Instability of a plane axisymmetric flow with a shear discontinuity in the velocity profile

It is proposed to investigate the stability of a plane axisymmetric flow with an angular velocity profile (r) such that the angular velocity is constant when r < r_O – L and r > r_O + L but varies monotonically from ₁ to ₂ near the point r_O, the thickness of the transition zone being small L r_O, whereas the change in velocity is not small ¦₂ – ₁¦ ₂, ₁. Obviously, as L O short-wave disturbances with respect to the azimuthal coordinate (k=m/r_O 1/r_O) will be unstable with a growth rate-close to the Kelvin—Helmholtz growth rate. In the case L=O (i.e., for a profile with a shear-discontinuity) we find the instability growth rate _O and show that where the thickness of the discontinuity L is finite (but small) the growth rate does not differ from _O up to terms proportional to kL 1 and 1/m 1. Using this example it is possible to investigate the effect of rotation on the flow stability. It is important to note that stabilization (or destabilization) of the flow in question by rotation occurs only for three-dimensional or axisymmetric perturbations.Translated from Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Mekhanika Zhidkosti i Gaza, No. 1, pp. 111–114, January–February, 1985.     

The theory of a vibrating-rod densimeter

The paper presents a theory of a device for the accurate determination of the density of fluids over a wide range of thermodynamic states. The instrument is based upon the measurement of the characteristics of the resonance of a circular section tube, or rod, performing steady, transverse oscillations in the fluid. The theory developed accounts for the fluid motion external to the rod as well as the mechanical motion of the rod and is valid over a defined range of conditions. A complete set of working equations and corrections is obtained for the instrument which, together with the limits of the validity of the theory, prescribe the parameters of a practical design capable of high accuracy.Nomenclature A, B, C, D constants in equation (60) - A _j , B _j constants in equation (18) - a _j ⁺ , a _j ^– wavenumbers given by equation (19) - C _f drag coefficient defined in equation (64) - C _f ^/0 , C _f ^/1 components of C _f in series expansion in powers of - c speed of sound - D _b drag force of fluid b - D ₀ coefficient of internal damping - E extensional modulus - force per unit length - F _j ⁺ , F _j ^– constants in equation (24) - f, g functions of defined in equations (56) - G modulus of rigidity - I second moment of area - K constant in equation (90) - k, k constants defined in equations (9) - L half-length of oscillator - Ma Mach number - m _a mass per unit length of fluid a - m _b added mass per unit length of fluid b - m _s mass per unit length of solid - n _j eigenvalue defined in equation (17) - P power (energy per cycle) - P _a , P _b power in fluids a and b - p pressure - R radius of rod or outer radius of tube - R _c radius of container - R _i inner radius of tube - r radial coordinate - T tension - T _visc temperature rise due to heat generation by viscous dissipation - t time - v _r , v radial and angular velocity components - y lateral displacement - z axial coordinate - dimensionless tension - _a dimensionless mass of fluid a - _b dimensionless added mass of fluid b - _b dimensionless drag of fluid b - dimensionless parameter associated with - ₀ dimensionless coefficient of internal damping - dimensionless half-width of resonance curve - dimensionless frequency difference defined in equation (87) - spatial resolution of amplitude - R, , , _s , increments in R, , , _s , - dimensionless amplitude of oscillation - dimensionless axial coordinate - ratio of to - _a , _b ratios of to for fluids a and b - angular coordinate - parameter arising from distortion of initially plane cross-sections - _f thermal conductivity of fluid - dimensionless parameter associated with - viscosity of fluid - _a , _b viscosity of fluids a and b - dimensionless displacement - _j jth component of - density of fluid - _a , _b density of fluids a and b - _s density of tube or rod material - density of fluid calculated on assumption that * - dimensionless radial coordinate - * dimensionless radius of container - dimensionless times - _{rr rr}, _r radial normal and shear stress components - spatial component of defined in equation (13) - _j jth component of - dimensionless streamfunction - ⁰, ¹ components of in series expansion in powers of - phase angle - _r phase difference - _ra , _rb phase difference for fluids a and b - streamfunction - _j jth component defined in equation (22) - dimensionless frequency (based on ) - _a , _b dimensionless frequency in fluids a and b - _s dimensionless frequency (based on _s ) - angular frequency - ₀ resonant frequency in absence of fluid and internal damping - _r resonant frequency in absence of internal fluid - _ra , _rb resonant frequencies in fluids a and b - dimensionless frequency - dimensionless frequency when _a vanishes - dimensionless frequencies when _a vanishes in fluids a and b - dimensionless resonant frequency when _a , _b, _b and ₀ vanish - dimensionless resonant frequency when _a , _b and _b vanish - dimensionless resonant frequency when _b and _b vanish - dimensionless frequencies at which amplitude is half that at resonance     

Über den Einfluß von Querkrümmung und Dichte bei inhomogenen turbulenten Freistrahlen

Zusammenfassung Zur Berechnung turbulenter Strömungen wird das k--Modell im Ansatz für die turbulente Scheinzähigkeit erweitert, so daß es den Querkrümmungs- und Dichteeinfluß auf den turbulenten Transportaustausch erfaßt. Die dabei zu bestimmenden Konstanten werden derart festgelegt, daß die bestmögliche Übereinstimmung zwischen Berechnung und Messung erzielt wird. Die numerische Integration der Grenzschichtgleichungen erfolgt unter Verwendung einer Transformation mit dem Differenzenverfahren vom Hermiteschen Typ. Das erweiterte Modell wird auf rotationssymmetrische Freistrahlen veränderlicher Dichte angewendet und zeigt Übereinstimmung zwischen Rechnung und Experiment.

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On the influence of transvers-curvature and density in inhomogeneous turbulent free jets

The prediction of turbulent flows based on the k- model is extended to include the influence of transverse-curvature and density on the turbulent transport mechanisms. The empirical constants involved are adjusted such that the best agreement between predictions and experimental results is obtained. Using a transformation the boundary layer equations are solved numerically by means of a finite difference method of Hermitian type. The extended model is applied to predict the axisymmetric jet with variable density. The results of the calculations are in agreement with measurements.

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Bezeichnungen Wirbelabsorptionskoeffizient - c_i Massenkonzentration der Komponente i - c_D, c_L, c, c₁, c₂ Konstanten des Turbulenzmodells - d Düsendurchmesser - E bezogene Dissipationsrate - f bezogene Stromfunktion - f Korrekturfunktion für die turbulente Scheinzähigkeit - j turbulenter Diffusionsstrom - k Turbulenzenergie - k_i Schrittweite in -Richtung - K dimensionslose Turbulenzenergie - L turbulentes Längenmaß - M_i Molmasse der Komponente i - p Druck - allgemeine Gaskonstante - r Querkoordinate - r_0,5 Halbwertsbreite der Geschwindigkeit - r_0,5c Halbwertsbreite der Konzentration - T Temperatur - u Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung - v Geschwindigkeitskomponente in r-Richtung - x Längskoordinate - y allgemeine Funktion - Y_i diskreter Wert der Funktion y - Relaxationsfaktor für Iteration - turbulente Dissipationsrate - transformierte r-Koordinate - kinematische Zähigkeit - Exponent - transformierte x-Koordinate - Dichte - _k, Konstanten des Turbulenzmodells - Schubspannung - allgemeine Variable - Stromfunktion - Turbulente Transportgröße Indizes 0 Strahlanfang - m auf der Achse - r mit Berücksichtigung der Krümmung - t turbulent - mit Berücksichtigung der Dichte - im Unendlichen - Schwankungswert oder Ableitung einer Funktion - – Mittelwert Herrn Professor Dr.-Ing. R. Günther zum 70. Geburtstag gewidmet     

Transient laminar free convection in horizontal cylinders

A numerical study of laminar natural convection inside uniformly heated, partially or fully filled horizontal cylinders is made. A coordinate transformation which simplifies the discretization of the equations of motion and energy is utilized. The resulting system of partial differential equations with their boundary conditions is solved using central differences for various Prandtl and Grashof numbers for two different grid sizes. The flow in completely filled cylinders for which experimental data are available is predicted. Close agreement between steady-state predictions and experiments is obtained for temperature and velocity profiles as well as for the streamline contours and isotherms. The technique is further demonstrated by solving the transient natural convection flow inside a partially filled horizontal cylinder with an adiabatic free surface and subjected to uniform wall heating.

