“面”哪去了?

在高三复习中遇到一道题 :棱长都相等的一个正四面体和一个正八面体 ,把它们拼起来 ,使一个面重合 ,所得的多面体有个面 .答案是 7个 ,学生不理解 ,拿着题来让我帮忙 .相对简单的背景 ,并不复杂的关系不容易引起人的重视 ,然而几遍讲解下来 ,看着学生将信将疑的目光 ,连我自己也不得不怀疑解法的简明和深刻性了 ,于是对这个问题作彻底研究的念头与日俱增 .图 1　分析用图如图 1 ,使面ＡＢＣ与面Ａ1Ｂ1Ｃ1重合 ,应先考虑棱长都相等的一个正四面体和一个正四棱锥在重合一个侧面后还剩几个面 ,也就是把问题化整为零 ,然后各个击破 .图 2　分析…     

关于有根简单平面三角地图数目的一个注记

一个地图,指图在某曲面上的一个嵌入.平面地图,自然就是在平面上的嵌入.三角平面地图,即所有面皆三角形的平面地图.一个地图,如果将它的一条边规定一个特殊的方向,此边称为根边.根边的始端称为根点,沿根边的方向走左手边的面称为根面,则这时称这个地图为有根的.之谓二个有根的地图是不同的,或曰组合上不等价,指二者之间不存在一个同构映像使得它们根点、根边和根面也相应.可想而知,研究有根地图的组合不变性与研究一般地图的组合不变性在根多情况下是一致的.特别是在着色理论中有根和无根一个样.然,     

我是怎样教“异面直线”这一课题的

异面直线是空间图形里的基图形,它的概念是空间图形里的基本概念.关于异面直线的教材,教科书里提出的有三个问题,一)异面直线的定义;二)二异面直线所成之角;三)作一直线与二异面直线分别垂直相交.这三个问题,不是集中讲授的,也不可能集中在一个地     

sinθ=sinγ·sinφ

在立体几何的基础知识部分,有一道题具有独恃的意义。由于历来的教材几乎都不提及故未能引起普遍注意。兹介绍如下 如果二面角的大小为γ。在它的一个面内的一条直线与另一个面成θ角,与棱成φ真角,那     

如何判定两直线异面?

判定两直线异面的依据是什么 ?是异面直线的定义 .异面直线的定义是 :“不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线” .要对任何一个平面进行检验 ,这是不可能的 ,因此 ,用异面直线的定义时 ,必须用到反证法 .请看课本中的一道例题 :过平面外一点与平面内一点的直线 ,和平面内不经过该点的直线是异面直线 .本题就是根据定义用反证法来证明的 .用反证法一般有两种方式 :一种方式如课本所示 ;再一种方式是分相交和平行两种情况 ,分别推出矛盾 ,对上述例题 ,也可以用这种方式来证 .有时 ,如果题目指明了相交与平行两种关系中的一种不成立 ,则…     

扭面

<正> 在水利工程中,常用扭面把水闸岸墙(垂直平面)与河道护坡(斜平面)连接起来,扭面是什么曲面? 一、扭面定义空间不共面的四点A、B、C、D可以构成一个扭面。将一对异面直线AB、DC作母线,另一对异面直线AD、BC作准线,作出扭面ABCD,其作法为     

“影子”与数学

自古以来,人们仰望遥远的天空时,就会情不自禁地想:天到底有多高? 由于天高不可测,人们便想知道,挂在天空的太阳离地面到底有多远.孔子不能回答“小儿辩日”的问题,然而,初生牛犊不怕虎,有一个儿童却敢于当着大人的面巧辩太阳离     

四面体有内切球吗?

文[1]介绍了空间任意不共面的四点可同在一个球面上,即任意四面体一定有一个外接球.那么,任意四面体一定有内切球吗?这是不久前一个学生问到的问题.本文对此做个回答,也算是对文[1]的补充.与平面几何中角平分线相类比,我们把平分一个二面角的半平面称为这个二面角的分角面.引理     

一道课本习题引出的争议

现行高中《立体几何》(必修本)第43页有这样一道习题: 在一个二面角的一个面内有一点,它到棱的距离等于它到另一个面的距离的2倍,求二     

环面图上的一个Lebesgue型定理及其在线性染色中的应用

设c是图G的一个顶点染色, 如果c的任意两个色类都导出一个最大度至多为2的无圈子图,则称c为G的一个无圈染色. 我们首先证明了环面图上的一个Lebesgue 型定理, 作为其应用证明了对任一个围长不小于5 的环面图G, 除非△(G) = 4 而且G有一个子图H使得H的每一个面都是与三个3度点和二个4度点相关的5度面, H一定是(「(△(G))/2」+ 4)- 线性列表可染色的. 这一结果推广和改进了一些已知结论.     

