圆外切闭折线的奈格尔点定理

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了定义三角形"奈格尔点"的定理如下:……     

关于圆外切闭折线周长的一个不等式

设△ ABC的三边长为 a,b,c,其内切圆半径为 r,则有下面熟知的不等式 :　　 a b c≥ 6 3r ( 1 )当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .本文将推广这个不等式 ,证明关于圆外切闭折线周长的一个不等式 .定理 1　设闭折线 A1A2 A3 … An A1有内切圆⊙ ( I,r) ,闭折线的环数为 t,各边长为| Ai Ai 1| =ai( i=1 ,2 ,… ,n,且 An 1为 A1) ,则有　 ∑ni=1ai ≥ 2 nrtan tnπ ( 2 )当且仅当闭折线为正星形时取等号 .图 1证明　如图 1 ,设边Ai Ai 1与圆 I相切于 Bi,连Ai I,Bi I,Ai 1I,则ai =| Ai Bi| | Bi Ai 1|=r( cot Ai2 co…     

关于广义回形折线的两个不等式

关于广义回形折线的两个不等式熊曾润（江西赣南师范学院３４１０００）本文给出与广义回形折线的面积有关的两个不等式．关于广义回形折线及其环数、面积等概念，请参看拙文［１］，这里沿用而不复述．另外，本文还沿用［１］中的下列符号：Ａ（ｎ）ｋ表示ｋ环ｎ边广义回...     

平面闭折线的有向面积及其应用

读了贵刊文 [1 ],得益匪浅 .在该文的启发下 ,本文建立一般平面闭折线的有向面积概念 ,并略述其应用 .我们约定 :符号Ａ(ｎ)表示复平面内的任意一条闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1;Ａｉ 表示复平面内任意一点的字母 ,同时也表示这个点所对应的复数 .定义 1　式子12 Ｉｍ∑ｎｉ=1ＡｉＡｉ+1(其中Ａｎ+1为Ａ1)的值 ,称为闭折线Ａ(ｎ)的有向面积 ,记作△Ａ(ｎ) ,即△Ａ(ｎ) =12 Ｉｍ∑ｎｉ =1ＡｉＡｉ+1,其中Ａｎ+1为Ａ1.定义 2　闭折线Ａ(ｎ)的有向面积的绝对值 ,称为闭折线Ａ(ｎ)的面积 ,记作ＳＡ(ｎ) ,即ＳＡ(ｎ) =｜△Ａ(ｎ) ｜ .不难验证 ,当…     

圆内接闭折线重心的一个性质及应用

1、定理及引理 圆内接闭折线的重心具有下面的性质：定理设闭折线A1A2…AnA1内接于圆O，其重心为G，AiG的延长线交圆O于点Bi，     

平面闭折线与其各边分点闭折线的重心之间的关系

在ｎ边平面闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1的各边Ａ1Ａ2 ,Ａ2 Ａ3,… ,ＡｎＡ1(或其所在直线 )上分别取一点Ｂ1,Ｂ2 ,… ,Ｂｎ,依次连结这ｎ个点得到另一条ｎ边闭折线Ｂ1Ｂ2 Ｂ3…ＢｎＢ1,本文研究当各边上的分点满足某种特定条件时 ,两条闭折线的重心之间的关系 .先引入平面闭折线的重心的定义 :定义　在闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1所在平面内建立直角坐标系ｘＯｙ ,设闭折线各顶点坐标为 :Ａｉ(ｘｉ,ｙｉ) ,令 ｘ =1ｎ∑ｎｉ=1ｘｉ, ｙ =1ｎ ∑ｎｉ=1ｙｉ,称点Ｇ( ｘ , ｙ)为闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1的重心 .定理 1　在平面闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…     

闭折线一条性质的应用

易证 ,对于一组闭折线A1A2 A3 …An,总有A1A2 +A2 A3 +A3 A4+… +An -1An+AnA1=0 .这条性质简明 ,应用却很广泛 .1　简化向量式例 1　化简AB -AC +BD -CD .解　原式 =AB +CA +BD +DC =AB +BD +DC +CA =0 .例 2　如图 1,在△ABC中 ,A′ ,B′ ,C′分别为BC ,CA ,AB的中点 ,O为△ABC所在平面内任一点 ,求证 :OA +OB +OC =OA′+OB′+OC′ .图 1　例 2图解　易知 ,B′A =12CA ,C′B =12 AB ,A′C =12BC .∵OB′ +B′A =OB′ +12 CA =OA ,OC′ +C′B =OC′ +12 AB =OB ,OA′ +A′C =OA′ +12 BC =OC …     

关于三个未解决的不等式问题

通过求二阶导数或列举反例的方法可解决《常用不等式（第四版）》末尾提出的问题3、问题13和问题62,另外,利用Lyapunov不等式及Moran不等式可给出其问题190中一个不等式的下界.     