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Laminare freie Konvektion in horizontalen Zylindern

Zusammenfassung Es wurde eine numerische Berechnung der laminaren, freien Konvektion in gleichmäßig beheizten, teilweise oder ganz gefüllten, horizontalen Zylindern durchgeführt. Dabei wird eine Koordinatentransformation benützt, welche die Diskretisierung der Bewegungs- und der Energiegleichung vereinfacht. Das so resultierende System von partiellen Differentialgleichungen wird, zusammen mit seinen Randbedingungen, unter Verwendung einer Differenzenmethode für verschiedene Prandtl und Grashof-Zahlen sowie für zwei verschiedene Gittergrößen gelöst. Für den vollständig gefüllten Zylinder, für den experimentelle Daten verfügbar sind, wird die Strömung vorhergesagt. Dabei wird für stationäre Zustände gute Übereinstimmung zwischen Rechnung und Experiment erzielt. Dies gilt sowohl für den Verlauf der Stromlinien als auch für den der Isothermen. Das Verfahren wird weiterhin am Beispiel der Berechnung instationärer, freier Konvektion in einem partiell gefüllten, horizontalen Zylinder demonstriert, wobei eine adiabate, freie Oberfläche und gleichmäßige Beheizung der Wand angenommen sind.

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Nomenclature g acceleration due to gravity, m/s² - Gr _R ^* modified Grashof number =gqR⁴/kv² - Gr _R Grashof number =gTR³/v² - H heat function vector, dimensionless - k thermal conductivity, W/mK - L(Y) cord length associated with coordinateY, dimensionless - Pr Prandtl number=v/ - q wall heat flux, W/m² - R radius, m - r(X, Y,Z) distance of a boundary point from the reference axis, dimensionless - S vector derived from the flow field solution, dimensionless - T temperature, K - T _w wall temperature, K - T reference temperature, K - t time, s - u, v velocity components inx, y directions, m/s - U, V dimensionless velocity components inX- and Y-direction normalized withU - U reference velocity=gqR²/k or gTR, m/s - V velocity vector, dimensionless - W vorticity vector, dimensionless - W vorticity, dimensionless - x, y, z cartesian coordinates, m - X, Y, Z cartesian coordinates normalized with a reference length, dimensionless Greek letters thermal diffusivity, m²/s - coefficient of thermal expansion, K^–1 - ,,, non-dimensional coordinates in the transformed domain - non-dimensional temperature =(T–T)_k/q^R or T–T/T_w–T - v kinematic viscosity, m²/s - non-dimensional time=v/R² Gr_Rt or v/R² G _R ^* t - angle measured from the bottom of the cylinder, rads - ^* angle measured from the axis on (– ) plane, rads - heat potential, dimensionless - angle of incidence of the heat flux vector, rads - non-dimensional stream function - vector potential, dimensionless - grid size, dimensionless - ² Laplacian operator - gradient vector     

Prediction of stagnation point heat transfer for a single round jet impinging on a concave hemispherical surface

This paper deals with a systematic procedure for assessment of fluid flow and heat transfer parameters for a single round jet impinging on a concave hemispherical surface. Based on Scholkemeier's modifications of the Karman-Pohlhausen integral method, expressions are derived for evaluation of the momentum thickness, boundary layer thickness and the displacement thickness at the stagnation point. This is followed by the estimation of thermal boundary layer thickness and local heat transfer coefficients. A correlation is presented for the Nusselt number at the stagnation point as a function of the Reynolds number for different non-dimensional distances from the exit plane of the jet to the impingement surface.

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Bestimmung des Staupunktes bei der Wärmeübertragung für einen einzelnen Strahl, der auf eine konkave halbkugelige Oberfläche trifft

Zusammenfassung Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem systematischen Verfahren der Bewertung von Fluidströmungen und Wärmeübertragungsparametern für einen einzelnen runden Strahl, der auf eine konkave halbkugelförmige Oberfläche trifft. Das Verfahren beruht auf Scholkemeiers Modifikation des Karman-Pohlhausen Integrationsverfahrens. Ausdrücke sind für die Berechnung der Impuls-Dicke, der Grenzschichtdicke und der Verschiebungsdicke am Staupunkt hergeleitet worden. Dies ist aus der Berechnung der thermischen Grenzschichtdicke und des lokalen Wärmeübertragungskoeffizienten abgeleitet worden. Es wird eine Gleichung für die Nusselt-Zahl am Staupunkt als Funktion der Reynolds-Zahl für verschiedene dimensionslose Abstände vom Strahlaustrittspunkt bis zum Auftreffpunkt auf die Oberfläche vorgestellt.

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Nomenclature c _p specific heat at constant pressure - d diameter of single round nozzle - h ₀ heat transfer coefficient at the stagnation point - H distance from the exit plane of the jet to the impingement surface - k thermal conductivity - Nu _0.5 Nusselt number based on impinging jet quantities=h _0.50/k - Nu _{0.5, 0} stagnation point Nusselt number=h _{0 0,50}/k - p pressure - p _a ambient pressure - p ₀ maximum pressure or stagnation pressure - p(x) static pressure at a distancex from the stagnation point - R radius of curvature of the hemisphere - Re _J jet Reynolds number=U _Jd/ - Re _0.5 Reynolds number based on impinging jet quantities=u _{m0 0.50}/ - T temperature - T _a room temperature - T _J jet temperature - T _W wall temperature - u velocity component inx andx directions (Fig. 1) - u _m jet centerline (or maximum) free jet velocity: external (or maximum) boundary layer velocity aty= _m - u _m0 arrival velocity defined as the maximum velocity the free jet would have at the plane of impingement if the plane were not there - U _J jet exit velocity - x* non-dimensional coordinate starting at the stagnation point=x/2 _0.50 - x, y rectangular Cartesian coordinates - y coordinate normal to the wall starting at the wall - ratio of thermal to velocity boundary layer thickness= _T/_m - ₀ ratio of thermal to velocity boundary layer thickness at the stagnation point - * inner layer displacement thickness - _0.50 jet half width at the plane of impingement if the plate were not there - _m inner boundary layer thickness atu=u _m - Pohlhausen's form parameter - dynamic viscosity - kinematic viscosity=/ - fluid density - momentum thickness - ₀ momentum thickness at the stagnation point     

Beitrag zur Prüfung metallischer Werkstoffe im Torsionsversuch

Zusammenfassung Der Torsionsversuch eignet sich zur Untersuchung des plastischen Verhaltens von Metallen bei erhöhten Temperaturen, wenn die Fließspannung stark von der Umformgeschwindigkeit abhängt. Aus der gemessenen Drehmoment-Drehwinkel-Kurve wird die Fließkurvek _f () berechnet. Hierfür wird ein Fließkriterium benötigt, dessen Unsicherheit im allgemeinen größer ist als alle Meßfehler. Diese Unsicherheit geht aber nicht in die berechnete Dehngeschwindigkeitsempfindlichkeit ein, die somit als Hauptergebnis des Versuches anzusehen ist.Um die Bedingungen technischer Warmumformung zu simulieren, wird die Verwendung extrem kurzer Proben (flacher Scheiben) empfohlen, womit sehr hohe Umformgeschwindigkeiten erreicht werden können. Für die Auswertung derartiger Versuche ist die wirksame Länge der kurzen Proben — experimentell oder semiempirisch — zu bestimmen und die Kerbwirkung zu berücksichtigen. Im Gegensatz zur herkömmlichen Vorgehensweise wird empfohlen, die örtliche Spannung und Verzerrung nicht für die Mantelfläche der Probe zu berechnen, sondern für einen kritischen Radialabstand im Innern der Probe, für den die Schiebung von der Kerbwirkung unabhängig ist, so daß sich die zuverlässigsten Werte ergeben.

