’ultima. In questo dominio particolare è necessario imporre, per avere un’unica soluzione, una opportuna condizione ausiliaria. Questo può essere fatto sia assegnando il flusso attraverso l’apertura sia prescrivendo il salto di pressione tra i due semispazi. Qui costruiamo degli operatori di Stokes opportuni per ambedue i tipi di condizioni ausiliarie e mostriamo come essi generino semigruppi olomorfi. Dimostriamo, quindi, esistenza e unicità di soluzioni, assieme ad una stima di massima regolarità per le equazioni di Stokes soggette ad una delle condizioni ausiliarie. Per le corrispondenti equazioni di Navier-Stokes, dimostriamo esistenza e unicità di soluzioni locali nel tempo.

     

Integral manifolds of singularly perturbed systems of impulsive differential equations defined on tori

Sufficient conditions are obtained for the existence of integral manifolds of singularly perturbed systems of impulsive differential equations defined on tori, and some of their properties are investigated.

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Sunto Si presentano condizioni sufficienti a garantire l’esistenza di varietà integrali per sistemi, perturnati singolarmente, di equazioni differenziali impulsive su un toro. Si studiano inolte alcune loro proprietà.

     

MisureH n−1 σ e insiemi di perimetro finito

Riassunto Si introducono le misureH _n−1 ^σ (0<σ<1), ottenute mediante una costruzione di Caratheodory a partire dalla famiglia dei cilindri aperti per i quali il rapporto tra altezza e diametro di base non supera σ e se ne studiano le relazioni con la misura di Hausdorff (n−1)-dimensionale sulle frontiere di insiemi di perimetro finito.

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Summary We study a new measure,H _n−1 ^σ (0<σ<1), obtained with Caratheodory’s construction on the family of all open cylinders for which the ratio between height and base diameter is not greater than σ.

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Lavoro eseguito nell’ambito dello G.N.A.F.A.     

Théorèmes d’approximation pour les sections différentiables

Resume Le principail résultat de ce travail est un Théorème d’approximation des sections différentiables d’un fibré linéaireF sur un espace analytique réel cohérentX. (I) On définit le concept de sections différentiables d’un tel fibré puis le faisceau des germes de sections différentiablesC ^∞ (F) qui s’identifie àF ^∞=F⊗ _Ox C _X ^∞ :F=dual du fibré linéaireF,C _X ^∞ =faisceau des germes de fonctions différentiables surX. (II)X est supposé en plus paracompact et localement compact. On construit surF ^∞(X) une ?topologie de Whitney? pour laquelleF(X) est dense dansF ^∞(X). La démonstration utilise les complexifiés et et les voisinages de Stein deX dans .

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Sunto Il risultato principale di questo lavoro è un teorema di approssimazione delle sezioni differenziabili di un fibrato lineareF su uno spazio analitico reale coerenteX. (I) Si definisce il concetto di sezione differenziabile di un tale fibrato poi il fascio dei germi delle sezioni differenziabiliC ^∞ (F) che si identifica aF ^∞=F⊗ _Ox C _X ^∞ :F=duale del fibrato lineareF,C _X ^∞ dei germi delle funzioni differenziabili suX. (II)X è supposto inoltre paracompatto e localmente compatto. Si costruisce suF ^∞ (X) una ?topologia di Whitney? per la qualeF(X è denso inF ^∞(X). La dimostrazione utilizza i complessificati e e gli intomi di Stein diX in .