一个公式的推广

高中立体几何中有这样一个公式：如图1,若面ADC⊥面BDC,则有：COS∠BDA=cos∠BDC×cos∠ADC①     

棱锥是凸多面体吗?

《立体几何》P75言:“所有的棱柱、棱锥、棱台指的都是凸多面体,图中的多面体不是凸多面体”。在教学中,学生提出疑问:图中的多面体符合棱锥的定义:“有一个面是多边形,其余各面是有一     

一个关于近-三角剖分嵌入的内插定理

一个近三角剖分嵌入是指一个图嵌入在一个曲面上,使得至多可能有一个面不是三角面。在本文中我们证明了如下结果：如果一个图G在某个可定向曲面S_h上有三角剖分嵌入,那么G在S_k上有一个近三角剖分嵌入,这里k=h,h 1,…,[β(G)/2],而β(G)是图G的Betti数。     

正方体及其展开图

我们知道 ,正方体共有六个面、十二条棱、八个顶点 .我们可以沿着其中若干条棱将正方体剪开后展开成平面 ,成为六个不同位置的正方形 ,它们中每一个正方形至少与另一个正方形有一条公共边 (不允许只有一个公共顶点的情形出现 ) ;反过来说 ,展开图上六个边与边相连的相同小正方形 ,我们也可以沿着其中若干条边折叠 ,使其成为正方体如图 ( 1 ) .在正方体中上与下 ,左与右 ,前与后都是相对的面 ,上与左 ,右与后等是相邻的面 .( 1 )我们首先研究平面上六个不同位置的正方形何时才能折叠成正方体 .通过观察图 ( 1 ) ,显然的事实是 :1 排在同一条…     

一个公式的推广

高中立体几何中有这样一个公式:如图1,若面ADC⊥面BDC,则有:cos∠BDA=cos∠BDC×cos∠ADC①①式被广泛运用于     

美丽的组合

问题 一个正四面体和一个正四棱锥，它们的棱长都相等． 当这个四面体的一个面与这个正四棱锥的一个侧面重合在一起时，所组成的组合体有几个面？     

外平面图的弱边面染色

假设G是一个平面图.如果e1和e2是G中两条相邻边且在关联的面的边界上连续出现,那么称e1和e2面相邻.图G的一个弱边面κ-染色是指存在映射π:E∪F→{1,…,κ},使得任意两个相邻面、两条面相邻的边以及两个相关联的边和面都染不同的颜色.若图G有一个弱边面κ-染色,则称G是弱边面κ-可染的.平面图G的弱边面色数是指G是弱边面κ-可染的正整数κ的最小值,记为χef(G).2016年,Fabrici等人猜想:每个无环且无割边的连通平面图是弱边面5-可染的.本文证明了外平面图满足此猜想,即:外平面图是弱边面5-可染的.     

用欧拉定理证明正多面体只有五种

三维空间中的正多面体只有五种,它们是:正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。我们可以用欧拉定理给出一个简单的证明。先简单叙述一下欧拉定理:简单多面体的顶点数(v)、面数(f)、边数(e)之间有关系v     

谈“异面直线”的教学

“异面直线”这个概念,是高中一年级学生学习立体几何所碰到的第一个难以接受的概念。一直到高中的毕业考试,仍可见到不少学生对有关异面直线的作图、计算、证明题感到棘手。     

关于单形的中面

在n维欧氏空间中,作为三角形的高维推广的单形的中面是最近才引入的一个重要的几何概念．该文利用Grassmann代数的方法获得了单形的中面面积的解析表达式,证明了单形的中面类似于三角形中线的性质,例如,对于一个给定的单形,存在另一个单形使得其边长分别等于给定单形的中面面积;一个单形的所有中面有且仅有一个公共点等．同时,利用中面面积的解析表达式证明了单形中面与单形的棱长、外接圆半径、中线长、角平分面等之间的一些优美性质,建立了一些新的重要的几何不等式．