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Summary The torsion test is often used for studying the plastic deformation of metals at elevated temperatures when stress depends strongly on the strain rate. From the measured torque-twisting angle curve, the stress-strain curvek _f () has to be calculated. For this purpose a yield criterion has to be used the uncertaintly of which normally exceeds all experimental errors. This uncertaintly, however, does not propagate into the calculated strain rate sensitivity which therefore may be considered as the main result of the torsion test.For simulating the conditions of technical hot forming processes, the use of extremely short test pieces (flat discs) by which very high strain rates can be obtained is recommended. For evaluating the test data the efficient lenght of short specimens has to be determined. In opposition to the conventional procedure of test evaluation, it is recommended not to calculate stress and strain for the surface of the specimen but for a critical radius for which strain is independent of the notch effect so that the most reliable values are obtained.

Mit 5 Abbildungen     

Rheology of molten polymers

Summary TheCross equation describes the flow of pseudoplastic liquids in terms of an upper and a lower Newtonian viscosity corresponding to infinite and zero shear, and ₀, and of a third material constant related to the mechanism of rupture of linkages between particles in the intermediate, non-Newtonian flow regime, Calculation of of bulk polymers is important, since it cannot be determined experimentally. The equation was applied to the melt flow data of two low density polyethylenes at three temperatures.Using data in the non-Newtonian region covering 3 decades of shear rate to extrapolate to the zero-shear viscosity resulted in errors amounting to about onethird of the measured ₀ values. The extrapolated upper Newtonian viscosity was found to be independent of temperature within the precision of the data, indicating that it has a small activation energy.The ₀ values were from 100 to 1,400 times larger than the values at the corresponding temperatures.The values of were large compared to the values found for colloidal dispersions and polymer solutions, but decreased with increasing temperature. This shows that shear is the main factor in reducing chain entanglements, but that the contribution of Brownian motion becomes greater at higher temperatures.

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Zusammenfassung Die Gleichung vonCross beschreibt das Fließverhalten von pseudoplastischen Flüssigkeiten durch drei Konstante: Die obereNewtonsche Viskosität (bei sehr hohen Schergeschwindigkeiten), die untereNewtonsche Viskosität ₀ (bei Scherspannung Null), und eine Materialkonstante, die vom Brechen der Bindungen zwischen Partikeln im nicht-Newtonschen Fließbereich abhängt. Die Berechnung von ist wichtig für unverdünnte Polymere, wo man sie nicht messen kann.Die Gleichung wurde auf das Fließverhalten der Schmelzen von zwei handelsüblichen Hochdruckpolyäthylenen bei drei Temperaturen angewandt. Die Werte von ₀, durch Extrapolation von gemessenen scheinbaren Viskositäten im Schergeschwindigkeitsbereich von 10 bis 4000 sec^–1 errechnet, wichen bis 30% von den gemessenen ₀-Werten ab. Die Aktivierungsenergie der war so klein, daß die-Werte bei den drei Temperaturen innerhalb der Genauigkeit der Extrapolation anscheinend gleich waren. Die ₀-Werte waren 100 bis 1400 mal größer als die-Werte.Im Verhältnis zu kolloidalen Dispersionen und verdünnten Polymerlösungen war das der Schmelzen groß, nahm aber mit steigender Temperatur ab. Deshalb wird die Verhakung der Molekülketten hauptsächlich durch Scherbeanspruchung vermindert, aber der Beitrag derBrownschen Bewegung nimmt mit steigender Temperatur zu.

     

Free convection heat transfer from an isothermal plate with arbitrary inclination

This paper presents a new formulation for the laminar free convection from an arbitrarily inclined isothermal plate to fluids of any Prandtl number between 0.001 and infinity. A novel inclination parameter is proposed such that all cases of the horizontal, inclined and vertical plates can be described by a single set of transformed equations. Moreover, the self-similar equations for the limiting cases of the horizontal and vertical plates are recovered from the transformed equations by setting=0 and=1, respectively. Heated upward-facing plates with positive and negative inclination angles are investigated. A very accurate correlation equation of the local Nusselt number is developed for arbitrary inclination angle and for 0.001 Pr .

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Wärmeübertragung bei freier Konvektion an einer isothermen Platte mit beliebiger Neigung

Zusammenfasssung Diese Untersuchung stellt eine neue Formulierung der laminaren freien Konvektion von Flüssigkeiten mit einer Prandtl-Zahl zwischen 0,001 und unendlich an einer beliebig schräggestellten isothermen Platte dar. Ein neuer Neigungsparameter wird eingeführt, so daß alle Fälle der horizontalen, geneigten oder vertikalen Platte von einem einzigen Satz transformierter Gleichungen beschrieben werden können. Die unabhängigen Gleichungen für die beiden Fälle der horizontalen and vertikalen Platte wurden für=0 und=1 aus den transformierten Gleichungen wieder abgeleitet. Es wurden erwärmte aufwärtsgerichtete Platten mit positiven und negativen Neigungswinkeln untersucht. Eine sehr genaue Gleichung wurde für die lokale Nusselt-Zahl bei beliebigen Neigungswinkeln und für 0,001 Pr entwickelt.

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Nomenclature C _p specific heat - f reduced stream function - g gravitational acceleration - Gr local Grashof number,g(T _w –T _w ) x³/v² - h local heat transfer coefficient - k thermal conductivity - n constant exponent - Nu local Nusselt number,hx/k - p pressure - Pr Prandtl number, v/ - Ra local Rayleigh number,g(T _w –T )J x³/v - T fluid temperature - T _w wall temperature - T temperature of ambient fluid - u velocity component in x-direction - v velocity component in y-direction - x coordinate parallel to the plate - y coordinate normal to the plate Greek symbols thermal diffusivity - thermal expansion coefficient - (Ra¦sin¦)^1/4/( Ra cos()^1/5 - pseudo-similarity variable, (y/) - dimensionless temperature, (T–T )/(T _w–T ) - ( Ra cos)^1/5+(Rasin)^1/4 - v kinematic viscosity - 1/[1 +(Ra cos)^1/5/( Ra¦sin)^1/4] - density of fluid - Pr/(1+Pr) - _w wall shear stress - angle of plate inclination measured from the horizontal - stream function - dimensionless dynamic pressure     

Mixed convection on vertical plate for fluids of any prandtl number

A mixed convection parameter=(Ra) ^1/4/(Re)^1/2, with=Pr/(1+Pr) and=Pr/(1 +Pr)^1/2, is proposed to replace the conventional Richardson number, Gr/Re², for combined forced and free convection flow on an isothermal vertical plate. This parameter can readily be reduced to the controlling parameters for the relative importance of the forced and the free convection,Ra ^1/4/(Re ^1/2 Pr ^1/3) forPr 1, and (RaPr)^1/2/(RePr ^1/2 forPr 1. Furthermore, new coordinates and dependent variables are properly defined in terms of, so that the transformed nonsimilar boundary-layer equations give numerical solutions that are uniformly valid over the entire range of mixed convection intensity from forced convection limit to free convection limit for fluids of any Prandtl number from 0.001 to 10,000. The effects of mixed convection intensity and the Prandtl number on the velocity profiles, the temperature profiles, the wall friction, and the heat transfer rate are illustrated for both cases of buoyancy assisting and opposing flow conditions.

