巧证定理:a~3 b~3 c~3≥3abc(a,b,c∈R~ )

介绍一种定理证明的较简单的方法：∵ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋∴（ａ３＋ｂ３）＋（ｃ３＋ａｂｃ）≥２ａ３ｂ３＋２ａｂｃ４≥２·２ａ３ｂ３·ａｂｃ４＝４ａｂｃ∴ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ并且仅当ａ３＝ｂ３，ｃ３＝ａｂｃ，且ａ３ｂ３＝ａｂｃ４ａ＝ｂ＝ｃ时，上式才取等...     

函数f(x)=ax b/x(a,b∈R~ )的教学设计

函数f(x)=ax bx(a,b∈R )是高中数学中重要的函数之一,在相关知识中有平均不等式的应用,函数f(x)最值的讨论,函数单调性的讨论,函数奇偶性的讨论,画出函数图象,其间渗透了极限的思想和函数在指定区间的最值等等.其变化多,应用广,是高中数学命题中倍受老师们欢迎的数学典型试题.因此我们专门在高二年级学习均值不等式之后,设计了一节课,取得了一定的效果.1教学设计时对几个问题的分析1)内容分析:函数f(x)=ax bx(a,b∈R )的图象和性质以及应用,变化多而广,所涉及的数学试题能较好地检验学生运用数学知识解决问题的能力.2)学情分析:铜仁一中为…     

所有形如a2=b+c的勾股数组(a,b,c)

本刊文[1](第17页)给出了勾股数组(3,4,5),(5,12,13)满足的规律:32=4 5,52=12 13.能否求出所有形如a2=b c的勾股数组(a,b,c)呢?这是一个有趣的问题.     

不等式(a+b+c)/3≥(abc)~(1/3)的应用三例

在高中教材中有一个重要不等式为 :如果ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+ ,则 ａ +ｂ +ｃ3≥ 3ａｂｃ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时取等号 .灵活应用这一重要不等式往往可以收到很好的解题效果 .下面举三例说明 .例 1　比较 (12 ) 13 与ｌｏｇ1312 的大小 .分析 :这两个数大小比较初看起来不易运用常规办法处理 ,如果分析 (12 ) 13 这一个数而应用公式1ａ+1ｂ+1ｃ3≥31ａ·1ｂ·1ｃ ,即 3ａｂｃ≥31ａ+1ｂ+1ｃ(ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ+ )进行放缩处理 ,问题就会迎刃而解 .解　∵ (12 ) 13 =312 =312 ·1·1>32 +1+1=34,而 34=ｌｏｇ3 (3) 3 4 =ｌｏｇ342 7>ｌｏｇ3416=ｌｏ…     

证不等式a+b+c/3≥(abc)~(1/3)的几种方法

命题设a、b、c≥0,(a+b+c)/3≥abc~(1/3), 证明显然当a、b、c中至少有一个为零时,不等式恒成立,所以我们只就a、b、c全不为零时给出证明。方法1应用基本不等式m~2+n~2≥2mn来证明。设P>0、q>0、r>0 ∵p~2+q~2≥2pq, q~2+r~2≥2qr,r~2     

e~(ax+bx~2)(a,b∈R)参数平面上的骚动区域

本文将参数（ａ，ｂ）平面分为七个区域，然后讨论在每一个区域中ｅａｘ＋ｂｘ２的不动点分布（§１）．在§２中，我们得到一个定理：在Ｄ∞１∪Ｄ∞Ｃ中ｅａｘ＋ｂｘ２是骚动的（在扩充意义下）．     

映照z■e~(az bz~2)(a,b∈IR)的动力系统 (Ⅰ)爆炸区域

我们拓广了Devaney R.L.关于爆炸线段的定义,定义了系统g(a,b)(z)的爆炸区域,并确定了(a,b)一平面上两个爆炸区域,D_C~o和D_C~∞.文末我们提出了如下猜测D_C=D_C~o∪D_C~∞其中D_C是系统g(a,b)(z)的爆炸点集.     

Third power associative,antiflexible rings satisfying (a,b,ac) = a(a,b,c)

In this paper, we study third power associative, antiflexible rings satisfying the identity (a,b,ac)?=?a(a,b,c). We prove that third power associative, antiflexible rings satisfying the identity (a,b,ac)?=?a(a,b,c) with characteristic ≠2,3 are associative of degree 5. As a consequence of this result, we prove that a third power associative semiprime antiflexible ring satisfying the identity (a,b,ac)?=?a(a,b,c) is associative.     

映照z■e~(az+bz~2)(a,b∈IR)的动力系统 (Ⅰ)爆炸区域

我们拓广了Devaney R.L.关于爆炸线段的定义,定义了系统g(a,b)(z)的爆炸区域,并确定了(a,b)一平面上两个爆炸区域,D_C~o和D_C~∞.文末我们提出了如下猜测D_C=D_C~o∪D_C~∞其中D_C是系统g(a,b)(z)的爆炸点集.     

