问题与解答

一本期问题 1 △ABC的AB、AC皆为定长,其中AB>AC,∠BAC为一变量,作其内切圆与BC相切于D,设DF为该圆直径,射线AF交BC于G,试证不论∠BAC的大小如何,CD恒为定长。 2 设△ABC的BC边的中垂线与∠BAC及其外角的平分线分别相交于M、N,试证明线段MN是△ABC外接圆的一条直径。安徽怀宁江镇中学黄全福提供 3 已知D、E、F分别在△ABC的边EC、CA、AB上且AE=AF=x,BF=BD=y,CD=CE=z,求证△DEF的外心是△ABC的内心。湖南教育学院张运筹提供 4 已知a~3+b~3=2(a、b∈R),求证a+b≤2。 5 求函数y=-2x~(1/2)-4x~2+2x+1~(1/2)的最大值。     

小题趣味多

问题如图1,在△ABC 中,∠BAC= 45°,AD⊥BC于 D,BD=3,DC=2,求AD. 本题虽小,但题目条件简洁明了,且问题内涵丰富,因此细细咀嚼,思路广,趣味浓,值得探究.下面从五个方面予以说明. 一、巧用面积关系求解 解令AD=x,则由勾股定理得 AB=(x2-9)～(1/(x2-9)),AC=(x2 4)～(1/(x2 4)).作 CE⊥AB于E,则CE=AC·sin45°, 由 S△ABC=1/2BC·AD     

用特定位置解一类解几填充题

利用特殊位置巧解一类解几填充题,可一望而解: 1.已知圆(x+4)~2+(y-3)~2=4和直线y=mx交于P、Q两点,则|OP|·|OQ|=_______。 2.M是椭圆x~2/9+y~2/4=1上任一点,F_1、F_2是它的焦点,Q是△MF_1F_2的内心,MQ延长线交直线F_1F_2于N,则|MQ|:|NQ|=_______。 3.将曲线y=f(x)平移,使曲线上点P的坐标由(1,0)变为(2,2),则此时的曲线方程是_____。 4.已知抛物线y~2=4x的一条焦点弦被焦     

新题征展(16)

A.题组新编1 . (1 )已知 lg x lg y =1 ,则 u=2x 5y 的最小值为　　 ;(2 )已知 x、y∈ R ,且 x y =3,则u = 2 x 2 y 的最小值为　　 ;(3)已知 x、y∈ R ,x 2 y=1 ,则 u=1x 1y的最小值为　　 ;(4)已知 x、y∈ R ,且 xy2 =1 ,则 x y的最小值为　　 ;(5)已知 x、y∈ R ,且 x y = 1 ,则 xy2的最大值为　　 .2 .如图 1 ,三棱锥 P— ABC的顶点 P在△ ABC所在平面上的射影为 O.(1 )若 PA =PB=PC,则O是△ ABC的　　 ;图 1(2 )若 P到 AB、BC、AC的距离相等 ,则 O是△ ABC的　　 ;(3)若 3个侧面与底面 ABC所成二面角相等 ,…     

巧构直角三角形解一类无理方程

对型如((x-a)~2 b)~(1/2) ((c-x)~2 d)~(1/2)=k的无理方程,可构造直角三角形,运用勾股定理和相似形,使之转化为简单的方程组来解,堪为巧妙! 例1 解方程 (x~2 1)~(1/2) (x~2-24x 160)~(1/2)=13。解原方程可化为: (x~2 1)~(1/2) ((12-x)~2 16)~(1/2)=13。令y=12-x,则有(x~2 1)~(1/2) (y~2 16)~(1/2)=13 如图1,构造直角△ABC,使∠C=90°,AC=12,AB=13,则BC=(13~2-12~2)~(1/2)=5     

用“面积法”更简便

贵刊85年第4期载有这么一道习题: △ABC中,∠A=45°,高AD分BC成BD=3,DC=2。求△ABC的面积。原文先后用几何法,三角法求解。这里再介绍一种解法,过程更为简捷,能为初中学生掌握。解设AD=x则AB=(9 x~2)~(1/2) (图右),AC=(4 x~2)~(1/2) 由面积公式得 S_(△ABC)=(1/2)AB·ACsinA =(1/2)BC·AD 用数值代换后化简得 x~4-37x~2 36=0 解之得 x_1~2=36,x_2~2=1(舍去) 于是 S_(△ABC)=(1/2)(45)~(1/2)·(40)~(1/2)/2~(1/2)·2/2=15 此法用面积公式布列方程,称作面积法,它在几何问题中的应用相当广泛。如第三届AIME试题中有一题是: 在一个面积为1的正方形中构作一个小正方形如下:将单位正方形的每一条边作n等分,然后如图所示将每个顶点与它相对的顶点最接     

一道高考试题的探究及试题背景分析

1问题(2008年江苏13)若AB=2,AC=2~(1/2)BC,则S_(△ABC)的最大值为____. 2解决问题思路1(引入边变量)解析1(依据S=1/2absinC)设BC=x,CA= 2~(1/2),则4=3x~2-2 2~(1/2)x~2cosC,由cosC=(3x~2-4)/(22~(1/2)x~2)得     

莫斯科大学1984年高考入学数学试题及解答

试题: 1 解方程8~x-4~x-_2~x。 2 解方程 sin3xsinx+1=cos2x 3 在区间〔-2、2〕上求函数y=-x~2+3|x-1|+2的最大值和最小值。 4 已知△ABC的边AB和AC的长分别等于3和2,在边AB上取一点M,而在边AC上取一点N,使得|AM|=2,|AN|=1.5。若|BC|为|MN|的、6/1~(1/2)倍,求△AMN的面积。 5 当参数α取何值时,不等式组具有唯一解? 答案与提示 1 lg_21+5~(1/2)/2。2 kπ,k∈z. 3 71/4,1。 4 2~(1/2)。按照余弦定理,对△ABC和△AMN有下式; |BC|~2=13-12cosA=36/17|MN|~2     