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Mischkonvektion an einer vertikalen Platte für Fluide beliebiger Prandtl-Zahl

Zusammenfassung Für die kombinierte Zwangs- und freie Konvektion an einer isothermen senkrechten Platte wird ein Mischkonvektions-Parameter=( Ra) ^1/4 (Re)^1/2, mit=Pr/(1 +Pr) und=Pr/(1 +Pr)^1/2 vorgeschlagen, den die gebräuchliche Richardson-Zahl, Gr/Re², ersetzen soll. Dieser Parameter kann ohne weiteres auf die maßgebenden Kennzahlen für den relativen Einfluß der erzwungenen und der freien Konvektion reduziert werden,Ra ^1/4/(Re ^1/2 Pr ^1/3) fürPr 1 und (RaPr)^1/4/(RePr)^1/2 fürPr 1. Weiterhin werden neue Koordinaten und abhängige Variablen als Funktion von definiert, so daß für die transformierten Grenzschichtgleichungen numerische Lösungen erstellt werden können, die über den gesamten Bereich der Mischkonvektion, von der freien Konvektion bis zur Zwangskonvektion, für Fluide jeglicher Prandtl-Zahl von 0.001 bis 10.000 gleichmäßig gültig sind. Der Einfluß der Intensität der Mischkonvektion und der Prandtl-Zahl auf die Geschwindigkeitsprofile, die Temperaturprofile, die Wandreibung und den Wärmeübergangskoeffizienten werden für die beiden Fälle der Strömung in und entgegengesetzt zur Schwerkraftrichtung dargestellt.

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Nomenclature C _f local friction coefficient - C _p specific heat capacity - f reduced stream function - g gravitational acceleration - Gr local Grashoff number,g T _w –T )x³/v² - Nu local Nusselt number - Pr Prandtl number,v/ - Ra local Rayleigh number,g T _w –T x ³/( v) - Re local Reynolds number,u x/v - Ri Richardson number,Gr/Re ² - T fluid temperature - T _w wall temperature - T free stream temperature - u velocity component in thex direction - u free stream velocity - v velocity component in they direction - x vertical coordinate measuring from the leading edge - y horizontal coordinate Greek symbols thermal diffusivity - thermal expansion coefficient - mixed convection parameter (Ra)1/4/Re)^1/2 - pseudo-similarity variable,(y/x) - ₀ conventional similarity variable,(y/x)Re ^1/2 - dimensionless temperature, (T–T T _W –T - unified mixed-flow parameter, [(Re) ^1/2 + (Ra)^1/4] - dynamic viscosity - kinematic viscosity - stretched streamwise coordinate or mixed convection parameter, [1 + (Re)^1/2/(Ra) ^1/4]^–1=/(1 +) - density - Pr/(1 + Pr) _w wall shear stress - stream function - Pr/(l+Pr)^1/3 This research was supported by a grand from the National Science Council of ROC     

Einfluß von Anströmprofil und Turbulenzintensität auf die Umströmung längsangeströmter Platten endlicher Dicke

Zusammenfassung An längsangeströmten dicken Platten löst sich die Strömung im Bereich des Anströmprofils ab und legt sich nach einer gewissen Entfernung wieder an die Platte an. Dies führt gegenüber der dünnen Platte zu signifikanten Veränderungen von Umströmung, Wärmeübergang und Druckverlust.Die Aussagen zur Umströmung werden aus örtlichen Stoffübergangsmessungen (Sc=0,616) mit Hilfe einer remissionsfotometrischen Stoffübergangsmeßmethode auf der Basis von Absorption, chemischer Reaktion und gekoppelter Farbreaktion gewonnen. Als wesentliche Einflußgrößen auf Umströmung und zugeordneten Stoffübergang sind das Anströmprofil, die Anström-Reynolds-Zahl Re_sB sowie insbesondere die Turbulenzintensität Tu zu nennen. Die Untersuchungen erstrecken sich auf Platten mit Dicken 0,8 mms91, 3 mm mit stumpfem, halbrundem und keilförmigen Anströmprofilen sowie auf längsüberströmte Kreiszylinder mit stumpfem, halbkugelförmigem und kegelförmigen Anströmprofilen. Die mit der Plattendicke s gebildete Re_sB -Zahl wurde in weiten Grenzen 10² < Re_sB < 2 · 10⁵, die Turbulenzintensität zwischen 0,8 Tu 6% variiert.Die Ergebnisse zeigen, daß sich die Umströmung dicker Platten generell in drei Hauptströmungsformen Plattengrenzschicht, Ablöseblase und Querwirbelablösung untergliedern läßt. Der Übergang von einer Strömungsform zur anderen wird durch kritische Re_sB -Zahlen erfaßt und die Abhängigkeit vom Anströmprofil über einen Profilfaktor beschrieben. Bei Ablöseblasen konnten erstmals an Platten Längswirbel nachgewiesen werden mit ihren charakteristischen Auswirkungen auf Umströmung und Stoffübergang.Dicke Platten mit Strömungsablösung lassen sich in drei Abschnitte unterteilen: 1. Profilbereich, 2 Bereich abgelöster Strömung, 3. Plattengrenzschicht ab Wiederanlegen der Strömung. Im Hinblick auf eine Berechnung des örtlichen Stoffübergangs wird die Lage des Stoffübergangsmaximums beim Wiederanlegen der Strömung — als Trennlinie der beiden letzten Plattenabschnitte — unter Einbeziehung der wesentlichen Parameter Anströmprofil, Re_sB-Zahl und Turbulenzintensität erfaßt und als Berechnungsgleichung angegeben.

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The influence of nose section and turbulence intensity on the flow around thick plates in parallel flow

The flow parallel to thick plates separates in the nose section and reattaches on the flat plate after a certain distance. Compared with the thin flat plate the flow separation with reattachement causes significant changes of flow, heat transfer and pressure drop.The informations about the flow are recieved from measurements of local mass transfer coefficients (Sc=0,616), which are fotometrically determined by light-remission. The fundamentals of the measuring technique are based on absorbed ammonia and subsequent chemical reaction with immediate color reaction. The main parameters of flow and related mass transfer are the nose of the plate, the Reynolds-number Re_sB and especially the turbulence intensity Tu. The measurements were accomplished with plates of a thickness 0.8 mm s 91.3 mm of truncated, hemicylindrical and wedge-shaped noses and with cylinders in parallel flow of truncated, hemispherical and conical noses. The Re_sB -number with the plate thickness as characteristic length was varied in a wide range between 10² < Re_sB < 2 · 10⁵, the turbulence intensity Tu between 0,8% Tu 6%.The measured results indicate, that the flow around thick plates may generally be subdivided into three main forms of the flow: boundary layer of flat plate, separation bubble and vortex shedding with reattachement. The critical Reynolds-numbers for the transition of one form to another were determined as a function of the different shapes of noses. For the first time longitudinal vortices can be observed for separation bubbles with significant influence on the flow and on the mass transfer.Thick plates with flow separation and reattachement may be subdivided into three sections: 1. the nose section, 2. the section of separated flow, 3. the section of boundary layer of flat plate downstream of reattachement. For the computation of local mass transfer rates, the position of the maximum mass transfer at the point of reattachement — the dividing line of the 2nd and 3rd section — are determined as a function of the main parameters plate nose, Re_sB -number and turbulence intensity.