用a b/2≥(ab)~(1/2)证a b c/3≥(abc)~(1/3)

本刊1987年第二期P39上给出了一种用二元均值不等式证明三元均值不等式的巧妙证法。它与教学参考书中给出的证法,就证明的基本思路来说完全类似(都是通过“添项”,使奇数项的和变为偶数项的和,从而使二元均值不等式的应用成为可能),只不过添凑的项不同而已(一个添加三个正数的几何平均数,另一个添加三个正数的算术平均数)。这种采用“添项”思想的证明方法,技巧性较强,学生难以想到。在下面笔者给出的新的证明中,除了注意到恒等     

用好a＋b＋c=1，巧证不等式

在不等式证明中 ,有一类问题 ,就是在题设中都给出了a +b +c =1这一条件 ,但是证明起来方法却不尽相同 .如何用好这个条件 ,是证明成功的关键 .学习过程中 ,如果能够将这样的一些问题进行适当的区别与归纳 ,就可以起到事半功倍的效果 ,思维能力也可以得到锻炼和提高 .以下就举一些这样的例子 .1　利用条件将 1代换成a +b +c这种方法是很容易想到的 ,但是在证明的过程中又往往容易忽视 .例 1　已知a ,b ,c∈R+且a +b +c =1,求证 :(1-a) (1-b) (1-c)≥ 8abc .分析　利用条件将 1代换成a +b +c后 ,很容易发现原不等式等价于 (a +b) (b +c) (c …     

关于a~b(a、b∈N)的个位数的确定

这里,笔者想借助数的整除性来探讨形如a~b(a、b∈N)的一类数的个位数字的确定问题。解决了它,则对于37~(37),12345~(12345)…个位数问题,可迎刃而解,无须逐个进行讨论。     

关于方程φ(abc)=2(φ(a)+φ(b)+φ(c))

设n为任意正整数,φ(n)是Euler函数.主要研究了方程φ(abc)=2(φ(a)+φ(b)+φ(c))的可解性问题,利用数论中的理论和方法,获得了该方程的所有正整数解.     

从不等式~(1/2)(a/(a 3b)) ~(1/2)(b/b 3a)≥1谈数学推广

1　从一个“形式推广”的案例说起1 .1　“形式推广”的案例文 [1 ]给出不等式 :例 1　 a,b∈ R ,求证 :　　 aa 3b bb 3a≥ 1 (1 )这个不等式简明深刻 ,其原证法的关键步骤是先证　　　　 aa 3b≥ a3 4a3 4 b3 41同理 bb 3a≥ b3 4a3 4 b3 4.相加即得所求 .文 [2 ]继续给出不等式 :例 2　 a,b>0 ,求证 :　 aa2 3b2 bb2 3a2 ≥ 1 (2 )文 [3]看到了这两个例子的共同结构 ,作出了如下的“指数推广”:例 3　 n∈ N,a,b∈ R ,则　　 anan 3bn bnbn 3an ≥ 1 (3)正如文 [3]的编者按所指出的 ,(3)也可以看成是 (1 )的特例而并不是…     

定理〔a,b〕= ab/(a,b)的教学体会

在中等师范算术理论的教学中,有关最小公倍数的定理[a,b]=ab/(a,b)的教学确是一个难度较大的内容。课本对于定理采用格列本卡著《算术》的证法。这种证法抽象,它牵涉的概念多,运用的性质多,证明的步骤繁,其方法实难于使学生在短时间内接受。     

浅谈公式x~2 (a b)x ab=(x a)(x b)

浅谈公式ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）遂宁安居镇中学何旭东十字相乘法是因式分解的一种方法，其灵活性大，难度高。现行义务教材用它分解二次项系数为１和二次项系数不为１的二次三项式，但未提及双十字相乘法。现在我们用公式：ｘ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＝...     

当a+b+c=0时

<正>经常会在一些竞赛题中看到当a+b+c=0时,求解分式或整式有关的计算、判断或证明.如果能对其有深入的了解,相信解题会方便不少.从条件a+b+c=0出发,可以推导出一些有用的结论,在解决与三个字母有关的运算或证明时非常有用.下面就结合例题,说说这几个重要的结论:     

5-桥图F(2,a,a,b,c)的色等价刻画

设P(G，λ)是图G关于变量λ的色多项式，P(G，λ)=P(H，λ)，称G和H色等价，由连接两个顶点的S条内部不交的路组成的图叫S-桥图。本讨论了5-桥图F(2,a,a,b,c)(c≥b≥a 1，a≥2)的色性，完整刻画了这类图的色等价图。     

158 不等式(a+m/b+m)>(a/b)的教学价值

[主持人按本篇设计生动地说明了,一个小小的数学例题,在转变了教学理念,拓宽了视野后,会挖掘出那么多深邃的有价值的教学内涵.但可能有人要问一句:教学上需要这样做么?值么?