关于三角形的一个性质

如图 1 ,在△ ABC中 ,设 AH =BI =1m AB,BD =CE=1m BC,CF =AG=1m AC,其中 m >2 .AD与 BG交于 P,BF与 CI交于R,AE与 CH交于 Q,则有如下结论 :(1 )△ RQP∽△ ABC;(2 ) S△ RQP∶ S△ ABC =(m - 22 m - 1 ) 2 .证明　 (1 )过 D点作 DK⊥ BG于 K,过A作 AM⊥ BG,交 BG或其延长线于     

整式的乘除目标检测(一)

一、填空(每小题4分,共20分)1.(a~m)~2·(a~n)~2=__,(-2a~2b~3c)~3=__2.(3a 2b)(3a-2b)=__,(-2x 3y)~2=__3.(-xy z)(xy-z)=__4.(-x~3)~2÷(-x)~2÷x~2=__,(-2a~2bc)~3·(-2ab)~2=__5.(x~3 1/2x~2-6x)÷(-3x)=__     

用勾股定理列方程组求多边形的面积

<正>一、构造方程组求三角形的面积例1如图1,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=槡3,PB=5,PC=2,求△ABC的面积.解过点P作PD⊥BC于点D,作PE⊥AC于点E,则∠AEP=∠PDC=∠PDB=90°.因为∠BAC=60°,AB=2AC,     

一道中考题解法的应用

如图1和图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,cos∠ABC=513.图1图2探究如图1,AH⊥BC于点H,则AH=,AC=,△ABC面积S△ABC=.拓展如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与A重合时,我们认为S△ABD=0)(1)用含x、m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;(2)求m+n与x的函数关系式,并求m+n的最大值和最小值;(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.     

1984年湖北省省市初中数学联赛试题答案

第一试(试题见本刊第5期) 一选择题 1.(B); 2.(C); 3.(D); 4.(B); 5.(A); 6.(C); 7.(B); 8.(D); 9.(A); 二解:y=|x-1|+|x-3|+(4x~2+4x+1)~(1/2)=|x-1|+|x-3|+|2x+1|=-4x+3 (x<-1/2)5 (-1/2≤x≤1)2x+3 (1≤x<3)4x-3 (x≥3) ∴当-1/2≤x≤1时y=|x-1|+|x-3|+(4x~2+4x+1)~(1/2)恒等于常数5。三、证明∵ABCD为圆外切四边形∴AB+CD=BC+DA(见下图) 两边平方:AB~2+2AB·CD+CD~2=BC~2+2BC·DA+DA~2 (1) 又∵AC⊥BD ∴AB~2-AB~2+BE~2,BC~2=BE~2+CE~2,     

一元一次方程有两个根

题:解方程x+2x~(1/2)=1 解:原方程变形为2x~(1/2)=1-x, 两边平方得:2x~2=1-2x+x~2 即x~2+2x-1=0,解得x=-1±2~(1/2)。     

数学奥林匹克问题选登

1991年9月号问题解答 (解答由供题人给出) 7.在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,在AB、AC上各取一点M、N,满足DM⊥DN。试证:△BDM与△CDN的外接圆外切且直线MN是这两圆的一条公切线。证明易知A、M、D、N四点共圆,可得∠DMN=∠DAN=∠ABC。 (1)若∠BMD=90°,则∠DNC=90°(如图1)。Rt△BDM、Rt△CDN的外心各是BD、DC的中点O_1、O_2,连结O_1M、O_2N,易证MN⊥O_1,M、MN⊥O_2N。此时既易证明△BDM与△CDN的外接圆外切,又不难证得直线MN是这两圆的     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 (湖北卷)数学(理工农医类)

一、选择题:本大题共10小题,共50分.1.如果(3x2-x23)n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为()A.3B.5C.6D.102.将y=2cos(3x 6π)的图象按向量a=(-4π,-2)平移,则平移后所得图象的解析式为()A.y=2cos(3x 4π)-2B.y=2cos(3x-4π) 2C.y=2cos(3x-1π2)-2D.y=2cos(3x 1π2)-23.设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P,且x Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q等于()A.{|x|0相似文献   

“分子有理化”的应用

在教学中,“分母有理化”的解题技巧常常给予强调并广为同学们所运用;但对“分子有理化”,一种特殊的解题技巧却没有给予注意和介绍。致使不少同学面对用“分子有理化”这把“刀子”就能迎刃而解的习题感到十分棘手。下面通过数例介绍“分子有理化”在解题中的应用。例1.判定函数y=lg(x+(x~2+1)~(1/2))的奇偶性。解:∵f(-x)=lg(-x+((-x)~2+1)~(1/2)) =lg((x~2+1)~(1/2)-x)=lg(1/((x~2+1)~(1/2)+x)) =lg((x~2+1)~(1/2)+x)~(-1)=-f(x)。     

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。     

平面几何中的一个定比分点公式及应用

众所周知,在解析几何中有一个常用的定比分点公式,实际上在平面几何中也存在类似的结论.笔者给出关于线段比的一个定比分点公式,并举数例说明其在解题中的应用. 定理 设D是△ABC的边BC上一点,P、Q、R分别为AB、AD、AC(或其延长线)上的点,记会AB/AP=x1,AC /AR=x2,AD/AQ=x,BD/DC=λ,若P、Q、R三点共线,则x=x=x1+λx2/1+λ(*).     

几何级数及其某些应用

在几何级数1/(1-x)=1+x+x~2+…+x~(n-1)+…(-1相似文献