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Bezeichnungen d Zylinderdurchmesser - D_A Diffusionskoeffizient von Ammoniak in Luft - K_P Koeffizient in Gl. (7) - K_Tu Koeffizient in Gl. (6) - Re_dB=U_B · d/ Reynolds-Zahl - Re_sB=U_B · s/ Reynolds-@#@ Zahl - Re_skrit1=U_B · s/ Reynolds für den Übergang von Plattengrenzschicht zu Strömungsablösung - Re_skrit2=U_B · s/ Reynolds-Zahl für den Übergang von Ablöseblase zu Querwirbelablösung - Re_xkrit=U_B · x_krit/ Reynolds-Zahl für den Übergang von laminarer zu turbulenter Plattengrenzschicht - s Plattendicke einschließlich Trägerfolie - Sh_s=_A · s/D_A Sherwood-Zahl - Tu Turbulenzintensität in % - U_B Hauptstromgeschwindigkeit im verengten Kanalquerschnitt - U Hauptstromgeschwindigkeit im freien Kanal querschnitt - mittlere turbulente Geschwindigkeitsschwankung in x-Richtung - x Koordinate in Strömungsrichtung, tangential zur Oberfläche - X_P Profillänge des Anströmprofils - x Koordinate in x-Richtung ab Profilende (Plattenbeginn) - x_max' Entfernung von Plattenbeginn bis zum Wiederanlegen der Strömung nach Strömungsablösung (Stoffübergangs-maximum) - x_min Entfernung von Plattenbeginn bis zur Stelle minimalen Stoffübergangs - x^* Koordinate in x-Richtung ab Wiederanlegen der Strömung nach Strömungsablösung - _A Stoffübergangskoeffizient (Ammoniak) - _Am mittlerer Stoffübergangskoeffizient - kinematische Zähigkeit Unter dem Titel Einfluß des Anströmprofils auf die Umströmung von Platten endlicher Dicke gekürzt vorgetragen auf der Sitzung des GVC-Fachausschusses Wärme- und Stoffübertragung am 5./6. April 1976 in Schliersee.Herrn Prof. Dr. phil. Dr.-Ing. E.h. Peter Grassmann zum 70. Geburtstag am 13. August 1977.     

Anlaufkorrektur und Elastizität bei der Kapillarströmung von Lösungen

Zusammenfassung Aus der Anlaufkorrektur kann man nach einer Rechnung vonFromm, die auf dem Maxwellschen Modell basiert, eine Relaxationszeit und eine korrigierte Viskosität _c ermitteln. Der Quotient _c/ stellt einen Schermodul dar. Diese Größe wird für Lösungen von Cellulosetrinitrat in Butylacetat, Polyvinylacetat in Dioxan, Polystyrol in Toluol, Polyacrylamid in Wasser, und Viskose, in Abhängigkeit von der Konzentrationc und dem SchergefälleD ermittelt. Es zeigt sich, daß _c/ etwa im Wendepunkt der Fließkurven eine Art Plateau oder ein flaches Maximum zeigt und in diesem Plateaubereich eine lineare Abhängigkeit von der Konzentration. Die absolute Größe von _c/ ist jedoch um Größenordnungen geringer, als sie nach der Formel vonRouse bzw.Bueche für die erste Relaxationszeit eines Verhängungsnetzwerkes zu erwarten wäre. Das wird so gedeutet, daß bei dem hohen Schergefälle, das bei den Messungen herrschte (D etwa 10⁴ sec^–1), ein Teil der Verhängungen zerstört ist, wodurch die Relaxationszeit vergrößert und der Schermodul verkleinert wird.

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Summary From the end-correction, according to a calculation byFromm based upon theMaxwell-model, a relaxation time and a corrected viscosity _c can be obtained. The quotient _c/ represents a shear modulus. Its value is determined for solutions of cellulosetrinitrate in butylacetate, polyvinylacetate in dioxane, polystyrene in toluene, polyacryloamide in water, and viscose, in dependence of concentrationc and shear rateD. It is found, that _c/ shows a plateau or a flat maximum at the inflection point of the flow curves. In this range, a linear dependence on concentration is found too. The absolute value of _c/, however, is smaller by orders of magnitude than that to be expected for the first relaxation time of an entanglement network according to the formulas byRouse resp.Bueche. This is explained by a partial disruption of entanglements in the high shear rate prevailing at the experiments (D about 10⁴ sec^–1), which effects an increase of the relaxation time and a decrease of the shear modulus.

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Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Bad Ems vom 18.–19. Mai 1967.     

Zur Berechnung der Stofftransportbeziehungen an der Phasengrenze von Zweiphasen-Mehrkomponenten-Systemen

Zusammenfassung Die Stoffaustauschbeziehungen an der Phasengrenze eines Zweiphasen-Systems auf der Basis der erweiterten Ackermann/Colburn-Drew Gleichungen werden am Beispiel von binären und polynären Gemischen aufgezeigt. Darauf aufbauend werden Beziehungen für die Berechnung des Stoffdurchgangskoeffizienten und für das Verhältnis der partiellen Stoffübergangskoeffizienten für den Fall großer übergehender Stoffströme abgeleitet. Eine vergleichende Analyse mit Rechenansätzen verschiedener Struktur wird anhand von Beispielen gegeben.

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On the calculation of mass transfer relations at the interface of two-phase-multi-component-systems

The mass transfer relations at the interface of a two-phase-system related to the generalized Ackermann/Colburn-Drew equations are presented for binary and polynary mixtures. Therefore relations for the calculation of the overall mass transfer coefficient and the ratio of the partial mass transfer coefficients are derived for the case of high mass fluxes. An analysis comparing calculation procedures of different structures is demonstrated by examples.

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Beziehungen c Moldichte kmol/m³ - D Diffusionskoeffizient m²/h - Steigung der Gleichgewichts-linie - m Verhältnis der Phasengrenz-konzentrationen - n Stromdichte kmol/hm² - s Weg, Diffusionsweg m - x Flüssigkeitsphasenkonzen-kmol/kmol tration - y Gas-Dampfphasenkonzen-kmol/kmol tration - z Variable - Stoffaustauschkoeffizient kmol/hm² - Unterschichtdicke m - Abweichung - [_bin] Matrix der Stoffübergangskoeffizient en der binären Paare für äquimolaren Stofftransport - [] Matrix der Mehrkomponenten-Stoffübergangskoeffizienten für äquimolaren Stofftransport - [B] =[]^–1, Def. s. Gl.4d - [] Def. s. Gl.4e - [] Verallgemeinerte Ackermann/Colburn-Drew Korrektur Matrix für Mehrkomponenten-Stoffaustausch - [J] Einheitsmatrix Indizes bin binär - d dampfseitig (Stoffübergang) - D dampfseitig (Stoffdurchgang) - f flüssigkeitsseitig - g Phasengrenze - Laufindex - n Gesamtzahl der Komponenten - l l. > Komponente betreffend - 2 2 - charakterisiert für nichtäquimolaren Transport korrigierte Größen     

Die Analogie zwischen den Verschiebungen und den Spannungsfunktionen in der Biegetheorie der Kreiszylinderschale

Zusammenfassung Für die Kreiszylinderschale wurde eine Biegetheorie aufgestellt, in der die Gleichgewichtsbedingungen (unter Voraussetzung der Symmetrie des Momententensors M _ik ) durch drei Spannungsfunktionen ₁, ₂, ₃ exakt erfüllt sind. Bei der Definition der Deformationsgrößen und der Einführung der Elastizitätsgesetze war die Reißner-Meißnersche Theorie der symmetrisch belasteten Rotationsschale das Vorbild. Die drei Differentialgleichungen für die Verschiebungen _{1 2}, ₃ unterscheiden sich von den drei Differentialgleichungen für die Spannungsfunktionen ₁, ₂, ₃ formal nur im Vorzeichen der Poissonschen Querkontraktionsziffer v. Die beiden Differentialgleichungen achter Ordnung, die man nach Eliminationsprozessen sowohl für ₃ als auch für ₃ erhält, unterscheiden sich nicht mehr voneinander. So trifft man bei der Zylinderschale die Timpe-Wieghardtsche Analogie zwischen Durchbiegung ₃ der Platte und Airyscher Spannungsfunktion ₃ der Scheibe wieder.Es konnte ferner gezeigt werden, daß unsere neue Biegetheorie der bekannten Flüggeschen Theorie an Genauigkeit nicht nachsteht.Es ist wohl nicht zu bezweifeln, daß auch bei Schalen beliebiger Gestalt unsere Analogie vorhanden ist. Sie scheint uns wertvoll als Ordnungsprinzip inmitten der Fülle von Gleichungen, die nun einmal zu einer Schalentheorie gehören.Die Formulierung des Schalenproblems mit Hilfe der drei Spannungsfunktionen ₁, ₂, ₃ wird sich immer dann empfehlen, wenn die Randbelastung vorgegeben ist. Denn dann lassen sich die Randbedingungen in den Spannungsfunktionen übersichtlicher formulieren als in den Verschiebungen. Auch die Gewißheit, daß selbst durch radikales Streichen lästiger Glieder in den Differentialgleichungen der Spannungsfunktionen die Gleichgewichtsbedingungen nicht verletzt werden, mag manchem Rechner angenehm sein.     