关于三角形的高与旁切圆半径的不等式

以下约定△ＡＢＣ的内切圆半径、外切圆半径与面积分别为ｒ,Ｒ ,△ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ=ｃ,ｓ=12 (ａ+ｂ +ｃ) ,其相应边上的高线 ,角平分线与旁切圆半径分别记为ｈａ,ｈｂ,ｈｃ;ｗａ,ｗｂ,ｗｃ;ｒａ,ｒｂ,ｒｃ.文 [1 ]介绍在一个锐角三角形中 ,有不等式∑ｗａｗｂ ≥ ∑ｈａｒａ (1 )不等式形式简洁 ,但美中不足的是有“在一个锐角三角形中”这个较强的条件 ,在一般三角形中 ,循环和∑ｈａｒａ 有什么结论呢 ?本文研究了循环和∑ｈａｒａ,得到了两个结论 .定理 1　在△ＡＢＣ中 ,有ｓ2 ≥ ∑ｈａｒａ (2 )等号当且仅当△ＡＢＣ为正三…     

一类三角形几何不等式的统一证法

我们知道 ,任何三角形都有一个内切圆 ,切点把三边分成两段 .根据切线长定理 ,可将三边分拆换元 ,即在△ABC中 ,a ,b ,c分别为其三边长 ,可设a =y +z ,b =x +z ,c =x + y (其中 ,x ,y ,z∈R+ )( 1)如此便可简捷地证明一些三角形不等式 .下面我们举例说明 :1　分拆换元后 ,运用算术—几何平均值不等式一些结构较复杂 ,直接运用均值不等式有困难的三角形几何不等式 ,依据 ( 1)式分拆换元后 ,却能容易利用算术—几何平均值不等式 .例 1　在△ABC中 ,a ,b,c分别为其边长 ,求证 :① (《数学通讯》 2 0 0 1.12 .数学问题 132 4 )a +bb +c -a+ b…     

关于积分不等式的几种证明方法

通过实例分别介绍利用函数单调性、最值、微分中值定理、凸函数、定积分的性质、基本不等式、幂级数展开式来证明积分不等式的一些方法．     

关于GA-凸函数的Hadamard型不等式

给出了GA-凸函数的Hadamard型不等式,并讨论了其应用.     

关于p-凸函数的Hadamard型不等式

对于P-凸函数在给定连续区间上的算术平均问题,通过P-凸函数理论将其转化为定积分问题,利用定积分的定义计算和定积分运算,建立了P-凸函数的Hadamard 型不等式,给出了证明和发现不等式的实例.     

关于凸函数的一个控制不等式

关于凸函数的一个控制不等式续铁权（青岛教育学院数学系２６６０７１）设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上定义，０＜ｔ＜１，若称ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的凸函数，若当时严格不等式成立，称ｆ（ｘ）是严格凸函数．若不等式反向，称ｆ（ｘ）是凹函数和严格凹函数．本文研究凸函数...     

算子的柯西-施瓦茨范数不等式的改进（英文）

利用函数f(t)=‖|A^tXB^(1-t)|~r‖·‖|A^(1-t)XB^t|~r‖在区间[0,1]上的凸性对算子的柯西-施瓦茨范数不等式给出了一些改进.     

关于凸函数的一般平均不等式

本文提出并证明了凸函数的最一般的平均不等式 ,是凸函数的幂平均、双参数平均不等式的进一步推广     

关于某些不等式的极限形式

关于某些不等式的极限形式高军（安徽阜阳教育学院２３６０１６）《数学通报》１９８９年第７期发表的《某些不等式的极限形式》一文（以下简称文［１］），研究了从有穷不等式通过极限运算可得相应的积分不等式的条件，读后颇受教益和启发．笔者在教学中发现该文所给的定...