Untersuchungsergebnisse über die kapillare Leitfähigkeit von Baustoffen

Zusammenfassung Krischer hat die kapillare Flüssigkeitsbewegung als Potentialströmung beschrieben, deren Ursache ein Feuchtegefälle ist und führte als Stoffeigenschaft die Flüssigkeitsleitzahl als Funktion des Feuchtegehaltes ein. Trennt man durch einen modifizierten Ansatz Kapillar- und Reibungskräfte, so erhält man Kapillarfunktionen, die für den Fall der stationären Strömung bei horizontaler Flüssigkeitsbewegung oder bei lotrechter Flüssigkeitsbewegung unter Vernachlässigung der Schwerkraft in der Krischerschen Flüssigkeitsleitzahl (Kapillarleitkoeffizient) zusammengefaßt werden können.Diese Kapillarfunktionen für Wasser wurden von Quarzsand, Ziegel, Kalksandstein, Gasbeton und Bimsbeton ermittelt und der Kapillarleitkoeffizient als Funktion des Feuchtegehaltes für den Befeuchtungsvorgang angegeben. Zur experimentellen Bestimmung des Feuchtegehaltes war das Durchstrahlungsverfahren mit Gammastrahlen gewählt worden, um den volumenbezogenen Feuchtegehalt während eines quasistationären Vorganges der kapillaren Flüssigkeitsbewegung in Abhängigkeit von Zeit und Ort ohne Störung des Vorganges ermitteln zu können.

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Results of investigations on the capillary motion of moisture in building materials

Krischer described the capillary motion of moisture as a water transfer proportional to the gradient of water content by volume, and defined a coefficient of capillary conductivity as a function of moisture content. Equations of general validity, however, can be developed by separation in terms for capillary and gravity forces and capillary resistance. These capillary functions can be transferred in the coefficient for processes with horizontal motion and for those cases where gravity does not have any impact on the motion in small capillary pore spaces.The capillary functions and the coefficients of capillary conductivity for quasi-steady processes of humidification were determined of quartz sand, brick, sandlime brick, cellular concrete and pumice concrete. The temporally and locally changing moisture content during capillary rising tests was measured non-destructively by means of the attenuation effect of penetrating gamma rays.

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Formelzeichen F Stoffquerschnitt - H() feuchtigkeitsabhängige maximale kapillare Steighöhe - H_max maximale kapillare Steighöhe beim maximalen Feuchtegehalt - I₀ Intensität der auffallenden Gammastrahlung - I Intensität der durchfallenden Gammastrahlung - R() feuchtigkeitsabhängiger kapillarer Reibungskoeffizient - R_max kapillarer Reibungskoeffizient beim maximalen Feuchtegehalt - V Volumstrom - h kapillare Steighöhe - q_S Volumanteil des Feststoffes - q_W Volumanteil des Wassers - q_L Volumanteil der Luft - s Weglänge - t Zeit - x Schichtdicke - y Impulszahl - Neigungswinkel gegen die Lotrechte - statistischer Fehler bei der Impulsmessung - Kapillarleitkoeffizient bzw. Flüssigkeitsleitzahl na ch Krischer - Schwächungskoeffizient für Gammastrahlen - Dichte - / Massenschwächungskoeffizient - volumenbezogener Feuchtegehalt - _max maximaler volumenbezogener Feuchtgehalt - _S Schwächungskoeffizient des Feststoffes - _W Schwächungskoeffizient des Wassers - _L Schwächungskoeffizient der Luft Herrn Professor Dr.-Ing. H. Glaser, Stuttgart, zum 70. Geburtstag gewidmet.Die Untersuchungen erfolgten mit Mitteln der AIF (Arbeitsgemeinschaft industrieller Forschungsvereinigungen e.V., Köln). Der Aufbau der Versuchs-anordnung und die Gammastrahlungsmessungen mit Auswertung wurden von H. Perk durchgeföhrt, der zugleich der för den Strahlenschutz Verantwortliche des Instituts im Sinne des § 20 der I. Strahlenschutzverordnung ist.     

Messung und Berechnung des örtlichen und mittleren Stoffübergangs an stumpf angeströmten Kreisscheiben bei unterschiedlicher Turbulenz

Zusammenfassung In einer vergleichenden Literaturübersicht zu Umströmung, Druck- bzw. Geschwindigkeitsverteilung sowie Wärme- und Stoffübergang werden bislang vorliegende Angaben zu stumpf angeströmten Kreisscheiben und -Zylindern zusammengefaßt. Wenige und zudem divergierende Ergebnisse zum Wärme- und Stoffübergang machen grundlegende experimentelle und theoretische Untersuchungen notwendig, wie sie in [l, 2] für die Eichung von Stoffübergangsmeßmethoden benötigt werden.Unter Einbeziehung des quer angeströmten Kreiszylinders wird gezeigt, daß genaue Angaben zum Wärme- und Stoffübergang bei zwei- wie dreidimensionalen Staupunktströmungen bislang nur über die Messung möglich sind. Über gemessene Geschwindigkeitsverteilungen berechnete Stoffübergangskoeffizienten werden von der Messung nicht bestätigt. Sie liegen gegenüber dem Experiment zu niedrig.Die Messungen wurden bei Turbulenzintensiten 0,8%Tu6%, Reynolds-Zahlen 2·10³5 und Scheibendurchmessern 9,3mmd73,7mm durchgeführt. Der Einfluß der Turbulenz auf den Stoffübergang im Staupunkt von Kreisscheiben kann nur näherungsweise über den Smith-Kuethe-Parameter Tu · Re/100 erfaßt werden. Differenzen zwischen Theorie nach Smith und Kuethe für Tu· Re<5 und Messung lassen sich über die Stabilitätstheorie erklären. Für eine genauere Erfassung des Stoffübergangs muß den unterschiedlichen Transportvorgängen über Turbulenzballen oder Längswirbeln sowie der Struktur der Turbulenz Rechnung getragen werden.

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Measuring and computation of local and average mass transfer to disks in cross flow at different turbulence intensities

The results of different publications concerning the flow, pressure and velocity distributions as well as the heat and mass transfer of disks and cylinders in cross flow are compared by a literature review. A few diverging results for heat and mass transfer require new experimental and theoretical approaches. The calibration of recently developed techniques for the determination of mass transfer rates as published in [1, 2] make these investigations expecially necessary. Including the cylinder in cross flow the authors show, that up to now exact data of heat and mass transfer for two- or three-dimensional flow at a forward stagnation region can be obtained by direct measuring only.Mass transfer coefficients computed from measured velocity distributions are not confirmed by the experimental results. Compared to the experimental data they are too low. The measurements were accomplished for turbulence intensities 0.8%Tu6%, Reynolds-numbers 2· 10³5 and disk diameters 9.3 mm d 73.7 mm.The influence of the turbulence on the stagnation point mass transfer of disks can be obtained only approximately by the Smith-Kuethe-parameter Tu·Re/100. Differences between theoretical results of Smith and Kuethe and experimental ones for Tu·Re/100<5 may be explained by the stability theory. For a more accurate determination of the mass transfer the different transport mechanisms of the scale of turbulence or the tree-dimensional flow pattern like Taylor-Görtler-vortices as well as the structure of the turbulence itself have to be regarded.

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Bezeichnungen a Temperaturleitkoeffizient - C_p Beiwert für den statischen Druck - C₂, C₃ Gradient der bezogenen Geschwindigkeit U⁺ am Staupunkt bei ebener, räumlicher Strömung - D_A Diffusionskoeffizient von Ammoniak in Luft - d Durchmesser - Fr=Sh/Re Frössling-Zahl für den Stoffübergang - Fr=Nu/Re Frössling-Zahl für den Wärmeübergang - Le=a/D_A Lewis-Zahl - L Bezugslänge - M Maschenweite von Turbulenzgittern - Nu=·d/ Nußbelt-Zahl - n Exponent der Prandtl-bzw. Schmidt-Zahl - Pr=/a Prandtl-Zahl - p Druck, Partialdruck - p_x statischer Druck an der Stelle x am Rand der Grenzschicht - Re=U · d/ Reynolds-Zahl - r Radius - r(x) radiale Distanz von der Rotationsachse eines Körpers zu einem Oberflächenelement - Sc=/D_A Schmidt-Zahl - Sh= _A ·d/D_A Sherwood-Zahl - T absolute Temperatur - Tu Turbulenzintensität (Turbulenzgrad) in% - U Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung am Rand der Grenzschicht - U Hauptströmungsgeschwindigkeit im freien Kanalquerschnitt - U⁺=U/U bezogene Geschwindigkeit in x-Richtung am Rand der Grenzschicht - u Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung, tangential zur Oberfläche - mittlere turbulente Geschwindig-keitsschwankung in x-Richtung - v Strömungsgeschwindigkeit in y-Richtung, normal zur Oberfläche - x Koordinate in Strömungsrichtung, tangential zur Oberfläche - x_G Entfernung vom Turbulenzgitter in Strömungsrichtung - x⁺ bezogene Länge x/r - y Koordinate normal zur Oberfläche - Wärmeübergangskoeffizient - _A Stoffübergangskoeffizient (Ammoniak) - dimensionsloses Temperaturgefälle an der Wand - Keilvariable - Wärmeleitkoeffizient - Wirbelweilenlänge (mm) - kinematische Zähigkeit - transformierte bezogene Länge - _A Partialdichte von Ammoniak Indices B mit Korrektur aufgrund der Verengung - m mittel - S bezogen auf die Kreisscheibe - Z bezogen auf den Kreiszylinder Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Josef Ipfelkofer zum 70. Geburtstag am 7. April 1977 gewidmet.     

Eine umfassende Modelltheorie für Kunststoff-Einschneckenmaschinen

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird der Versuch unternommen, eine umfassende Modelltheorie für Kunststoff-Einschneckenmaschinen zu entwickeln. Ausgegangen wird vom analytischen Ähnlichkeitsprinzip.Wesentliche Merkmale der vorgestellten Theorie sind: a) das Energieprinzip, d. h. die dimensionslosen Kennzahlen werden aus Energiebilanzen hergeleitet, b) die strömungstechnische Ähnlichkeit wird durch die Konstanz des Drosselquotienten beschrieben, c) für die schergeschwindigkeitsabhängige Viskosität wird ein Potenzgesetz zugrunde gelegt, d) abgesehen von zwei Ausnahmen wird von einem konstantenL/D-Verhältnis ausgegangen.Es stellte sich heraus, daß man den bisher empirisch ermittelten Exponenten des Gangtiefenverhältnisses theoretisch ermitteln kann und daß dieser Exponent als dimensionslose rheologische Kennzahl deutbar ist. Mit dieser stoffabhängigen Kennzahl, die aufgrund bestimmter Voraussetzungen modifiziert werden kann, und dem dazugehörigen Drehzahlmodellgesetz lassen sich innerhalb bestimmter Grenzen für die übrigen Maschinen- und Verfahrensparameter Modellgesetze herleiten. Hier kann man zwischen einem universellen und zwei speziellen Modellgesetztypen, sowie deren Modifikationen aufgrund unterschiedlicher geometrischer Bedingungen unterscheiden.

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Summary In this paper it is attempted to develop a comprehensive model theory for polymer single-screw machines proceeding from the analytical similarity principle.The essential points of the presented theory are: a) the energy principle, i.e. the dimensionless parameters are derived from energy balances, b) that the flow-characteristical similarity is described using a constant value of the throttle quotient, c) that a power-law approximation is taken as a basis for the shearrate dependent viscosity, d) a procedure using a constantL/D-ratio except for two special cases.It appeared that the until now empirically determined exponents of the channel depth ratios may be determined theoretically and that this exponent is a meaningful dimensionless rheological parameter. With this material-dependent parameter which may be modified on the basis of definite assumptions, and the related speed of rotation model law, model laws may be derived in some range of validity of the remaining machine and process parameters. Here it is distinguished between a universal and two special modellaw types including their modifications owing to different geometrical conditions.

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Symbole A Betriebspunkt - a Drosselquotient - C Konstante - c _p spezifische Wärme - D Schneckendurchmesser - D _z Zylinderdurchmesser - H Heizleistung bzw. Kühlleistung der Ausstoßzone - H Heizleistung bzw. Kühlleistung - h ₁ Gangtiefe der Einzugszone - h=h ₂ Gangtiefe der Ausstoßzone - i(Index) Bezeichnung für die einzelnen Schneckenzonen - L Schneckenlänge - L Länge der Ausstoßzone - L _w wirksame Schneckenlänge, Länge der Druckaufbauzone - Massedurchsatz - M d Drehmoment - n Drehzahl - P am Schneckenschaft abgegebene Leistung - P der Ausstoßzone zugeführte Leistung - p Druck in der Trennebene zwischen Werkzeug bzw. Düse und Maschine - Vom Zylinder pro Flächen- und Zeiteinheit zugeführte Wärme - Volumendurchsatz - Volumendurchsatz infolge Druckströmung - Volumendurchsatz infolge Schleppströmung - v Geschwindigkeit - x frei wählbarer Exponent im Drehzahlmodellgesetz - Wärmeübergangszahl - Schergeschwindigkeit - Viskosität - ₁ Extrudattemperatur - Mittlere Massetemperatur der Ausstoßzone - _z Zylinderwandtemperatur - _h Temperaturdifferenz zwischen Masse und Zylinderwand - ( ₁ – ₀) Gesamtmassetemperaturdifferenz - _L=(₁ – ) Massetemperaturdifferenz der Ausstoßzone - Steigung der Viskositätskurve - Wärmeleitfähigkeit - v Steigung der Fließkurve - Steigung der Massetemperatur — Schergeschwindigkeitskurve bei konstanter Viskosität - Dichte - Schubspannung - Gangsteigungswinkel - dimensionslose rheologische Kennzahl Gekürzte Fassung eines Plenarvortrags, gehalten während des 9. Kunststofftechnischen Kolloquiums des IKV in Aachen vom 8.–10. März 1978.Mit 8 Abbildungen und 5 Tabellen     

The behavior of a spherical bubble near a solid wall in a compressible liquid

Summary The behavior of a spherical bubble near a solid wall is analysed by considering the liquid compressibility. The equation of motion of the bubble with first order correction for the effects of liquid compressibility and solid wall is derived. The equation obtained here coincides with the known result in case of L or C . Further experimental study is made on the motion of bubbles produced by a spark discharge in water. The theoretical results are in good agreement with the experiments.

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Das Verhalten einer kugelförmigen Blase in einer kompressiblen Flüssigkeit in der Nähe einer festen Wand

Übersicht Bei Berücksichtigung der Flüssigkeitskompressibilität wird das Verhalten einer kugelförmigen Blase in der Nähe einer festen Wand analysiert. Die Gleichung der Bewegung der Blase wird mit der Korrektur erster Ordnung für den Einfluß der Flüssigkeitskompressibilität und der festen Wand angegeben. Aus der erhaltenen Gleichung wird für L oder C das bekannte Ergebnis hergeleitet. Darüber hinaus wird eine experimentelle Untersuchung der Blasenbewegung durchgeführt. Die Blase wird mit Hilfe von Funkendurchschlägen zwischen Elektroden in Wasser erzeugt. Die theoretischen Ergebnisse stimmen gut mit den Experimenten überein.

     

Experimental and numerical analysis of oscillatory tube flow of viscoelastic fluids represented at the example of human blood

Summary The 4 constant parameters of an Oldroyd type constitutive equation for normal human blood of 45% haematocrit were determined by means of the steady flow curve and the material functions () and (), measured at 2 Hz in an oscillatory capillary viscometer. It was found, as other authors did before, that the phenomenological behaviour of blood flow can be reproduced qualitatively thereby. The quantitative behaviour, however, cannot be described by thus developed parameters. The parameters of the constitutive equationµ ₀, ₁ and ₂ were therefore generalized to become dependent of shear rate and frequency respectively.In itself this is nothing but a transformation of the material functions ( ),() and (), but these can be used as parameters in a constitutive equation though having lost the property of constancy.In this way the linear region of viscoelasticity and the steady flow curve can be reproduced quantitatively. A computer simulation of oscillatory flow for large amplitudes shows another tendency for the phase shift between pressure and flow than the experiment in the oscillatory capillary rheometer does.The applicability of a constitutive equation modified in this manner for other than oscillatory flow should be further examined especially for pulsatile flow.

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Zusammenfassung Mit Hilfe der Fließkurve für die stationäre Strömung und Messungen der Materialfunktion () im Oszillations-Kapillarrheometer bei 2 Hz wurden die Konstanten der 4-Konstanten-Oldroyd-Stoffgleichung für gesundes Humanblut von 45% Hämatokrit bestimmt. Es zeigte sich, daß sich — wie auch schon von anderen Autoren mitgeteilt wurde — mit den so ermittelten Modellkonstanten die Phänomenologie des Fließverhaltens des Blutes qualitativ gut beschreiben läßt. Zur quantitativen Beschreibung reicht dieses Modell jedoch nicht aus, wie man an der Wiedergabe der stationären Fließkurve und der Materialfunktionen der linearen Viskoelastizität erkennt. Aus diesem Grund wurden die Parameterµ ₀, ₁ und ₂ in Abhängigkeit der Schergeschwindigkeit bzw. der Frequenz angesetzt.Dies bedeutet zunächst nichts anderes als eine Transformation der Materialfunktionen, jedoch in einer Art, daß letztere als Parameter in einer Stoffgleichung verwendet werden können, was allerdings mit dem Verlust der Konstanz der Parameter verbunden ist. Mit einer derart modifizierten Stoffgleichung lassen sich der Bereich der linearen Viskoelastizität und die stationäre Fließkurve quantitativ beschreiben. Eine Computersimulation der oszillierenden Rohrströmung zeigt für große Amplituden eine andere Tendenz für die Phasenverschiebung zwischen Druck und Volumenstrom, als sie sich bei Messungen am Oszillations-Kapillarrheometer ergibt.Die Anwendbarkeit der modifizierten Stoffgleichung für andere Strömungsformen, wie z.B. pulsierende Rohrströmungen, muß noch geprüft werden.

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Paper, presented at the Annual Conference of the Deutsche Rheologische Gesellschaft in Berlin, May 8–10, 1978.

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With 8 figures     

Über eine Anwendung der Hillschen Minimalbedingung in der Plastizitätstheorie

Zusammenfassung Auf dem gezeigten Weg wurden die Spannungen _r , , _z berechnet, wobei an Stelle der Veränderlichen r und die dimensionlosen Größen x _i = r _i /, x=r/ und x _a = r/ in die Rechnung eingeführt wurden. Die Funktion (r, ) wurde dann für den Bereich 0,45x_i1,0, 1x_a 2 tabuliert. Hierbei zeigte sich, daß der Rechenaufwand bei der Durchrechnung eines Einzelbeispiels nach der Charakteristikenmethode wesentlich geringer ist. Bei der Anlage von Zahlentafeln zur Berechnung von Spannungen für beliebige Durchmesserverhältnisse ergab sich, daß der aufgezeigte Wege zu geringerem Rechenaufwand führt. Für das Beispiel r _i /r _a=1/2 wurden die Rohraufweitungen bestimmt und diese Werte noch durch praktische Versuche nachgeprüft. Hierbei ergab sich, daß die theoretisch bestimmten Rohraufweitungen in dem Streubereich der gemessenen Rohraufweitungen lagen, wobei Messungen an drei Rohren aus demselben Material und demselben Rohrverhältnis durchgeführt wurden. Insbesondere stimmten die theoretischen Rohraufweitungen auch mit den gemessenen Rohraufweitungen überein, wenn das Rohr entlastet wurde und die Restdeformationen bestimmt wurden.Daraus kann geschlossen werden, daß durch die berücksichtigte lineare Verfestigung die tatsächlichen Verhältnisse außerordentlich gut erfaßt werden.Der sogenannte Platzdruek eines Rohres kann auf rein rechnerischem Weg nicht erfaßt werden, da für =r_a die geometrische Gestalt des Rohres instabil wird. Bei den Versuchen zeigt sich, wenn der Innendruck über p _i ( =r **** _a ) gesteigert wird, daß das Rohr schon bei geringen Überschreitungen aufzubauchen beginnt.Meinem Lehrer Herrn Prof. Dr. Dr. R. Grammel zum 65. Geburtstag gewidmet.     

A mixing length model for turbulent flow in constant cross section ducts

In this paper, a study is made of the damping influence of the wall on turbulent fluid flow. By considering the oscillation of the whole of the boundary, van Driest's original hypothesis has been extended to obtain the wall damping factor in flow in a duct of constant cross section. The damping factor is used in conjunction with mixing length expressions to obtain the velocity field. Particular examples considered are plane parallel flow and axisymmetric flow in a pipe and in an annulus.

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Ein Modell für die Mischungslänge von turbulenten Strömungen in Rohren mit konstantem Querschnitt

Zusammenfassung In dieser Arbeit wurde der dämpfende Wandeinfluß in turbulenten Strömungen untersucht. Unter Berücksichtigung der Schwingungen in der gesamten Grenzschicht wurde die ursprüngliche Theorie von van Driest erweitert und ein Dämpfungsfaktor an der Wand in Rohrströmungen mit konstantem Querschnitt ermittelt. Dieser Dämpfungsfaktor diente in Verbindung mit Ausdrücken für die Mischungslänge zur Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes. Ausgewählte Beispiele waren die ebene Parallelströmung sowie die Zylinderströmung in einem Rohr und einem Ringspalt.

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Nomenclature A, A^*(=Au/v) Parameter defined in text - b, b^*(=bu/v) semi-width of parallel plate channel - c(= 1/A) parameter defined in text - E[, /2] complete elliptic integral of the second kind - d damping factor - F, G, H functions - l, l^*(=/v) mixing length - M_O, _O functions - r, r^*(=ru/v) radius - A real part of function - R, S, T, U functions - u, u^*(=u/u) velocity in flow direction Z - friction velocity - x, y, z co-ordinates (z in flow direction) - y^*(=yu/v) non-dimensional wall distance - fluid density - , _eff kinematic viscosity, effective kinematic viscosity - phase angle, or polar coordinate angle - shear stress - (=r/r_W) radius ratio - angular velocity Suffixes w wall value - far from a wall